内蒙古赤峰第四中学2023-2024学年高一上学期12月期中考试数学

赤峰四中20232024学年第一学期月考试题高一数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.2.函数定义域是（）A. B. C. D.3.已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（）A. B.C. D.4.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于A16 B.20 C.32 D.905.设，则的大小关系（）A. B.C. D.6.已知函数是R上的增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.下列函数最小值为4是（）A. B. C. D.8.“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A B.C. D.10.下列结论中错误的是（）A.集合的真子集有7个B.已知命题，则C.函数与函数表示同一个函数D.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是11.下列结论正确的是（）A.若是正实数，且，则B.若，则C.若，则D.若，则12.设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（）A.3 B. C. D.6三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数是偶函数，则________.14.已知为定义在上的奇函数，当时，则__________.15.已知函数且的图象过定点，且点的坐标满足关于的方程，则点的坐标为__________；的最小值为__________.16.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为__________.（用区间表示）四､解答题：本题共6小题，共70分（其中17题满分10分，其它满分12分）.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.化简求值：（1）；（2）.18.已知函数与互为反函数，设函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求的值域.19.已知函数，且.（1）求和值；（2）判断在上的单调性，并根据定义证明.20.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为为常数，.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.21.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求和实数的值；（2）若满足，求实数的取值范围.22.已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设.（1）求实数的值；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.

赤峰四中20232024学年第一学期月考试题高一数学一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集、交集定义进行即可.【详解】阴影部分表示的集合为，又，所以.故选：D.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的形式，直接列式求函数的定义域.【详解】根据函数的特点，函数的定义域需满足，解得：，所以函数的定义域是.故选：A3.已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的图象易得，结合指对数函数性质判断函数图象.【详解】由幂函数图象知：，所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足.故选：D4.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于A.16 B.20 C.32 D.90【答案】C【解析】【分析】由题意可得分别代值计算，比较即可【详解】，

当时，，

当时，，

故选【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．5.设，则的大小关系（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】采用中间值和指数函数和对数函数单调性比较大小.【详解】，又在R上单调递增，故，，，故.故选：B6.已知函数是R上的增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由分段函数的单调性，结合指数函数性质列不等式组求参数范围.【详解】由题意，故的取值范围是.故选：D7.下列函数最小值为4的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式逐项计算与判断后可得正确的选项.【详解】对于A，因为，所以，，当且仅当时等号成立，故A错误；对于B，因为，，所以，当且仅当，即取等号，所以函数最小值为4，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，而无解，故等号不成立，函数最小值不4，故C错误；对于D，取，则，故D错误.故选：B.8.“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数、二次函数性质，结合已知复合函数的单调区间列不等式求参数范围，再根据充分、必要性定义确定答案.【详解】由题设，令，所以在上递减，在上递增，而在定义域上递增，又在上单调递增，故，所以题设条件的一个充分不必要条件是.故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数的奇偶性及结合函数解析式直接得到函数的单调性，从而对四个选项一一进行判断.【详解】A选项，的定义域为，又，故为奇函数，A错误；B选项，的定义域为R，又，故为偶函数，且在上单调递增，B正确；C选项，的定义域为R，且，故为偶函数，且时，，单调递增，C正确；D选项，当时，单调递减，D错误.故选：BC10.下列结论中错误的是（）A.集合的真子集有7个B.已知命题，则C.函数与函数表示同一个函数D.若不等式对一切实数都成立，则实数取值范围是【答案】CD【解析】【分析】A列举法写出集合判断元素个数判断；B由全称命题的否定：任意改存在并否定结论判断；C由函数的对应法则、定义域是否相同判断；D特殊值判断是否恒成立即可判断.【详解】A：共有3个元素，故其真子集个数为，对；B：由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为，对；C：由的定义域为，的定义域为，所以它们定义域不同，不是同一个函数，错；D：显然时，对一切实数都成立，故在的取值范围内，错.故选：CD11.下列结论正确的是（）A.若是正实数，且，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】利用作差法，结合不等式及幂函数性质判断各项的正误.【详解】A：，又，则，对；B：，，所以，对；C：，又，则在上递减，所以且，则，对；D：，，所以，而的符号不确定，故无法比较的大小，错.故选：ABC12.设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（）A.3 B. C. D.6【答案】AB【解析】【分析】根据，且当时，，作出函数的部分图象，结合图象即可求出实数的取值范围，从而得出结论.【详解】由函数的定义域为，满足，当时，可得，当时，，，当时，，；作出函数的部分图象如下图所示：由类周期函数性质可知，当时，恒成立；解方程可得或；又因为对于任意的，都有，利用图象可知，因此选项AB符合题意.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数是偶函数，则________.【答案】【解析】【分析】根据题意可得，进而求解得或，进而根据偶函数的定义验证即可.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或，当时，的定义域为，不符合题意；当时，的定义域为，且，则为偶函数，符合题意.综上所述，.故答案为：.14.已知为定义在上的奇函数，当时，则__________.【答案】【解析】【分析】由奇函数的定义和性质求得函数的解析式.【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以；当时，；设，则，所以，又因为，所以；综上所述，,故答案为：.15.已知函数且的图象过定点，且点的坐标满足关于的方程，则点的坐标为__________；的最小值为__________.【答案】①.②.8【解析】【分析】根据对数函数图象性质可得函数图象过定点,即可得，利用基本不等式可得的最小值为8.【详解】当时，，函数且的图象过定点,又点的坐标满足关于的方程,可得，整理可得，所以，当且仅当，即时，等号成立；即的最小值为8.故答案为：；816.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为__________.（用区间表示）【答案】【解析】【分析】由题设，令易得为偶函数，在上递增，在上递减，且，讨论不同区间上对应解集，即可得结果.【详解】由为定义在上的奇函数，则，令，则对任意，，恒成立，所以在上递增，又，定义域为R，所以为偶函数，在上递增，在上递减，且，时，，在上，则；在上，则；综上，不等式的解集为.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分（其中17题满分10分，其它满分12分）.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.化简求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）应用有理数指数幂运算化简求值；（2）应用对数的运算性质化简求值.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式.18.已知函数与互为反函数，设函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题设可得，结合一元二次不等式、对数函数性质求解集可得范围；（2）令，则，结合二次函数性质求值域.【小问1详解】由题设，则，所以，可得或，所以或，故的取值范围为.【小问2详解】由，令，则，所以在上递增，故，所以的值域为.19.已知函数，且.（1）求和的值；（2）判断在上的单调性，并根据定义证明.【答案】（1）（2）在上的单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）由，代入直接可求；（2）应用定义法证明单调性.小问1详解】因为，所以，解得.【小问2详解】由（1）知：，在上的单调递减，证明如下：在上任取，且，，∵，∴，，，∴，∴，在上的单调递减.20.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的函数关系式为为常数，.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示.（1）从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药熏开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.【答案】20.；21.至少需要经过2小时后，学生才能回到教室.【解析】【分析】（1）根据题设及函数图象，注意函数在处连续，分别求、上解析式，进而写出分段函数形式即可；（2）由（1）只需，结合指数函数的单调性求解，即可得结果.【小问1详解】若，令，由图知：，则；若且函数在处连续，故有，故；综上，；【小问2详解】由（1），令，即，所以，至少需要经过2小时后，学生才能回到教室.21.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求和实数的值；（2）若满足，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）当时，；当时，；【解析】【分析】（1）根据奇函数性质即可计算出，；（2）分类讨论参数，利用奇函数性质解不等式即可求得实数的取值范