现代信号处理-现代谱

第七章现代谱估计

7.2ARMA模型

7.3功率谱估计的AR模型法

7.1引言

7.4AR模型谱估计的性质

7.5ARMA模型谱估计

7.6特征分解法谱估计7.1引言1.经典谱估计方法的缺点：根据观察到的N个样本值来估计功率谱，认为在这N个数据以外的数据为零，与实际不符，因而导致了各种缺点。2.现代谱估计方法的根本思想：7.1引言2.现代谱估计方法的根本思想：对平稳和遍历的随机过程采样得到的数据不仅仅是一个样本，其中包含了数据之间的相关性质通过提取这种相关性质，也就是先利用采样数据建立随机过程的模型，对数据进行外推，进而提高功率谱估计的分辨率。通常称为参数模型法。7.1引言3.平稳随机信号通过线性系统h(n)7.1引言

平稳白噪声通过线性系统将y(n)看成是白噪声通过一个线性系统的输出，那么只要得到系统的频率响应，就能够计算出y(n)的频谱。7.1引言4.线性系统H(z)7.1引言MA〔MovingAverage〕系统：

x(n-q-1)x(n-q)x(n-q+1)…x(n-1)x(n)x(n+1)…bq……b1b0bq……b1b0bq……b1b07.1引言AR〔AutoRegressive〕系统:ARMA系统:7.2ARMA模型1.ARMA模型很多随机过程可以由或近似由均值为零、方差为的白噪声序列u(n)经过具有有理传输函数H(z)的ARMA线性系统来得到。称该随机过程为ARMA过程。

A(z)-1B(z)7.2ARMA模型只要根据采样样本估计出ARMA模型的参数〔ai与bi〕，即可求出2.ARMA模型的分类：p阶AR模型： ，记作AR(p)。q阶MA模型： ，记作MA(q)。普通的ARMA模型： ，记作ARMA(p,q)。7.2ARMA模型3.ARMA过程与有理式谱密度的关系任意平稳ARMA过程，其功率谱密度有如下形式：假设一平稳过程x(n)的功率谱密度形如：那么x(n)可用ARMA(p,q)模型描述，即7.2ARMA模型4.ARMA模型的系统特性稳定系统：有限输入有限输出。冲击响应绝对值可和：收敛域包含单位圆：因果系统：0时刻以前的冲激响应为0，系统是物理可实现的。H(z)的收敛域在某个半径的圆外。7.2ARMA模型4.ARMA模型的系统特性可逆系统：系统的逆系统1/H(z)是因果稳定的，即其零点均在单位圆内。7.2ARMA模型5.ARMA模型的Wold分解定理任何一个具有有限方差的ARMA或MA过程都可用某一AR(

)过程唯一地描述。任何一个ARMA或AR过程都可用某一MA(

)过程唯一地描述。7.2ARMA模型5.ARMA模型的Wold分解定理说明：实际应用中，假设模型选择有误，仍可通过使阶数足够大来进行合理近似；AR模型求解简单，可多项选择择AR模型进行估计。7.2ARMA模型6.ARMA参数与自相关函数之间的关系自相关函数与系统冲激响应的关系 设系统为因果和最小相位系统，那么7.2ARMA模型自相关函数与ARMA参数的关系

7.2ARMA模型当时，，因此

7.2ARMA模型自相关函数与AR参数的关系 在ARMA模型中，令q=0可得7.3功率谱估计的AR模型法1.根本概念问题：随机序列x(n)符合AR(p)模型，即： 其中p为未知整数。现有x(0)x(1)…x(N-1)共N个样本，要求估计x(n)的功率谱密度。7.3功率谱估计的AR模型法1.根本概念问题：估计x(n)的功率谱密度。思路：求模型阶数p；求求u(n)的方差。7.3功率谱估计的AR模型法2.Yule-Walker方程当阶数p时，利用x(n)的自相关函数与AR模型参数的关系，可建立Y-W方程，解该方程，即可得到AR参数。AR模型的Yule-Walker方程组7.3功率谱估计的AR模型法令解Y-W方程的Levinson-Durbin递推法请参考“自适应格形滤波器〞的有关内容。7.3功率谱估计的AR模型法AR模型参数的可辨识性:

矩阵R的秩为p,因此Y-W方程有唯一解。即AR模型的参数可由p个Yule-Walker方程唯一确定。7.3功率谱估计的AR模型法3.AR模型的阶数p阶数p的影响阶数太低：功率谱受到的平滑太厉害，降低分辨率。阶数太高：会产生许多虚假的谱峰或谱的细节。7.3功率谱估计的AR模型法AR模型的拟合特性: AR模型相当于用一个p阶预测器对信号进行拟合,而白噪声u(n)相当于拟合误差。阶数太低：不能表达信号之间的内在联系；阶数太高：会增加拟合误差，使模型表现出数据随机误差的性质。7.3功率谱估计的AR模型法4.AR模型谱估计的性能均值：方差：7.3功率谱估计的AR模型法5.确定AR模型阶数的几种方法实验方法：观察拟合误差法 算出取各种模型阶数时的白噪声方差

2，以能使2值显著减小的模型阶数的最大值作为选定的结果。7.3功率谱估计的AR模型法信息量准那么法：〔利用拟合噪声方差随阶数增加而减小以及谱估计方差随阶数增加而增大的特点〕 定义拟合噪声方差：i)最终预测误差〔FPE〕准那么：7.3功率谱估计的AR模型法ii)Akaike信息准那么〔AIC〕：，其中N为数据长度。

iii)BIC准那么：7.3功率谱估计的AR模型法iv)最小长度准那么〔MDL〕v)自回归传递函数准那么〔CAT〕7.3功率谱估计的AR模型法说明：当数据长度N较小时，方法i~v均不理想；在处理实际数据时，各种方法的效果差异不大；试验说明，对于短数据，模型阶数选在N/2到N/3之间效果较好。7.3功率谱估计的AR模型法线性代数法：奇异值分解法行列式检验法Gram-Schmidt正交法

7.3功率谱估计的AR模型法6.AR模型定阶的奇异值分解法奇异值分解： 对于一个M×N矩阵A，存在一个M×M酉阵U和N×N酉阵V，使得A可分解为 其中为M×N对角矩阵，其主对角线上元素非负，且 称为矩阵A的奇异值。 不为0的奇异值的个数等于A的秩。7.3功率谱估计的AR模型法奇异值分解确定AR阶数 利用R(m)构造矩阵：

Re为R的扩展，它的秩为p。因此Re有p个主要的奇异值，其余的都十分接近于零。可以用Re的主要奇异值的个数来确定AR阶数p。7.4AR模型谱估计的性质1.性质1:AR模型谱估计等效于最大熵谱估计最大熵谱估计问题的提出经典谱估计方法具有分辨率低和旁瓣“泄漏〞的问题，其根本原因是自相关函数加窗。为克服这些问题必须对自相关函数进行外推。7.4AR模型谱估计的性质最大熵谱估计问题的提出Burg于1967年提出以最大熵作为自相关函数外推的准那么，其合理性在于这样对自相关函数的约束最少，因而时间序列的随机性最大，功率谱最光滑〔相当于光滑性约束〕。7.4AR模型谱估计的性质最大熵谱估计原理熵率的定义：N维随机向量x的概率密度为p(x)，那么其熵率定义为：功率谱密度的熵定义(高斯信号)：x越随机、概率分布越均匀，其熵率越大。7.4AR模型谱估计的性质最大熵谱估计问题的定义：在约束 的条件下，即在时自相关函数与观测值一致的条件下，外推自相关函数，使 最大。7.4AR模型谱估计的性质最大熵谱估计的求解方法 令7.4AR模型谱估计的性质7.4AR模型谱估计的性质说明：最大熵谱估计是由功率谱的熵针对未知自相关函数求导来得到，它恰好满足AR模型。对自相关函数依使谱熵最大的准那么进行外推后得到的谱实际上就是把信号看作服从AR模型所得到的谱。反之，当把信号看成服从AR模型，也相当于对自相关函数依谱熵最大准那么进行外推。7.4AR模型谱估计的性质说明：的自相关函数值可用来求得AR模型的参数。7.4AR模型谱估计的性质2.性质2:AR谱估计隐含了对自相关函数的外推已经知道自相关与AR模型参数的关系为

设R(0),R(1),…R(p)，那么7.4AR模型谱估计的性质说明：AR谱估计相当于将有限个自关函数值按照Y-W方程进行外推后进行付氏变换得到的结果；由该方法将自相关函数进行了外推，克服了经典谱估计方法加窗导致分辨率低和旁瓣泄露的问题。7.4AR模型谱估计的性质AR模型谱估计与周期图比较例如周期图估计频谱AR模型估计频谱7.4AR模型谱估计的性质3.性质3:AR谱估计与线性预测谱估计等效线性预测谱估计：求最小均方误差意义下针对随机序列x(n)的p阶预测器7.4AR模型谱估计的性质3.性质3:AR谱估计与线性预测谱估计等效与Y-W方程组相同AR谱估计相当于:用随机序列前p个时刻的值在MMSE准那么下预测〔外推〕当前值，依次外推出未知序列后再进行谱估计。7.4AR模型谱估计的性质说明：匹配问题A(z)-1A(z)7.4AR模型谱估计的性质匹配问题功率谱匹配自相关匹配7.4AR模型谱估计的性质匹配问题能否时域匹配?基于自相关函数的AR模型谱估计只能做到功率谱匹配自相关匹配7.4AR模型谱估计的性质4.影响AR谱估计性能的因素噪声 假设存在观测白噪声v(n)，受干扰的AR过程变为

y(n)符合ARMA(p,p)模型7.4AR模型谱估计的性质噪声

不仅有极点，而且有零点。 当时，零点与原来的极点抵消，产生非常平滑的谱，导致分辨率下降。7.4AR模型谱估计的性质自相关函数的计算误差理想情况下，应有

事实上由于估计误差，可能造成

即估计的谱中多出N-p个额外的极点。假设其中有靠近单位圆的极点，那么会形成虚假的谱峰。7.4AR模型谱估计的性质克服噪声对AR谱估计的影响i)对数据滤波，减小噪声；ii)采用高阶AR模型ARMA(p,q)模型可由AR(∞)描述。因此，随着AR模型阶数的增加，估计结果趋于y(n)的真实谱；考虑到自相关计算的误差，AR模型的阶数一般不超过数据长度的一半。iii)采用ARMA(p,p)模型。7.4AR模型谱估计的性质5.自相关法求使在观测数据范围内前向预测误差功率最小的模型参数

7.4AR模型谱估计的性质5.自相关法设在n<0及n>=N范围内，x(n)=0

7.4AR模型谱估计的性质5.自相关法自相关法的求解式与Y-W方程组形式一致 7.4AR模型谱估计的性质6.协方差法防止假设在n<0及n>=N范围内，x(n)=07.4AR模型谱估计的性质6.协方差法7.4AR模型谱估计的性质6.协方差法该方程组不能用Levinson算法求解7.4AR模型谱估计的性质7.修正协方差法联合前向预测和后向预测7.4AR模型谱估计的性质7.修正协方差法7.4AR模型谱估计的性质7.修正协方差法该方法用于计算自相关的数据量加倍7.5ARMA模型谱估计1.MA模型参数与自相关的关系 由系统冲激响应与自相关的关系已经得到7.5ARMA模型谱估计2.MA模型的系数求解MA模型可由无穷阶AR模型逼近7.5ARMA模型谱估计等效于的q阶线性预测器。设计使最小，可逼近。7.5ARMA模型谱估计MA模型参数估计步骤：由x(n)建立AR(p)，，得到由建立q阶MMSE线性预测器，该预测器的系数为。7.5ARMA模型谱估计3.ARMA模型参数与自相关的关系7.5ARMA模型谱估计4.ARMA参数估计步骤i)求利用时的自相关函数关系可得：

修正的Yule-Walker方程组7.5ARMA模型谱估计 为防止当自相关矩阵接近奇异时导致数值计算的不稳定性，一般建立超定方程。 设M>p，那么利用最小二乘法解该方程组，可得7.5ARMA模型谱估计ii)将ARMA模型转化为MA模型即y(n)满足MA模型。iii)求解y(n)满足的MA模型的参数。7.5ARMA模型谱估计5.阶数确实定p确实定方法同AR模型。以下设p。构造矩阵： 可以证明，rank(R1)=p+1。7.5ARMA模型谱估计用qe代替q，得到R1e:可以证明：当qe>q

时，rank(R1e)=p；当qe=q时，R1e=R1

，rank(R1e)=p+1。综上，可以取不同的qe，通过求相应的R1e的秩判断qe是否等于q。7.6特征分解法谱估计1.引言要估计淹没在噪声中的正弦信号的频率，ARMA模型参数法存在难以克服的缺点特征分解法谱估计是一类利用自相关矩阵特征值分解来估计白噪声中多正弦波频率的方法7.6特征分解法谱估计特征分解法的根本思想：将自相关矩阵列矢量构成的空间分解成为信号子空间和噪声子空间。利用信号空间或它与噪声空间的关系，计算正弦波频率。特征分解法是一种频率估计法，而不是严格意义上的谱估计。7.6特征分解法谱估计2.白噪声中复正弦波的信号模型 设M个复正弦信号与零均值方差的加性复白噪声w(n)构成一个平稳随机过程。

其一次实现的N个采样为

其中，，为常量，为 内均匀分布的独立随机变量。 7.6特征分解法谱估计 定义正弦信号矢量： 噪声矢量： 观测信号矢量： 那么：3.自相关矩阵 其中是第m个正弦波的功率。7.6特征分解法谱估计Rx可分解为有用信号自相关矩阵Rs和噪声自相关矩阵Rw之和。Rs和Rw均为N×N方阵，秩分别为M和N。Rs包含着M个复正弦波的频率信息。假设Rx〔或