运动方程建立

2运动方程的建立2.1利用d’Alembert原理的直接平衡法2.2动力学普遍定律2.3哈密顿〔Hamilton〕原理2.4Lagrange运动方程2.5约束与Lagrange乘子法2.6假想振型法2.7广义体系特性的表达式1精选ppt2.1利用d’Alembert原理的直接平衡法d’Alembert原理：任何质量m的动量变化率等于作用在这个质量上的力。其中p(t)作用力矢量，u为质量m的位置矢量。对绝大多数结构动力学问题，可以认为质量是不随时间变化的。（2.1）（2.2）（2.3）质量产生的惯性力，也叫d’Alembert力，与它的加速度成正比，但方向相反。这个概念称为d’Alembert原理。因此，本节实际为考虑惯性力的直接平衡法。2精选ppt作用在结构上的力有哪些呢？P1单层厂房受侧向力作用下，发生侧位移。立柱中会产生与平衡的水平剪力。若逐渐缓慢地撤掉，则立柱与横梁逐渐回到平衡位置。说明结构有恢复平衡的能力，即存在弹性恢复力。若侧移较小，两个立柱在弹性范围内，弹性恢复力与侧移成正比。（2.4）抗侧移刚度3精选ppt单层厂房初始发生侧移，突然撤掉作用力，横梁会围绕平衡位置来回振荡。这种振荡会永远持续下去吗？显然不会，为什么？因为结构系统中存在能量消耗。

关于阻尼有两种定义或理解：1）使振动衰减的作用；2）使能量耗散。在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素1〕结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦〞，耗散能量；2〕建筑物根底的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；辐射阻尼。3〕土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。4精选ppt

把结构中的这种能量消耗与某种力学元器件〔阻尼器〕的能量消耗等效，那么可以用阻尼器表示这种作用。度量这种能量消耗却异常困难。粘滞阻尼理论（2.5）粘滞阻尼力5精选ppt

振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：*粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比*滞变阻尼理论——滞变阻尼可定义为一种与速度同相而与位移成比例的在阻尼力。

阻尼力其他公式： 总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：1〕与质点速度成正比〔常用，称为粘滞阻尼〕。2〕与质点速度平方成正比〔如在流体中运动受到的阻力〕3〕与质点速度无关〔如摩擦力〕。6精选ppt在结构动力学上，左右等效的条件是参数合理选取。阻尼系数为c的阻尼器与原结构耗能等效这样，单层厂房结构就可以采用质量、弹簧、阻尼器系统等效mc7精选pptmcmc下面采用利用d’Alembert原理的直接平衡法，研究质量、弹簧、阻尼器系统的运动方程。解：（1）以小车（质量）的水平位移为基本未知量在动荷载的作用下，小车会发生水平运动。〔2〕分析小车水平方向的受力，有8精选ppt作用在小车上的力有：外力弹性恢复力阻尼力惯性力〔3〕列小车水平向平衡方程这就是单层厂房水平侧移的运动方程。也是所有单自由度结构体系的运动方程。（2.6）9精选ppt惯性力的计算〔1〕平面内质量为m的质点〔2〕平面内质量为m,边长分别为a、b的均布质量块〔3〕平面内质量为m,半径为r的均布质量圆盘惯性力计算的另一种方法——直接积分法：质量是分布的；加速度在质量各处均不一样，但可以采用函数表达，那么可对惯性力直接积分得到。10精选ppt一平板单位面积质量密度为，上边作用着一均布荷载p(t)，左上角用一弹簧系数k的水平弹簧拉着，左下角为一固定角支座，下边的中央和右下角安置了两个阻尼系数为c的阻尼器，水平长度为a，竖直长度为b。假定平板的运动为小变形，建立平板的运动方程。abo例2.111精选ppt解:〔1〕选定平板右下角向下位移为根本未知量u(t)〔2〕对平板进行受力分析，如下图。o12精选ppt〔3〕列平衡方程对o点取矩，列力矩平衡方程，有整理，得简写为13精选ppt作业1：图示体系为质量均匀分布的刚性平板,其质量密度为，试建立运动方程。弹簧4k的顶点J作竖向运动Z(t)。2b2aJ14精选ppt实际结构采用考虑惯性力的直接平衡法建立运动方程在质量凝聚方案选定后，主要是弹簧系数问题柔度法列位移方程mEIl=1l柔度系数柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。15精选ppt刚度法mEIl1y刚度系数刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。列动力平衡方程16精选ppt例1.mEIlEIl=1l17精选ppt例2.=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/418精选ppt例3.m1EIl/3l/3l/3m2=简记为位移向量柔度矩阵荷载向量质量矩阵加速度向量19精选ppt图示为三种不同支承情况的单跨梁，EI＝常数，梁的质量m凝聚在梁的中点。作业2不考虑结构阻尼，建立三种不同支承单跨梁的运动方程。20精选ppt受理想约束的系统，在运动的任何瞬时，主动力与惯性力在虚位移上的元功之和为零。理想约束：如果系统的约束反力所做的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。如光滑面约束，光滑铰链约束等在运动过程中不消耗能量的约束。主动力：非惯性力。动力学普遍定律：考虑惯性力的虚位移原理。2.2动力学普遍定律系统为所有约束所允许的无穷小位移。三个特点：约束允许，即满足边界条件；无穷小，但不为零，可以不考虑系统形状的改变；虚设的，大小与方向是任意的。2.2.1虚位移21精选ppt实位移是在一定的力作用下和一定初始条件下运动而实际发生的；虚位移那么是在约束容许的条件下可能发生的。实位移具有明确的方向，可能是微小值，也可能是有限值。虚位移那么是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。在定常约束条件下，微小的实位移必然是虚位移之一。这是因为只有约束所允许的位移才是实际可能发生的位移。定常约束是指不随时间变化的约束。实位移虚位移实际的可能的方向明确多个可能方向微小值，有限值微小实位移是虚位移的一种无穷小22精选ppt虚位移要满足约束条件，因此系统内的虚位移之间存在一定关系。如何寻找这种关系是虚位移原理应用的前提。〔a〕几何法在微小变形的理论前提下，结构位移不改变其形状。在确定虚位移之间关系时，可不考虑结构的形状改变，运用几何学或运动学来求各点虚位移之间的关系。〔b〕解析法广义坐标：与约束条件协调，并足以标定系统在空间中最小的独立物理量。广义坐标的数目=系统的自由度数。2.2.2虚位移的表示方法23精选ppt如一系统的个广义坐标为、、、……，那么系统中任意质点的物理量〔如位移量等〕均可用个广义坐标表示。如质点的矢径可表示为式中n为质点数，k为广义坐标数质点i的虚位移为式中为变分符号24精选ppt变分当有无穷小增量时，相应的增量称为函数的微分，并有其中，为函数关于时间的一阶导数。现在给函数的形式一个微小的改变，即改变为其中为一无穷小量；为的任意函数，由于函数的这一改变，将改变为设有一个以t为根本变量的函数25精选ppt对应于这一改变，当有一确定值时，有一个增量，设以表示，那么

称为函数的等时变分，简称变分。这就是说，当基本变量不变时，由于函数本身形式的变化所引起的函数的任意改变量称为函数的变分。由以上定义可以看出，微分和变分是性质完全不同的两种增量。这里还可以用图线来说明。26精选ppt变分与微分示意图由于函数形式发生改变而有的的增量。从图中可以清楚地看出：微分是当改变到时，设将及用图线来表示。的增量；变分是当不变时，27精选ppt变分与微分在概念上虽然不同，其计算方法却是一样的，但在计算变分时，根本变量是保持不变的。下面介绍关于变分运算的两个规那么〔1〕由于微分变分的运算彼此无关，可以得到如下得关系式证明如下。由变分的定义有而根据导数的定义28精选ppt上式说明：变分与微分运算次序是可以互换的。〔2〕同理，变分与积分得运算次序也可以互换。由此，得29精选ppt确定双摆各点直角坐标系下的虚位移。各点的直角坐标用广义坐标表示。广义坐标选择为和假设广义坐标、的变分为、例2.230精选ppt双摆，摆锤A、B各重、。摆杆长、设在B施加一水平力维持平衡，求摆杆与铅垂线的夹角、。解：由虚功原理将下式代入得，例2.331精选ppt因为变分、是彼此独立的虚位移，为任意的。则有、，于是

32精选ppt如图所示复摆，由两个长为2刚性杆组成。上面的刚性杆中间用一根弹簧系数为运用动力学普遍定理建立系统的运动方程。的水平弹簧系着。、质量为m的均匀作业333精选ppt2.3哈密顿〔Hamilton〕原理建立结构动力方程，我们已经讲过利用达朗贝尔原理的直接平衡法和利用虚位移原理的动力学普遍定律。第一个方法直接建立矢量平衡方程式，第二个方法虽然功是标量，但用来计算功的力和位移却是矢量。应用矢量不方便之处就是确定方向。有没有利用标量建立结构动力方程的方法。有！这就是哈密顿原理。34精选ppt设有一局部空间〔有限大或无限大〕，当质点占据其中一定的位置时，就受到一个力的作用，而这个力的大小和方向单一地决定于质点的位置，那么这局部空间称为力场。如果质点在力场中运动，力场对质点作用力的功，仅与质点的起止位置有关，与路径无关，该力场称为势力场或保守力场。如引力场、重力场、弹簧极限范围内的弹性力场都是势力场。质点经过任一封闭曲线回到起点，有势力所做的功恒等于零。

质点在势力场中所受的力称为有势力或保守力。非有势力称为非保守力。摩擦力、阻尼力为非保守力。一般情况下外力也是非保守力。2.3.1保守力场〔势力场〕35精选ppt式中：——体系的总动能，——体系的总势能，包括应变能及任何保守外力的势能，——作用在体系上的非保守力（包括阻尼力和任意外荷）所作的功。——在指定时间内所取的变分。在任何时间区间[，加上所考虑的非保守力所做的功的变分等于零。]内，动能和势能的变分2.3.2哈密顿原理36精选ppt应用这一原理可导出任何给定体系的运动方程。与虚位移原理的区别在于，不明显使用惯性力和弹性恢复力，而分别被动能和势能的变分项所取代。方法的优点是只和标量有关。哈密顿原理用于静力问题，就是最小势能原理。此时动能消失。37精选ppt利用哈密顿原理建立弹簧—阻尼—质量块系统的动力方程。

势能：

非保守力：外荷载、阻尼力非保守力作功代入哈密顿原理中，动能：mc例题2.438精选ppt=注意，哈密顿原理研究的是结构从时刻其位置A运动到时刻位置B的动力反应。即结构在[，]区间上除，两时刻结构的动力反应，也就是哈密顿原理所列公式是假设初始与最后的位置已知，即u(t1)、u(t2)为已知的情况。因此

和39精选ppt这就是哈密顿原理成立的根本条件，即端点不变分。由于是任意的。所以40精选ppt2.4Lagrange运动方程只要用一组广义坐标、、…来表示总动能、总势能和总保守力的虚功，就可以从动力学的变分积分原理〔哈密顿原理〕中，直接推导出N个自由度体系的运动方程。大多数结构体系的动能可以用广义坐标和它们的一阶导数表示。势能那么可以单独用广义坐标表示。此外，非保守力在广义坐标的一组任意变分所引起的虚位移上所做的虚功可以表示为这些变分的线性函数，也就是非保守力作功可以用广义坐标变分的线性组合来表示。即41精选ppt这里系数分别是对应于广义坐标、、…的广义力函数。代入哈密顿原理的方程中42精选ppt将动能、势能、非保守力作功的变分代入对速度项进行分步积分由于端点不变分，即43精选ppt所有的变分是任意的，

这就是Lagrange运动方程。一般来说，势能与广义速度无关，记有44精选ppt

在许多系统中，不含非保守力，实际上是保守系统，那么

Lagrange方程对推导系统的运动方程非常有效，特别是自由度较多时。所有的运动微分方程都是从两个标量函数和与非保守力有关的虚功得到。这些方程适应于线性系统和非线性系统。Lagrange方法的主要优点是防止了约束力的求解。45精选pptExample2.5建立以下系统的运动方程。解：、为广义坐标以〔1〕选定根本未知量

势能零点46精选ppt〔2〕系统的动能势能动能〔3〕非保守力作功〔4〕代入Lagrange方程式47精选ppt

其中广义力在广义坐标变分上作功。本例题中广义坐标是非保守力作功为、。48精选ppt、其变分是。非保守力作功式中对应广义坐标变分、所对应的广义力分别为、将上述表达式代入拉格朗日运动方程，整理得当较小时，、代入上式，并略去高阶量，整理得49精选ppt重力的作用只改变平衡位置，不起恢复力作用，那么在动力学求解中，可不考虑重力作用。结构动力学可只计算动力局部位移和内力。计算完成后再与静力局部叠加。进行结构强度设计等。mEIl/2l/2W重力问题50精选ppt2.5约束与Lagrange乘子法通常确定一个N个自由度体系的动力反响时，、┅、但有时为了要保持运动方程得对称性，宁可取一组的坐标、用一组广义坐标写出其运动方程。、、…。因为这组坐标的数目超过了体系的自由度数，所以它不是广义坐标。由此，我们必须在体系中增加个（）约束方程。例如双摆问题中我们取广义坐标、，我们也可以取、、、为坐标，当然还需要增加两个约束方程。51精选ppt假设把一般情况中的m个约束方程表示成…………的形式。那么其变分为……………………52精选ppt53精选ppt在时间间隔到然后在哈密顿变分方程中上积分，加上前面的积分，得到由于变分上式中每一个大括号内的项必然等于零，即是完全任意的，这就是Lagrange方程的修正形式54精选ppt它允许采用坐标、、…初看起来建立上式的这种方法似乎意义不大，因为在哈密顿方程中加上了一些等于零的积分项；然而应当指出的是当每一个重新组合后自然也不一定等于零。因此，Lagrange乘子法方程的建立考虑了多于广义坐标数目的约束方程。。时，式中的每一项单项并不一定等于零。55精选ppt、、…、共方程本身有c个，加上m个约束方程，问题可解。Lagrange乘子法方程包含个未知函数，叫做Lagrange乘子。这种与时间有关的函数56精选ppt2.6假想振型法2.6.1位移形状函数设对其进行变量别离，这种分布的相对数值不随时间变化。是一个结构问题的位移解，反映了系统位移在空间上的分布，反映了系统位移在时间上的变化规律。我们前面讲过，结构凝聚的方法有直接往结点凝聚和往振型凝聚两种方法。这里将结构的振型凝聚问题。57精选ppt如一竖直悬臂梁的水平侧移运动为这种方法，在数学是叫别离变量法。在结构动力学上就叫振型分解法。即是时间变量的函数，也是空间变量的函数。假设固定空间形状为即整个梁按此固定形状振动，那么梁的运动可用某点随时间的函数表示清楚，即一般情况下，我们选择顶点的运动。58精选ppt多个振型叠加，并配以不同的振型坐标，即不同振型梁顶点的运动函数是不同的。这样就足以描述梁的各种运动。此时可考虑采用多个振型，共同描述梁的运动的方法。每个不同的例题具体取多少振型，完全取决于人们对求解精度的要求。有的同学会问，外荷载千变万化，梁的变形形状有很多种可能。用一个形状怎么能够表示呢？为振型数目59精选ppt60精选ppt但问题是我们现在是建立运动方程，并不知道结构的真实振型。怎么办？采用假想振型。进行振型假想时应该注意以下几点。是位移函数，反映位移的某种可能的形状；构成一组线性无关的向量组；的连续导数的阶数应满足势能V中所要求的阶数；必须满足所有的位移边界条件〔可以不满足力的边界条件〕。〔1〕〔3〕〔2〕〔4〕61精选ppt2.6.2杆的纵向振动问题〔2〕系统能量动能：设杆的轴向位移为势能：〔1〕根本未知量选定在杆中取以微元体，应力在线弹性的微元体上作功等于储存在其中的势能。62精选ppt〔3〕非保守力作虚功代入上式，那么势能表达式为代入非保守力作虚功表达式，得将位移变分表达式63精选ppt广义力为〔4〕应用Lagrange方程式64精选ppt65精选ppt综合得，66精选ppt例2.6用假想振型法确定均匀悬臂杆在端部受到的作用下的运动方程。均匀悬臂杆的唯一边界条件为，那么形函数解：〔1〕选定振型函数振型函数须满足边界条件，。因此可以取：，。这里被无量纲化，但这并不是必须的，仅仅是求解的方便。67精选ppt〔2〕计算、68精选ppt〔3〕计算广义力非保守力作功可以理解为广义力在广义坐标的变分上作功。69精选ppt(4)写出运动方程〔5〕