新高考数学一轮复习提升训练3.4 对数运算及对数函数（精讲）（解析版）

3.4对数运算及对数函数（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一对数运算【例1】（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；.（3）SKIPIF1<0；．（4）SKIPIF1<0.【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2.【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0【一隅三反】（2022·全国·高三专题练习）化简求值：（1）SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.（4）SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0．【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5）SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．考点二对数函数的单调性【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内单调递增，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，函数定义域满足：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，根据复合函数单调性知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，函数对称轴为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【例2-2】（2022·天津·南开中学二模）已知函数SKIPIF1<0是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】当函数SKIPIF1<0是R上的单调递减函数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不可能是增函数，所以函数SKIPIF1<0在R上不可能是增函数，综上：实数a的取值范围为SKIPIF1<0，故选：B【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的单调递增区间为____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，开口向上，对称轴为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，SKIPIF1<0在定义域内单调递增，所以SKIPIF1<0)在SKIPIF1<0上单调递增，所以函数SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞，a)单调递减，则a的取值范围是（

）A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】A【解析】SKIPIF1<0是增函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0递增，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：A．3．（2021·天津市武清区大良中学高三阶段练习）若函数SKIPIF1<0在R上单调递增，则实数a的取值范围是_______【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，在R上单调递增，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也递增，由增函数图象特征知：SKIPIF1<0不能在点SKIPIF1<0上方，综上，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴实数a的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022·河北）已知函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，因为外层函数SKIPIF1<0为减函数，则内层函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.考点三对数函数的值域（最值）【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】A【解析】由题意知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立．故选：A.【例3-2】（2022·四川·宜宾市教科所三模）若函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】当SKIPIF1<0时，f(x)=SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，f(x)=SKIPIF1<0，故要使SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，则0≤SKIPIF1<0≤1，解得SKIPIF1<0．故选：C．【例3-3】（2022·重庆·模拟预测）若函数SKIPIF1<0有最小值，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】依题意SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，综上可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在定义域上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，根据复合函数的单调性可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在定义域上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，根据复合函数的单调性可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以函数在SKIPIF1<0取得最小值，所以SKIPIF1<0；故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以该函数的定义域为SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；所以函数SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0．故选：B．2．（2022·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∵函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D．3．（2022·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题可知，函数SKIPIF1<0的值域包含SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，符合题意；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，显然不符合题意，故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】∵SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0的值域为R，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：C．考点四对数式比较大小【例4-1】（2022·江苏常州·模拟预测）已知SKIPIF1<0，则正确的大小顺序是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.【例4-2】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））设SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0.故选：D.【一隅三反】1．（2022·浙江·模拟预测）己知实数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其次，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0单调递增，所以由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0．故选：A2．（2022·全国·模拟预测）定义在R上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则a，b，c的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0关于直线x=1对称.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由复合函数的单调性知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.3．（2022·浙江金华·三模）若函数SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0为偶函数；易知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为单调递增函数；又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A.4．（2022·广东佛山·三模）（多选）已知SKIPIF1<0，则下列不等式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】选项A：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.判断错误；选项B：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上减函数，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.判断正确；选项C：由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0为R上减函数，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上增函数，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上增函数，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.判断正确；选项D：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.判断错误.故选：BC考点五解对数式不等式【例5-1】（2022·河南濮阳）已知函数SKIPIF1<0是R上的偶函数，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒有SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．1,e2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为函数SKIPIF1<0是R上的偶函数，所以SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，在SKIPIF1<0上恒有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，不等式SKIPIF1<0需满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C．【例5-2】（2022·湖北·二模）已知函数SKIPIF1<0，则使不等式SKIPIF1<0成立的x的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为偶函数，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故选：D【一隅三反】1．（2021·河南·高三阶段练习（理））设函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】依题意，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即0<x-1≤2，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故选：A2．（2021·江西·奉新县第一中学高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且定义域为SKIPIF1<0关于原点对称，即SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上均单调递增，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也单调递增且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0为奇函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在R上单调递增，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0实数a的取值范围是SKIPIF1<0，故选：A.3．（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函数，于是原不等式可化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故选：B考点六对数函数的定点【例6】（2021·四川·德阳五中）若函数SKIPIF1<0的图象经过定点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在角SKIPIF1<0的终边上，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】对于函数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数恒过定点SKIPIF1<0，又点SK