2023年高考数学大招13椭圆中的两个最大张角

大招13椭圆中的两个最大张角

大招总结

在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短

轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张

角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下：

结论1.如图：已知6,6为椭圆|r+p-=l（a>Z?>0）

的两个焦点，P为椭圆上任意一点，则当点P为椭圆短轴的端点时，/F]PF?最大.

分析：ZF}PF2e（0,^）,而y=co亚在（0㈤为减函数，只要求y=cosx的最小值,

又知|P4|+俨闾=2。,忻闾=2c,利用余弦定理可得.

证明:如图，由已知：|「用+怛用=外,闺司=2c,

所以|P用）闾”。尸制=看（当\PF]\=\PF2\时取等号）

由余弦定理得：COS/耳尸鸟」尸£[周

21PMl熙|

=（归用+|尸司）2-2阀||「图-闺鸟「

一2陷||「周

]=_^…岑一1（当怛£|=|尸图时取等号），

21111

2\PFiPF2\2\PFt\\PF2\a

所以当|P£|=|P^|时，cos/£Pg的值最小，因为/甲与«0,乃），所以此时

/RPF?最大.即点p为椭圆短轴的端点时/耳产外最大.

'p}

此时离心率eesin—,1

L/

厂y

结论2.如图：已知A,B为椭圆/+万=1（。>〃>0）长轴上的两个顶点，Q为椭圆

上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时，^AQB最大.

分析：当^AQB最大时，^AQB一定是钝角，

（7Cy_

而y=tanx在亍不上是增函数，利用点Q的坐标，

127

表示出tanNAQB,再求tan^<AQB的最大值.

证明：如图，不妨设Q(X,y)((^!k<a,O<yb),贝IJAP=a+x,BP=a-x,PQ^y,

tan/A。尸=tan/B0尸=

2a

tan/AQP+tan/BQP

,NA。=i_tan/A叱tan40P=y=Y十尺“‘又

22/、

772oDea\7T

x=a--y\所以tan^AQB=,,因为1一记<0,44。8寸万,万｝所

以当y=h时，tan^AQB取得最大值，此时^AQB最大，所以当点Q为椭

圆短轴的端点时，^AQB最大.

典型例题

例1.已知£，鸟为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得/耳尸外=60,求椭圆

离心率的取值范围.

解：方法1：由结论1知：当点4为椭圆短轴的端点时，/RPF?最大，因此要最大

角/耳与月…60,即’/4P居..30,即tanZF^O...—,也就是y...—,

23b3

解不等式./°…立,得e1故椭圆的离心率eei1

77^73212）

■p}「1、

方法2:此时离心率ewsin-,1,故椭圆的离心率ew-91.

.2/L.2J

X2y2

例2.（2021春•赣州期中）已知P为椭圆/+危=1（。>%>0）上一点，耳，鸟是椭

圆的左、右焦点，若使Pg为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取

值范围是（）

'⑶（垃、

A.0，—B.—JC.（1,72）D,（72,+60）

\7\7

解：方法1:⑴当PF}lx轴时，由两个点P满足PFK为直角三角形;同理当

PF21X轴时，由两个点p满足-Pq%为直角三角彩

•.使-户6鸟为直角三角形的点P有且只有4个，

以原点为圆心，C为半径的圆与椭圆无交点，二。？（方2=.2一c.2,...e2<_L,

2

V2

又e>0,解得0<e<—.

故选A.

方法2:尸不止4个时，此时离心率ee^「sinP-,l、j即ee「—拉「所以P有且只

V2

有4个时0<e<-y-

例3.已知£、&是椭圆的两个焦点，满足M/ME=0的点M总在椭圆内部，则

椭圆离心率的取值范围是0

A.（0,1）B.fo,yC.。，与D.4』

\乙，乙乙、

解：方法1：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a,b,c,

MF「MF2=0,:.M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆.又M点

总在椭圆内部,

2292C21

该圆内含于椭圆，即c<b,c<b=ci—c=一■<一,;.0<e<—,

a22

故选C.

■M、rV2、

方法2:M在上下顶点时，此时离心率eesiny,lj即ee—所以M总在

V2

椭圆内部时0<e<—

/y2

例4.已知椭圆/+食=1（。>%>0）,长轴两端点为A,B,如果椭圆上存在点P使得

/AP8=120,求这个椭圆的离心率的取值范围.

解：由结论2知：当点与为椭圆短轴的端点时，最大，因此只要

Z^B..12O则一定存在点Q,使/AQ5=120,g/AQR.6O,即APO..60

a、

所以..5得e…g,故椭圆的离心率的取值范围是ee制.

7

Xy

例5.（2017课标1,文监设4B是椭圆C：r-=1长轴的两个端点，若C

上存在点M满足NAMB=120,则m的取值范围是（）

A（。，1］口［9,+8）B.（0,0］.［9,+动C.（0,1］口［4,+动D.

（0,0］D［4,+co）

解：当（）<机<3,焦点在轴上，要使C上存在点M满足^AMB=\20,则

-..tan60=6即噌..也,得0<%,1;当m>3,焦点在y轴上，要使C

byjm

上存在点M满足^AMB=120,则-..tan60=3即•依，得m..9,

b

故m的取值范围为（0,1］口［9,+8）,选A

例6.（2020.全国（文））已知椭圆C：4+y2

=Ka>b>0）,F,F分别为椭圆的左右焦

¥］2

点，若椭圆C上存在点P（xo,yo）（xo..O）使得/尸耳巴=30,则椭圆的离心率的

取值范围为（）

C.；，1

A.B.D.

47

由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，NPF遥最大,

要满足椭圆C上存在点P（^）,yo）（x.O）使得/尸耳招=30,则

90＞（NP%）皿..30,

/7

所以tan（ZPf；F；）max..ian30=—

b上，百

即：7亍整理得”..不,

又a2=b2+c\所以得到：3a2..4c2所以e=-=

a产仁耳

所以椭圆离心率的取值范围为0＜金日

故选B

自我检测

22

w+今=1（。＞匕＞0）

1.已知P为椭圆ab-上一点，F},F2是其左右焦点，/耳尸月

NF/F,=-

取最大值时COS3,则椭圆的离心率为

【解】方法1：根据椭圆的性质可得，当P是椭圆短轴的顶点时，/F\PF?取最大值,

P为椭圆上任意一点，当取最大值时的余弦值为1,

3

耳"2二四瑞#1,即有1_a2+a2-4c2

由余弦定理可得

3-2a^~

V3V3

化为a2=3c2，贝ije=-=丁.故答案为：了.

a

方法2:/RPF2取最大值时此时离心率e=siny,cos^P/s=-

nsinNF}?=卜cos/jP反=*故椭圆的离心率

"T,

xypFP

2.设椭圆/+万=1（。>6>0）的焦点为1和2，是椭圆上任一点，若

/FPF

12的最大值为—,则此椭圆的离心率为

3

【解】方法1：由椭圆的性质可得：当点P取椭圆短轴的一个端点时，/耳尸与取得最

2Q

大值为红，.•.tan/OPK=tan£=6=f=3从=3（/-。2）,；.彳=了解得

33bv7a-4

C垂）

e~=丁

a2

V3

故答案为：—.

p

方法2:/£P6取最大值时此时离心率e=sin]=5-

xvF、F/FPF

3若P是椭圆彳+不=1上任意一点」2是焦点,贝U'2的最大值为

【解】方法1：根据椭圆的方程可知：j+《=l,，a=2,/2=6,c=l,

43

由椭圆的对称性可知，/£尸鸟的最大时，P在短轴端点，此时-RPF?是正三角形,

；，质的最大值为三.故答案为：乏.

33

方法2:/耳口鸟取最大值时此时离心率e=sin-=-^^F,PF9=60

22

4已知椭圆c的方程为7+F(0</?<2)离心率分别为左焦点和右

顶点，点P(m,n)在椭圆上，若/耳尸4为锐角，则实数m的取值范围是

JQy

【解】植圆C的标准方程为二+右（0＜力＜2）,;.a=2,又...椭圆C的离心

4b~

率e=—c=1,00b2=a2—c2=3,

2

m=2cosa

f-.，（a为参数）,

{〃=，3sina

贝ljPF}=（-l-2cosa,一百sina）,P&=（2-2cosa,-石sina）,

若/£P4为锐角，贝ij=cos%—2cosa+l=（cosa—〉O,

即coscwl,mw2,又由COSCT=—1时，尸耳与P4同向，/£尸&二0,

故cosaw—1,加£一2,即实数m的取值范围是(-2,2),故答案为：(-2,2)

5.焦点在轴X上的椭圆方程为\+)2=1(。>0),耳、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆

a

上存在点3,使得NRBF?吟、那么实数。的取值范围是

2

【解】方法1：V焦点在X轴上的椭圆方程为\+丁=1伍>0),.»=1,/=/-1,

a

若椭圆上存在点3,使得NF\Bkg则以线段电为直径的圆与椭圆有交点，

即有c..b,即CW,622-11,又a>0,故。的取值范围是[&,+8).故答案为:

方法2:此时离心率eesin—,1<1=>—<lnae[0,+e)

_2J2a2'Ja2

X2y2

6,已知焦点在1轴上的椭圆1+万=1(匕>0),耳,巴是它的两个焦点，若椭圆上存

在点尸，使得PF'P马=0,求b的取值范围.

【解】方法1：由结论1知，当点P为椭圆短轴的端点时，人质最大，若此时

PF,PF2=0,则有：b=c,又a=2,所以b=y/2,因为植圆越扁，这样的点一定存在,

所以b的取值范围为：0<b„42.

P\也1

n1n轰<n

方法2:此时离心率eesi2「722-

Xy~

7.已知椭圆—+^-=1,7*,^是它的两个焦点，点P为其上的动点，当4产2为

94

钝角时，求点P横坐标的取值范围.

【解】由结论1知，当点P越接近短轴的端点时，人越大，所以只要求

/RPF?为直角时点p的横坐标的值，因为，=君，所以当公朋为直角时,

"22i—

22u工+21—13V5

点P在圆％+y=5上，解方程组94—，得：x=±k，所以点P横坐

、f+y2=5

_3753>/5

标的取值范围是：—丁<》<飞—.

8.（2021•哈尔滨市・黑龙江实验中学高二期中（文））已知椭圆

X2y2

C:-^+^=l,a>b>0,Fi,F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点

尸（毛,先）（$..0）使得/PF、F］=60,则椭圆的离心率的取值范围为（）

一④［八拒］「Li鼠1〕

A［KJB.［。5］C.刖D.也］

【解】方法1：设阀|=m,|P闾=2a-团,若椭圆C上存在点尸（如洲（务.0）使

得/P耳6=60,nt.a,（2a-m）2=m2+4c2-2m-2c-cos60,

,,,,4a2-4c2

4a2—4am+m2—m2+4c2—2mc，即加=~-

4a-2ct

4a2-4c2

---------<a+c

4。一2c=z>—„—,,BPe”—,.0<e<l0<e,,'.故选D

4a2-4c2a222

---------..a

、4a-2c

方法2：因为点P（^,yo）（xo..O）即P在上下顶点时，此时/Pg最大,

/P£K=60时离心率e=Sin幺"=sin3O=’，又椭圆必须比此时更圆才存

22

在点P（xo,yo）（xo..O）使得/尸耳入=60即0<e,,g故选D

2

XJ2

9.（2021•山东高三专题练习）设椭圆—+=1（«>^>0）的两焦点为耳，鸟，若椭

a

圆上存在点P,使/耳口鸟=120,则椭圆的离心率e的取值范围为（）.

A.B.C.争D.

"17

【解】当P是椭圆的上下顶点时，4最大,.•.120”180,

/.60„"PO<90,

石C,

sin60领kin/KPE<sin90，•山尸|=a,|耳。卜c,r.

Tr1■则植圆的离心率。

的取值范围为捋）,故选C.

10.（2021-福建省永春第五中学高三期中（理））已知£,人是椭圆

22

Xy

7+=1（。>6>0）的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PFAPFi.则该椭

圆的离心率的取值范围是（）

吟

A.B.C.D.衅

剽7

【解】方法1P£1PF2,:.P甲+PF；=RF；

PF；+PF；=(P6+PF^-2PFt-PF2..(P耳+PgJ_(心；桃)-=(3-(

当且仅当PFi=PF2时取等号），，“其（尸耳+尸空）

1万

222

由椭圆定义知：P£+P%=2a,又F}F2=2c::.4c^2a,:.e,又

e<l,:.离心率e的取值范围为

即营”故选B

.p,

故选B.方法2:P在上下顶点时，此时离心率eesiny,l

/

X~y

11.（2021.安徽淮南市）设4,4分别为椭圆C:—+^=Ka>b>0）的左右顶点，若

ab-

在椭圆上存在点尸，使得kpA-kr,>-1,则该椭圆的离心率的取值范围是（）

I2）12）[2J12J

【解】方法1：设尸（asina,反osa），A（-a,0）,4（a,0）;

氏os%1b21

hcosahcosa

kpA'=届小电。-..9-----〉---；-7<一

3+'na—a。飞in“a-Q2a2

解得坐<£<i；

•・.0<gJ-⑵］，峥二

2a

,该椭圆的离心率的范围是.故选C.

b21b21

方法2:「在上下顶点时，M加7匕J-->.---<—

a2----1"a12

.•.0<L^=l—（La,。）。；；.解得坐〈色〈I；该椭圆的离心率的范围是

a2（aj\2/2a

I2J

故选C.

X-y

12.（2021•甘肃兰州市兰州一中（文））已知椭圆/+万=1（。>6>0）的两个焦点分别

为耳，尸2,若椭圆上不存在点尸，使得/RPF?是钝角，则椭圆离心率的取值范围是

)

、(V2

B.争C.D.

727

【解】点P取上下顶点时，使得/RPF?是最大角,已知椭圆上不存在点尸，使

得/F[PF?是钝角，可得a2-c2..c2,可得a..Jlc.:.Q<e„

故选C.

CX)厂1

13.(2021•江西南昌市•南昌二中高二月考(理))设AB是椭圆C:—+—=1的两

4k

个焦点，若。上存在点P满足NAP8=12O,则k的取值范围是()

A.(0,1]7[16,+“)B.(o,；U[8,+e)C.[o,；口[16，+。)D.(O,l]7[8,+e)

【解】(1)0〈&<4时，C上存在点P满足APB=120M为椭圆短轴端点,

当P位于短轴的端点时，/APB取最大值，要使椭圆C上存在点P满足

^APB=120则/4M8质20,/AM。60,coszfAMO=—„cos60=；，解

得0<匕,1；

(2)当椭圆的焦点在y轴上时，k>4,同理可得k.A6-,:.k的取值范围是

故选A.

j2y2

14.(2021■山东枣庄市•高三二模(理))设£、F1是椭圆C：-+T=I的两个焦点,

若C上存在点M满足/耳照=120,则加的取值范围是()

A.du[8，+")B.(o,l]u[8,+⑹C.(°，；u[4,+e)D.(0,1]D[4,+")

【解】根据椭圆的性质可知，当点M在短轴的端点时，此时角/F\MF2最大，要使得

椭圆C上存在点M满足ZfJMF；=120,则/£M%.120,即ZOMF2..60,

当tn>2时，用"■=2=cos/OM//bos60=上=^=—,解得m..8,

\MF2\a2yjm2

当0v加v2时，=—=cos/OA/Rxx!fcos60=—=>,解得0vm»,—.

|M周a-2V222

所以实数rn的取值范围是一。，338+8），故选A.

\2

Xy

15.（2021.江苏南通市•海门中学高二期中）已知椭圆°：一+:—=1的焦点6,巴

m4-m

在X轴上，若椭圆上存在一点P,使得/耳2鸟=120,则实数m的取值范围为

0

"161fl61F16.「8八

A./B.卬+,C.匕,4）D.1J

【解】