2023年高考考前高分冲刺模拟数学试卷7（新高考专用）（解析版）

2023年高考数学考前高分冲刺模拟卷7（新高考专用）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

A=[x\x2-5x-6<0）B=（xly=ln（2x-14））

1.若集合'I，,IP'/贝IJ（CRA）C3=（）

A.（—1,7]B.（—1,6]C.（7,+oo）D.（6,+oo）

R答案Hc

K解析』A={%|X2-5%-6<0}={X|-1<X<6},

6={x[y=ln（2x-14）|={x|2x-14>0}={x|x>7},

CRA=（-oo,-l）l._（6,+oo）,

（CRA）C3=（7,+OO）.

故选：C.

2.已知i是虚数单位，复数4=1—2i,Z2=2a+i（aeR）在复平面内对应的点为P,Q,

若OPI。。（o为坐标原点），则实数。=（）

A.-2B.-1C.0D.1

K答案》D

K解析?复数4=l-2i,z2=2a+i,

则P（l,-2）,Q（2a,l）,

则OP=（1,-2）,OQ=（2a,l）,

OP1OQ,

厂.2a—2=0,解得a=l,

故选：D.

3.函数y=2f-*在[-2,2]的图象大致为（)

K解析。函数/(x)=2Y-冽在K-2,23上是偶函数,其图象关于y轴对称,

因为/(2)=8—e2,0<8—e?<1,

所以排除A8选项;

当xe[0,2]时，y=4x—e"有一零点，设为不,当彳€(0,玉))时，/(x)为减函数,

当尤e(%,2)时，/(x)为增函数.

故选：D.

4.已知oeR,函数〃x)=(x-6)-•sin®x),存在常数aeR,使得/(x+a)为偶

函数，则①可能的值为()

K答案』C

K解析》由函数〃x)=(x-6)2-sin®x),存在常数awA,使得〃x+a)为偶函数,

则/(x+a)=(x+a-6)一-sin[tv(x+a)],

由于函数为偶函数，

故。=6,

TT

所以6G=—+2",

2

TT

当％=1时，a>=—.

4

故选：C.

5.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，

如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为6的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒

K答案UB

K解析》如图，正六边形的每个内角为120。,

按虚线处折成高为G的正六棱柱，即8尸=百，所以BE=1a：：。。=1，

可得正六棱柱底边边长=6-2x1=4,

则正六棱柱的底面积为S=6x—x4x4x—=24-73

22

所以正六棱柱的体积V=2473x73=72.

故选：B

6.已知等比数列｛4｝的公比为夕，其前〃项和为S“，若S”<0对任意的〃eN,恒成

立，则q的取值范围是()

A.(F,O)5O，I)B.(-l,0)U(0,l)

C.(-oo,-+oo)D.(-1,O)U(O,4W)

K答案HD

工解析》因为4为等比数列｛a,,｝的公比，所以

因为Sn<0对任意的neN*恒成立，所以“<0,

当q=1时，S“=<0恒成立，满足条件,

当qwi,s“=%0-q）,

i-q

由s“<o对任意的〃eN*恒成立，可得“"if）<o,

If

所以_

1-q>0l-q<0

所以《

[1-/XT]JT<0，

所以-l<q<0或0<q<l或4>1,

所以4的取值范围是（一1,0）。（0,+8）.故选：D.

7.直线x-2y+2=o经过椭圆f+片=1（々>/?>0）的左焦点尸，交椭圆于A,8两点,

交y轴于M点，若FM=3AM，则该椭圆的离心率为（）

Ay/iy+A/5口\/V7—y/5r\/\l-V5八A/T7+A/5

8429

K答案Dc

K解析U对直线x-2y+2=0,令y=0,解得x=—2,令尤=(),解得y=I,

故尸(—2,0),M(0,l),则FM=(2,1),设A(Xo，%)，则AM=(—与』—%),

2

2=3(-%)则A-|，|，

而EM=3AM，则解得

J=3(1-%)2

%=3

点A又在椭圆上，左焦点尸(-2,0),右焦点9(2,0),

由2a=|AF|+|AF[

_c_2_Vr7->/5

则八二

椭圆的离心率e~~a~V5+V17-2

3

故选：C

8.已知函数w(x)=见;设S为正数，则在火5)用12),以25)中(

)

A.°俨)不可能同时大于其它两个B.8(2s)可能同时小于其它两个

D.至少有一个小于变

C.三者不可能同时相等

4

K答案UD

K解析U••“0”号'则当0<x<e时，”(x)>0,当X>e时，0'(x)<0,

故°(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，则0(x)W°(e)=：,且

。⑵=。(4)=*

对A：若$2=e，则S=&,2s=26，则夕(s)<°1夕(2s)<°[2),A错误；

对B、C：当0<sWl时，则0<s2<s<2s〈2<e，故夕俨卜尹⑶(奴2s)；

当l<s<2时，则s<2<2s<4,故奴s)<0(2)=0(4)<破25)；

当s=2时,则2s=$2=4,故e(s)=°⑵=e(4)=°d)=0(2s)；

当s>2时，则4<2$<$2,故°(2S)>夕［2)；

综上所述：°(2s)不可能同时小于。仔)，e(s),B、c错误；

对D：构建〃x)=ln(l+x)_x+x,则/口卜一^一—京7<0当xe(O,2)时

')')4x+6(x+l)(2x+3)、7

恒成立，

故/(x)在(0,2)上单调递减，则/(%)</(0)=0,

77F5

令x=l,可得/(l)=ln2——<0,则始2<，<注，

10102

故殍<乎<!，即玉。e(2,4)，使得/(%)=乎，

反证：假设奴s),0仔),°(2s)均不小于乎，则s,s2,2se(2,4),

显然不成立，假设不成立，D正确.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知数据玉，巧，与，…，x”的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是6,

耳,q,4,数据3，%，为，…，》“的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是

b2,c2,d2,且满足y=3七一1(，=1,2,3,,〃)，则下列结论正确的是()

a

A.h2=3〃1-1B.g~\

C.c2=3c,D.d2=3^-1

K答案XAD

K解析W由题意可知，两组数据满足y=3%一l(i=l,2,3,,〃)，

由平均数计算公式得凹+为+一.+-=(3西一1)+(3々-1)+-一+(3%-1)

nn

=3产+/+•,+，,

n

所以％=34一1,故A正确；

由它们的众数也满足y.=3Xj—l（i=l,2,3,,〃），则有4=34-1,故B错误;

由方差的性质得C2=9q,故C错误；

对于数据巧，/，x3）…，当，假设其第80百分位数为4，

当0.8〃=左是整数时，4="+4卫,

当0.8〃不是整数时，设其整数部分为后，则4=々…，

所以对于数据3x「1,3X2-1,3刍-1,…，3x„-l,假设其第80百分位数为人，

当0.8〃=k是整数时，d2=3々-：3/+|-1=34-1,

当0.8〃不是整数时，设其整数部分为屋则4=3X"「1=34-1,

所以4=34-1,故D正确.

故选：AD.

10.折纸发源于中国.19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教

具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正

方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点

仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2,则（）

UUUULIU

A.EH//FCB.AH-BE=0

C.EG=EH+EFD.EC■EHEC-ED

（答案』BCD

K解析XEH//FG，则E”与回。不平行，A错.

设ACBD=O,

UUllULUUUIUUUllUUUULM1

AHBE=(AO+OH)(BO+OE)

UUllUUUlUUtlULIUUUUuuuuuuuuu

=AOBO+AOOE+BO-OH+OH-OE

UUUUUUUUUUUUuuuuuUU1UUU

HOH=0,B对.

EG=EH+HG=EH+EF，C对

ECEH-EC-ED=EC(EH-ED)=ECDH=0

:,EC-EH=ECED，D对,

故选:BCD

11.如图1,在中，ZACB=90°,AC=26，CB=2,。后是_716。的中位

线，沿OE将VADE进行翻折，连接A8,AC得到四棱锥4-BCED（如图2）,点尸为

AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（）

图1

A.当点A与点C重合时,三角形4OE翻折旋转所得的几何体的表面积为

3+

G+71

3

B.四棱锥4-8CE。的体积的最大值为一

2

若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为更

C.

2

若异面直线AC与所成角的余弦值为且，则A、C两点间的距离为26

D.

4

K答案XAB

K解析U由题意,

在_ABC中，ZACB=90°,AC=2C，CB=2,OE是」ABC的中位线，

/.vanA=—=^,DE=-BC=\,AE=CE=-AC=y/3,AC=2^3

AC322

，A^30°,AD=BD=-AB=--2BC=2,

22

对于A项，

当点A与点C重合时，三角形AQE翻折旋转所得的几何体为以2为半径高为1的半个圆

锥，

三角形AOE翻折旋转所得的几何体的表面积为：

S-^7trl+nr2)+AC-DE~~x兀xgx+(G)+?ix(G))+gx2Gxi

=0+(|+6卜，

故A正确；

对于B项，

设NAEC=e，则。«(),可，

设点A到CE的距离为〃，

则h=AEsin8=Gsin0,

...四棱锥A-BCED的体积为：

v1c,1(BC+DE)CE1(1+2"r-.3..

VA-BCDE=]SBCDEh=-------------------h=-x--------------x,3sin0=-sine，

在了=5皿。中，ye[-l,l],

3「33"

•I­VA-BCDE=-sin^G,

3

四棱锥A—BCE。的体积的最大值为一，故B正确；

2

对于C,D项，

当三角形ACE为正三角形时，ZAEC=60°,AC=AE=CEf

过点F作尸GAAC,连接。G,

取8c的中点4,连接EH，EH，EG

在△ABD中，4)=3。,点尸为AB的中点，

由几何知识得，FG“DF,ACJ.BC

在,ACD中，AD=CD=2,

AG=CG=-AC=--G为AC的中点，AG1AC

22

在-ABC中，G为AC的中点，，点尸为A8的中点，AC1BC

/•FGAAC，AB=>/>。2+3。2=小(呵+2?=币,AF=BF=3AB=与,

222

在△ADG中，DG=s]AD-AG=42-f—=—

NI2J2

在四边形。EGF中，由几何知识得，DE工EG,DEBCFG,

四边形DEGE是矩形，DG=EF=-，

2

设点F到平面ACD的距离为九，

在，。尸G中，DG%=DFFG,即巫./?=3、1，解得：九=必5,故C错误,

2'2"13

由几何知识得，EH//BD,FH//AC,

FH=-AC^—，此时NFHE即为异面直线AC与BD所成的角，

22

由余弦定理，

EF2=FH2+EH2-2FH-EHcosZFHE，

代入数据，解得：cos/FHE=丝,

4

...异面直线AC与BD所成角的余弦值为3,则A、C两点间的距离为6，

4

故D错误；

故选：AB.

12.定义在(0,+。)上的函数/(x)满足2/(x)+矿(力=二，"1)=0,则下列说法正

X

确的是()

A./(九)在X=人处取得极大值，极大值为丁

2e

B./(“有两个零点

1p

C.若/(X)<Z-一^在(0,+8)上恒成立，则上>万

D./(1)</(V2)</(V3)

K答案XACD

K解析》xe(O,a)，由2/(x)+H(x)=5得：

即。2/(动，=_1,

X

令x2/(x)=lnx+c,而f(l)=0,贝Uc=0,即有/(%)=g/，fix')=-~~之［11”,

x-x

当0<x<正时，/'(幻>0,当x>五时，/'(无)<0,

即函数/(X)在(0,血)上单调递增，在(人,+8)上单调递减，

于是得了(X)在X=6处取得极大值/(五)=」-,A正确；

显然“1)=0,即函数/(x)在(0,6)上有1个零点，而X〉人时，/(x)>0恒成立，

即函数/(力在(加,+8)无零点，因此，函数/(X)在定义域上只有1个零点，B不正

确;

j\ri\i171+lnx人/、1+lnx八

VXG(0,4-OO),f[x)<k——-<=>k>——；-,令g(x)=---,x>0,

，/、l+21nx

g吁二^

g'（x）vO,即函数g。）在（0,J）上递增,

当0Vx<—f=时，g'(x)>0,当x>—7=时,

veVeVe

/1、

在（7=,+8）上递减,

当天二2时，g（X）maxe

因此,所以上〉一，C正确;

2

因函数/（X）在（0,五）上单调递增，而0<1<&<孤，则/⑴</（、②,

又八招75**咨*1119~1118>0,则/(6)>/(&),即

/⑴</(0)</(百)，D正确.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.写出曲线y=V一3x过点（2,2）的一条切线方程

K答案Uy=2或9x—y—16=0（写出其中的一个R答案》即可）

K解析』因为点（2,2）在曲线了=/一3彳上，所以曲线了=丁一3%在点（2,2）处的切线方

程符合题意.

因为>'=3/一3,所以yiz=3x22-3=9,

所以曲线y=d-3x在点（2,2）处的切线方程为>一2=9（%—2）,即9x—y—16=0.

因为当或x>l时，/>0；当一1<X<1时，y<o,

所以函数y=d-3x在广一1处取得极大值2,又极大值恰好等于点（2,2）的纵坐标，所

以直线y=2也符合题意.

故K答案D为：>=2或9x—y—16=0（写出其中的一个［答案］即可）

（1V

14.已知x—L的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为

IxJ

K答案》-84

R解析》由题意，

在中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等,

.••C；=C>解得：〃=9,

(1

因此x—3的展开式的通项为：c，T(—iy/「=(—i)-q产"，

Ix)

故(X-』］的展开式中的常数项为(—1)3C；=-84.

故K答案U为：—84.

22

15.已知双曲线E：二—当=1(。>0力>0)的右焦点F(3,0),点A是圆

a~tr

(x+3>+(y+4)2=8上一个动点，且线段AF的中点B在双曲线E的一条渐近线上，则

双曲线E的离心率的取值范围是.

K答案U［V2,+oo)

K解析U因为点4是圆。+3尸+。+4)2=8上一个动点，

所以设A卜及cose_3,20sin<9-4),

则B(V2cos^V2sin0-2),不妨设双曲线的一条渐近线方程为y=：x,

因为点B在双曲线的一条渐近线上，所以&sin。-2=%正cos。，即

a

sin0--cos^=V2；

a

因为sin。-2cos8=Jl+(sin(。-9)=&,其中tan(p=^-,

a\aQ

因为sin(6一0)«l,所以>V2,即离心率

故K答案》为：［夜,+8)

16.如图，已知四棱锥S-A8C。的底面A8CD为矩形，SA±ABfSB=SC=29SA=AD=L则

四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为.

K答案U—

3

［解析D设外接球的半径为A，

由于S4J_AB,AB±AD,SAoAD=A,S4,A£>u平面SAD,

所以ABI平面9。，由于A3u平面ABC。，所以平面A3CD1平面剖）

8=河=业2-F=5由于CD〃AB,所以CD,平面SA。，

由于SOu平面&4Q,所以CDLSD,所以S£>=,22—（由了=1=S4=A£>，

所以三角形SAD是等边三角形，设其外心为。「设E是AO的中点，

则由于平面上平面且交线为。，匚平面。，

SE_LAD,A8CDSADA5£154

所以SEJ•平面ABCD,

设ACc8。=9,则O,是矩形ABCD的外心.

连接QE,由于QEu平面ABCO,所以SELQE,

球心。在0的正上方也在仪的正上方，故四边形"ORE是矩形,

冬3=由26

OXE=^AB----X—=----

233

137r

所以/?2=。§2叵13所以球的表面积为4兀犬2=彳

T?3

故R答案》为：—

3

s

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛4｝是等差数列，4=1,且卬，a2,45T成等比数列.给定々eN*，记

集合｛〃KW/W2*,〃eN*｝的元素个数为bk.

(1)求[,&的值;

(2)求最小自然数w的值,使得4+4+…+瓦〉2022.

解：(1)设数列｛4｝的公差为d,由4,a2,%一1成等比数列，得4(%-1)=。；，

lx(l+4d—l)=(l+d)2,解得d=l,所以a“=",

%=1时，集合｛川lW〃K2,〃eN*｝中元素个数为4=2,

后=2时，集合｛〃[2<〃44,〃€川:｝中元素个数为4=3；

(2)由(1)知b*=2*->+1,

,,,2(1-2")〃(〃+1)c/c",、〃

b.+b,++b=----------——-+n=2(2n-1)——+—，

123"1-2222

772779H

〃=10时，2(2"-1)——+-=2001<2022,〃=11时，2(2"—1)——+—=4039>2022,

2222

记7；=优+%++b„,显然数列｛1｝是递增数列，

所以所求”的最小值是11.

2兀

18.已知一ABC的内角的对边分别为a,》,c,A=——，b=10,c=6,二ABC的

3

内切圆/的面积为S.

(1)求S的值；

(2)若点。在AC上，且8,/,。三点共线，求的值.

2元

解：(1)在jWC中，由余弦定理得：a2=h2+c2-2hccos—

.•.4=100+36+60=196,即”=14

设内切圆/的半径为"，则SABc=5.(a+8+c)/=56csin^

r=V3S=Tir2=3兀

(2)在」18C中，由(1)结合余弦定理得cos/ABC=—,

14

SAB

QBD平分/ABC,点D到AB,BC的距离相等，故于皿=—

3CBD

7;JABD

7而rS丝.•.迪=姮=工.加」加+3第

3CBDCDBCCD71010

7327113

:.BDBC^—BABC+—BCx6xl4x—+—xl42=105

1010101410

19.第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(叩Qafar2022)决赛中，阿根廷队通过扣

人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为

了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如

表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有

关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男

生进球的概率为l,女生进球的概率为：，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3

人进球总次数的分布列和数学期望.

2

附：犬n(atl-bc)

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(KWk)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：（1）2x2列联表如下:

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90110200

2200x(60x70-40x30)2^

K=----------------------------«lo.lIo8Z9>liUn.o8Z9oS,

100x100x90x110

・••有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关

（2）3人进球总次数&的所有可能取值为°，1，2,3,

1Y5

2•2+3

3)18

P-2)=C；.|.—+(|卜“相=3){|卜那

20.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。是直角梯形，AB1BC,AD//BC,

AD=DC=2BC,ZADC=60°,侧面B4Z）是等腰三角形，PA=PD.

p

c

(1)求证：BC1PC；

(2)若侧面外£＞，底面ABC。，侧棱P8与底面ABC。所成角的正切值为巫，M为

2

侧棱PC上的动点，且=/12。(/1€[0,1])・是否存在实数力，使得平面24。与平面

M4O的夹角的余弦值为苴？若存在，求出实数2若不存在，请说明理由.

5

(1)证明：由题意，在四棱锥产一488中，取AT＞的中点为E，连接PE，CE,

在等腰,抬£＞中，PA=PD,：.PE±AD，

在直角梯形ABC。中，

AB1BC,AD//BC,AD=DC=2BC,ZA£)C=60°,

:.BC工PE,BC=AE=DE,AB〃CE,四边形ABCE是矩形，

ABCLCE,CEA.AD,AB=CE,BC=AE=DE==CD,

2

：.ZDCE=30°,/CDE=3,AB=CE=MDE=CAB,

面PCE,PEu面PCE,CEu面PCE,PECE=E,

：.BCL面PCE,

尸Cu面PCE,

BC1PC.

(2)解：由题意及(1)得，PEJ,AD，CELAD,AB=CE,BC=AE,

四棱锥产一ABC。中，侧面_L底面ABC。，面底面ABCZ)=4),

PELCE,

•；侧棱PB与底面A8CD所成角的正切值为—,AB=CE=^DE=#,AB

2

设PE=氐，

由几何知识得，BE=2a,四边形3CDE是平行四边形，

BE//CD,ZAEB=ACDE=60°,

在直角，ABE中，AE=BEcosZAEB=a,AB=BEsinNAEB=®i，

AB=CE-6>a，BC=AE-DE=a

...£(0,0,0),A(0,—a,0),B^a,-a,0),C(0,0,0),0(0,a,0),

[0,0,屈)，

M为侧棱尸。上的动点，且PM=2PC(2e[0,l]),

设M,0,z”)

由几何知识得，言:PEpJ=%=入,解得：

u

在面PAO中，其一个法向量为4=(1,0,0)，

在面MW中，4)=(0,2a,0),AM—,

uu

设平面的法向量为巧=(x,y,z),

y=0

n2-AD=0J0+2oy+0=0

解得:4

n2-AM=0++6(1-%)QZ=0z=-----x

1—A

当％=1—4时，%=(1—A,0,—A),

设平面B4O与平面M4T>的夹角为夕

♦.•平面尸AO与平面M4£)的夹角的余弦值为好

71+0+0X^(1-2)2+0+(-A)25

2

解得：4=一或；1=2(舍)

3

存在实数4=2,使得平面PAD与平面MAD的夹角的余弦值为—.

35

21.已知产为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，。为坐标原点，M为C的准线/上的一点,

直线Mb的斜率为一1,“OEM的面积为1.

(1)求C的方程;

(2)过点厂作一条直线交C于A,8两点，试问在/上是否存在定点N,使得直线

N4与N8的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在,

请说明理由.

解：(1)由题意知尸(5,0,设点M坐标为(一。

a-0_a

则直线的斜率为=一万.

一万一万

因为直线板的斜率为-1,所以一q=T,即。=。，

P

所以△OEW的面积S=g|。可|a|=?=l,

解得p=2或p=-2(舍去),

故抛物线C的方程为V=4x.

(2)解：假设存在点N,使得直线N4与NB的斜率之和等于直线N尸斜率的平方.

由(1)得/(1,0),抛物线C的准线/的方程为广一1.

设直线/'的方程为x=/ny+l,A(%,y),B(x2,y2),N(-l,f),

联立《2得丁-4冲一4=0,

y=4x

所以△=16m2+16>