专题8.2 期中期末专项复习之实数二十六大必考点（举一反三）（北师大版）（原卷版）

专题8.2实数二十六大考点【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1求算术平方根、平方根、立方根】 1【考点2利用算术平方根的非负性求值】 2【考点3估算算术平方根的取值范围】 2【考点4求算术平方根的整数部分或小数部分】 3【考点5与算术平方根有关的规律探究】 3【考点6已知平方根、算术平方根或立方根，求该数】 4【考点7利用平方根、立方根解方程】 4【考点8已知平方根、算术平方根、立方根求参数】 5【考点9平方根、算术平方根、立方根的实际应用】 5【考点9实数、无理数的概念】 6【考点10实数的大小比较】 7【考点11实数与数轴】 7【考点12程序框图中的实数运算】 7【考点13新定义中的实数运算】 9【考点14实数的运算】 10【考点15实数运算的规律探究】 10【考点16实数运算的应用】 11【考点17二次根式的概念】 12【考点18二次根式有意义的条件】 12【考点19利用二次根式的性质化简】 13【考点20同类二次根式的概念】 13【考点21二次根式的混合运算】 14【考点22二次根式的化简求值】 14【考点23二次根式的应用】 14【考点24二次根式中的新定义问题】 16【考点25利用分母有理化求值】 16【考点26二次根式中的阅读理解类问题】 18【考点1求算术平方根、平方根、立方根】【例1】（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）0.16的算术平方根是______，25的平方根是______．【变式1-1】（2022·云南·景洪市第三中学七年级期中）计算正确的是（

）A．31=±1 B．-0.81=0.9 C．【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：(1)m＋n的值；(2)（m【变式1-3】（2022·湖南·八年级单元测试）－27的立方根与9的平方根之和为（

）A．0 B．6 C．0或－6 D．0或6【考点2利用算术平方根的非负性求值】【例2】（2022·全国·八年级专题练习）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+5-c＝0．(1)求实数a，b，c的值；(2)求a-3b+c的平方根．【变式2-1】（2022·全国·七年级）若y＝2x-1﹣1-2x+6x，则2x+2y-3的值为_____．【变式2-2】（2022·上海·九年级专题练习）若x-2+|y+7|+(z-7)2=0，则A．±2 B．4 C．2 D．±4【变式2-3】（2022·广东湛江·八年级期末）已知|2020﹣m|+m-2021＝m，求m﹣20202的值．【考点3估算算术平方根的取值范围】【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式3-1】（2022·全国·七年级专题练习）数轴上表示下列各数的点，能落在A，B两个点之间的是（

）A．-3 B．C．11 D．13【变式3-2】（2022·天津·九年级期末）估计7-2的值在（

A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间【变式3-3】（2022·重庆·八年级期中）估计13+12的值在（A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间【考点4求算术平方根的整数部分或小数部分】【例4】（2022·上海徐汇·七年级阶段练习）11的整数部分是______．小数部分是_______．【变式4-1】（2022·浙江·七年级阶段练习）6-11的小数部分为a，7+11的小数部分为b，则【变式4-2】（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级期中）已知2a-1＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c的平方根．【变式4-3】（2022·江苏·八年级）设2+6的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根．【考点5与算术平方根有关的规律探究】【例5】（2022·山东菏泽·八年级期中）将一组数3，6，3，12，15，……，228按下面的方法进行排列：3

6

3

12151821242730……若12的位置记为1,4，24的位置记为2,3，则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．14,4 B．14,5 C．15,5 D．16,1【变式5-1】（2022·全国·八年级专题练习）阅该下列材料：（1）求下列各数的算术平方根：0.000004＝0.002，0.0004＝0.02，0.04＝0.2，4＝2，400＝20，根据以上材料填空：40000＝__，4000000＝__．（2）已知2≈1.414，直接写出：0.02≈______，200≈_____，20000≈______．【变式5-2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）观察下列各式：(1)(2)(3)(4)⋯⋯用字母n表示出一般规律是__________．（n为不小于2的整数）【变式5-3】（2022·北京市十一学校二模）由102=100，1002=10000，我们可以确定1225是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定1225个位上的数是______，如果只看1225的前两位12，而32=9，【考点6已知平方根、算术平方根或立方根，求该数】【例6】（2022·山西临汾·七年级期中）若正数a的两个平方根分别是x+2和2x-5，则a的值为___________．【变式6-1】（2022·福建·古田县玉田中学八年级阶段练习）若一个数的平方根和立方根都是它的本身，则这个数是(

)A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1【变式6-2】（2022·江苏·八年级专题练习）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69；x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，则（

）A．x=1100a,y=-1000bC．x=100a,y=1100a【变式6-3】（2022·河南·平顶山市第三中学七年级期中）若4−2a与3a+1是同一个正数的两个平方根．(1)求a的值；(2)求这个正数．【考点7利用平方根、立方根解方程】【例7】（2022·江苏·八年级专题练习）求下列等式中的x；（1）若x2=196，则x=______；（2）若x2=（3）若x2=(-5)2，则x=______；（4）若(-x)【变式7-1】（2022·黑龙江·拜泉县第三中学七年级阶段练习）用学过的知识解方程(1)8(2)4【变式7-2】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）5+3x+1＝3【变式7-3】（2022·湖北·监利市玉沙初级中学七年级阶段练习）解方程：(1)x3(2)16x【考点8已知平方根、算术平方根、立方根求参数】【例8】2022·吉林四平·七年级期中）已知2a-1的平方根是±3，a+3b-1的算术平方根是4．(1)求a、b的值；(2)求ab+5的平方根．【变式8-1】（2022·福建厦门·七年级期中）已知a2=81，3b=-2【变式8-2】（2022·四川·自贡市田家炳中学七年级期中）已知x+2的平方根±3，2x+y+7的立方根是3，试求7x-3y的立方根．【变式8-3】（2022·江西·上饶市广信区第七中学七年级期中）已知2a-1的算术平方根是17，3a+b-1的立方根是3．(1)求a，b的值；(2)求a+b的平方根．【考点9平方根、算术平方根、立方根的实际应用】【例9】（2022·山西吕梁·七年级期末）如图，在数学活动课上，小颖制作了一个表面积为30cm2的无盖正方体纸盒，这个正方体纸盒的棱长是（A．5cm B．6cm C．10cm【变式9-1】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）交通警察通常根据刹车时后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是v2=256df+1，其中v表示车速（单位；km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦系数，f=1.25【变式9-2】（2022·福建福州·七年级期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5:3且面积为540m【变式9-3】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学七年级阶段练习）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16000cm3．(1)求长方体的水池长、宽、高为多少？(2)当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的160，求该小球的半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm【考点9实数、无理数的概念】【例9】（2022·山东青岛·八年级期中）下列各数1.414，36，20π，13，8，8.181181118…按规律排列），3.1415926A．3 B．4 C．5 D．6【变式9-1】（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）关于“19”，下列说法不正确的是（

）A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示C．它可以表示面积为19的正方形的边长 D．它不是实数【变式9-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期中）设m为大于1且小于100的整数，则m的平方根中，属于无理数的个数有（）A．92个 B．180个 C．182个 D．184个【变式9-3】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级）把下列各数分别填入相应的集合里．-|-5|,-32,0,-3.14,227,+1.99,-(1)负数集合：{

…}；(2)非负整数集合：{

…}；(3)分数集合：{

…}；(4)无理数集合：{

…}．【考点10实数的大小比较】【例10】（2022·安徽合肥·七年级期末）下列四个数中最小的实数是（

）A．0 B．-π C．-2 D．-3【变式10-1】（2022·福建福州·七年级期中）比较大小：37__________6．（用“>”或“<”连接）【变式10-2】（2022·湖北·测试·编辑教研五八年级阶段练习）四个实数-2，0，1，2中最大的实数是（

）A．-2 B．0 C．1 D．2【变式10-3】（2022·辽宁阜新·八年级期末）比较大小：52______54（填“＞”“＜”或“＝【考点11实数与数轴】【例11】（2022·广东韶关实验中学九年级期中）己知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A．a>b B．a<b C．ab>0 D【变式11-1】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，在数轴上表示-1，-2的对应点为A，B，若点A是线段BC的中点，则点C表示的数为______【变式11-2】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学七年级期中）如图，已知直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A与数轴上表示-1的点重合，若将该圆形纸片沿数轴滚动一周（无滑动）后点A与数轴上的点A'重合，则点A'表示的数为_____________【变式11-3】（2022·湖南·八年级单元测试）若实数a的位置如图所示，则a、-a、1a、a2，的大小关系是【考点12程序框图中的实数运算】【例12】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（

）A．输入值x为16时，输出y值为4B．输入任意整数，都能输出一个无理数C．输出值y为3时，输入值x为9D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值【变式12-1】（2022·福建厦门·七年级期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为2时，输入值x为2或4；②当输入值x为9时，输出值y为3；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中正确的是________．【变式12-2】（2022·河北邢台·七年级期末）按下面程序计算：（1）当输入x=5时，输出的结果为______（2）若输入x的值为大于1的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的x的值是______【变式12-3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期末）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据是8时，输出的数据是_______；当输入数据是ｎ时，输出的数据是_____【考点13新定义中的实数运算】【例13】（2022·辽宁葫芦岛·七年级阶段练习）对于任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4，2=1，则19【变式13-1】（2022·全国·七年级）对于正数x，规定f(x)=x1+x，例如f(3)=31+3=【变式13-2】（2022·四川省德阳市第二中学校七年级阶段练习）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[2]＝2，[3.7]＝3，现对72进行如下操作：72→第一次[72]＝8→第二次[8]＝2→第三次[2]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：对109只需进行【变式13-3】（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）已知一个四位自然数n，若n满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称n为“加油数”．对于一个“加油数”n，将n的百位数字记为x，百位数字与十位数字的积记为y，令Fn例如：当n=1541时，∵1=1且5=4+1，∴1541是“加油数”：此时x=5，y=5×4=20，F1541=3×52-20=55；当n=3213时，∵3=3但2≠1+3，∴3213(1)请判断2422，1531是否是“加油数”、并说明理由；如果是，请求出对应的Fn(2)己知m是个位上的数字小于十位上的数字的“加油数”，将m的各个数位上的数字之和记为Gm，若FmGm能被【考点14实数的运算】【例14】（2022·河南信阳·七年级期末）计算：(1)-2(2)1-【变式14-1】（2022·福建龙岩·八年级期中）计算：-12021【变式14-2】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）计算：(1)-3(2)7-2(3)1+(4)-4【变式14-3】（2022·辽宁鞍山·七年级期中）计算(1)0.04(2)-【考点15实数运算的规律探究】【例15】（2022·湖南·李达中学七年级期中）已知C32=3×21×2=3，C53=5×4×31×2×3=A．56 B．54 C．52 D．50【变式15-1】（2022·贵州铜仁·九年级学业考试）观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是__________．【变式15-2】（2022·山东济南·八年级期中）a是不为1的数，我们把11-a称为a的差倒数，如：2的差倒数为11-2=-1；已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3【变式15-3】（2022·甘肃庆阳·八年级期末）观察以下等式：第1个等式：1×2×3×4+1=5第2个等式：2×3×4×5+1=11第3个等式：3×4×5×6+1=19第4个等式：4×5×6×7+1=29…按照以上规律，写出第n个等式：______．（用含n的代数式表示）【考点16实数运算的应用】【例16】（2022·福建龙岩·七年级期末）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（

）A．10 B．89 C．165 D．294【变式16-1】（2022·湖北武汉·七年级期中）用48米长的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方形场地，另一种是围成圆形场地．选用哪一种方案围成的场地的面积较大？并说明理由．【变式16-2】（2022·上海静安·七年级期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（π≈3.14，结果精确到0.1）【变式16-3】（2022·浙江绍兴·七年级期末）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．（1）求S阴=（2）在5×5的正方形网中作一个边长为13的正方形．【考点17二次根式的概念】【例17】（2022·北京·人大附中八年级期末）下列式子中，是二次根式的是()A．2 B．32 C．x D．【变式17-1】（2022·河北沧州·八年级期中）下列式子一定是二次根式的是()A．a2 B．－a C．3a D【变式17-2】（2022·全国·八年级课时练习）若a=5，则下列各式是二次根式的是(

)A．3-a B．5-a C．a-5【变式17-3】（2022·内蒙古·北京师范大学乌海附属学校八年级期中）a是任意实数，下列各式中：①a+2；②(-2a)4；③a2+3；④a2A．1 B．2 C．3 D．4【考点18二次根式有意义的条件】【例18】（2022·山东·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）若a，b为实数，且b=a2-1+1-a2A．±1 B．4 C．3或5 D．5【变式18-1】（2022·广东惠州·八年级期末）若式子x+6在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A．x≥－6 B．x≤－6 C．x>－6 D．x＜－6【变式18-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）下列二次根式一定有意义的是（

）A．2 B．-2 C．a D．-a【变式18-3】（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）若1999-x+x-2006=x，则【考点19利用二次根式的性质化简】【例19】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）若a＜0，b＞0，则化简214A．a﹣2b B．2a﹣b C．2b﹣a D．b﹣2a【变式19-1】（2022·河北·沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）化简下列二次根式（字母表示正数）(1)24(2)16【变式19-2】（2022·云南·会泽县以礼中学校八年级阶段练习）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b【变式19-3】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学八年级期中）化简：x-32【考点20同类二次根式的概念】【例20】（2022·全国·八年级单元测试）下列二次根式中，化简后可以合并的是

（

）A．a2b与a B．xyC．50与5 D．a+b与【变式20-2】（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期中）若最简二次根式3x-102x+y-5和x-3y+11能合并，则x2+【变式20-3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）如果最简二次根式4a-5与13-2a是同类二次根式．(1)求出a的值；(2)若a≤x≤2a，化简：x2【考点21二次根式的混合运算】【例21】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级阶段练习）计算：(1)12-6(2)3+2【变式21-2】（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学八年级期中）计算：(1)(1(2)(3【变式21-3】（2022·湖南·宁远县仁和镇中学九年级阶段练习）计算：(1)40+(2)2×(3)7a【考点22二次根式的化简求值】【例22】（2022·全国·八年级期中）已知a=3+1，求a+【变式22-1】（2022·福建龙岩·八年级阶段练习）先化简，再求值：(a+b)2-(a-b)(a【变式22-2】（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级阶段练习）先化简，再求值：25xy+xyx-4yx【变式22-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知y＝x-8＋8-x＋18，求代数式x+yx-y﹣2xy【考点23二次根式的应用】【例23】（2022·山东·费县第二中学八年级期中）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cmA．4-23cm2 B．83-4cm【变式23-1】（2022·江西省于都中学八年级期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p＝a+b+c2，那么这个三角形的面积S＝p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202﹣1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S＝1问题：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海伦﹣秦九韶公式求△ABC的面积为_____．【变式23-2】（2022·江苏·扬州市江都区华君外国语学校八年级阶段练习）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+1621×1（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m【变式23-3】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学八年级阶段练习）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为(13(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为5元【考点24二次根式中的新定义问题】【例24】（2022·安徽合肥·八年级期中）我们规定用a,b表示-对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m,n与n,m称为数对a,b的一对“对称数对”，例如：4,1的一对“对称数对”为1(1)数对25,4的一对“对称数对”是________和________；(2)若数对x,2的一对“对称数对”的一个数对是2,1，求x(3)若数对a,b的一对“对称数对”的一个数对是3,33，求【变式24-1】（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：a*b=3a-b2，例：(1)求2*-(2)若m=5-35+【变式24-2】（2022·山东济宁·八年级期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于2的共轭二次根式，则a＝；(2)若2+3与2+3m是关于1的共轭二次根式，求m的值．【变式24-3】（2022·福建省泰宁县教师进修学校八年级期中）我们规定，若a＋b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）若3与x是关于1的平衡数，5－2与y是关于1的平衡数，求x，y的值；（2）若（m＋3）×（1－3）＝－2n＋3（3－1），判断m＋3与5n－3是否是关于1的平衡数，并说明理由．【考点25利用分母有理化求值】【例25】（2022·山东·宗圣中学八年级阶段练习）在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如232323(1)请用两种不同的方法化简17(2)选择合适的方法化简1n+n+1(3)求11+【变式25-1】（2022·江苏盐城·八年级期末）像(5+2)(5-2)=1，a•a＝a（a≥0），（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：5与5，2+1与2﹣1，23+35与23(1)化简：①323=②15-(2)计算：(12+1+13+(3)已知a=2022-2021，b=2023-【变式25-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如：32，23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：3以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化．(1)根据上面规律化简：15＝______；15-1(2)化简下列各式①5-1②8-2③13-3④20-4(3)用含n（n≥1的整数）的式子写出（2）中第n个式子，并化简．【变式25-3】（2022·全国·八年级单元测试）阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23+1=2(3-1)②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知ab2，ab3，求a2b2．我