2023年福建省九年级数学中考模拟试题分项选编：圆（含解析）

2024年福建省九年级数学中考模拟试题分项选编：圆

一、单选题

1.（2024.福建福州.福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，A8是O的直径.£＞是弧AC的中点，DC

与AB延长线交于P点，若/。3=16。，则23PC的度数为（）

2.（2024.福建南平.统考一模）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题“今有

圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，

埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道尺（1尺=10寸），则这根圆

柱形木材的直径是（）

B.13寸

C.24寸D.26寸

3.（2024•福建莆田•统考二模）如图，△回£＞是O的内接三角形，作4£＞〃0C与。相交于点C,且

Zfi（9C=110°,则NA8D的大小为（）

C.40°D.50°

1

4.（2024・福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，A8是，；。的弦，AB=6,C是上的一

个动点，且NAC8=45。.若M,N分别是A8,AC的中点，则长的最大值是（）

5.（2024•福建福州•福建省福州第一中学校考一模）如图，点A,B,C均在。。上，且/BOC=90。，若

NACO的度数为m。，ZABO的度数为n。，则m-n的值是（）

A.30B.45C.50D.60

6.（2024•福建泉州•统考一模）如图，在，。中，408=120。，点尸、。分别是优弧A8与劣弧A8上的动

点，则乙4尸。的度数不可能是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

7.（2024•福建南平•统考二模）如图，四边形A8C。内接于O,ZABD=70°,则N8C。的大

小是（）

2

A

A.120°B.130°C.140°D.150°

8.（2024•福建三明・统考模拟预测）如图，BD是。的直径，点A,C在O上，AB=AD<AC交BD于

点G,若NCOL>=126。，则NCGO的度数为（）

9.（2024•福建三明•统考一模）下列说法正确的是（）

A.命题一定有逆命题B.所有的定理一定有逆定理

C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题

10.（2024.福建福州•统考一模）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是

（）

11.（2024.福建三明•统考二模）正八边形的中心角等于（）度

A.36B.45C.60D.72

12.（2024•福建三明・统考二模）如图，A3是半圆。的直径，C,。是半圆上两点，且满足NA0C=12O。,

AB^n,则8c的长为（）.

3

B.2九C.4兀D.6兀

13.（2024•福建宁德•统考一模）”莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图，以等

边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形若等边三

角形ABC的边长为2,则该“莱洛三角形”的周长等于（）

A.24B.2兀-也D.2万+6

14.（2024.福建福州.统考模拟预测）已知圆的半径为6,120。的圆心角所对的弧长是（

A.24B.4〃C.64D.124

15.（2024.福建漳州.统考一模）如图，点A,B,C是。上的点，AO=3,ZC=30°,则AB的长是（）

B.27rC.34D.4笈

16.（2024.福建福州•统考一模）如图，在。中，弦A8=8,OClABf垂足为C,OC=3,则。的半

径为.

17.（2024•福建福州•统考一模）已知,内接于OO,/是JU3C的内心，若ZB/C=ZBOC,则NB4C的

度数是.

18.（2024•福建莆田•统考二模）阅读下列材料•：“为什么正不是有理数”，完成问题.

证明：假设次是有理数，

那么存在两个互质的正整数〃，加，使得次=2,则.

4

〃3是2的倍数,

可设”=2f（f为正整数），则“3=8/,

,即4/=加3,

•・"〃，〃都是2的倍数，不互质，与假设矛盾.

因此假设不成立，即正不是有理数.

将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是.（填上序号）

①8/=2〃九②〃3=2/；③m是2的倍数；④〃是2的倍数.

19.（2024.福建龙岩•统考一模）如图，在ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.。是.MC的内切圆,

分别与AC、BC、AB相切于点。、E、F,则圆心O到顶点A的距离=.

20.（2024.福建龙岩•统考一模）若一个圆锥的底面圆的半径是2,侧面展开图的圆心角的度数是180。，则

该圆锥的母线长为.

21.（2024.福建福州•统考一模）在半径为1的圆中，1。圆心角所对的弧长是.

22.（2024.福建南平・统考二模）己知圆锥的底面半径为5,母线长为13,则这个圆锥的侧面积是.

23.（2024.福建南平.统考一模）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC夹角为120。，AB的长

为30cm,贴纸（阴影）部分BD的长为20cm,则贴纸部分的面积等于an1.

24.（2024•福建龙岩•统考二模）圆锥的底面半径为5,高为12,则它的侧面积为

三、解答题

25.（2024.福建南平•统考一模）如图，A3为圆。的直径,在直径A3的同侧的圆上有两点C,。，AD=CD>

弦CE平分ZACB交BD于点、F.

5

DC

o

E

（D已知AC=2C8,A3=6,求BC的长：（结果保留力）

（2）求证：EF=EB.

26.（2024.福建龙岩•统考一模）已知菱形A8C£＞中，120。，点区厂分别在AB,8c上，BE=CF,

AF与CE交于点P.

⑴求证：ZAPE=60°；

（2）当PC=1,PA=5时，求尸£＞的长？

⑶当A8=2G时，求尸。的最大值？

27.（2024•福建三明•统考二模）如图，一ABC为等边三角形，点。在A8边上.

（1）在一ABC内部求作点E,使得VA0E是以AE＞为底边的等腰直角三角形；（尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法）

⑵在（1）的条件下，连接CDCE,延长4E交C£＞于点尸，若CE=DE,求证：EF=CF.

28.（2024.福建南平.统考一模）如图，在Rt_AfiC中，ZABC=90°,以A8的中点。为圆心，A8为直径

的圆交AC于。，E是8c的中点，OE交B4的延长线于足

6

B

（1）求证：即是圆。的切线;

(2)若3c=4,FB=8,求A8的长.

29.（2024.福建福州•统考一模）如图，2为Q外一点,M为OP中点.

（1）过点P作。的一条切线P。，且。为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;

⑵在（1）的条件下，若=求证：点M在。上.

30.（2024•福建龙岩・统考一模）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与

y轴交于点C,且点A的坐标为（-1,0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）直接写出B、C两点的坐标；

（3）求过O,B,C三点的圆的面积.（结果用含兀的代数式表示）

31.（2024♦福建福州•统考模拟预测）如图，已知钝角,ABC中，CA=CB.

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作NAC8的平分线CO交A8于点£＞；作二ABC的外接圆。；

7

（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）中，若AB=2后，/ACB=120。，则此。的半径为.（如需画草图，请使用备用

图）

32.（2024•福建龙岩.统考二模）如图，点C是AB的中点，直线所与，。相切于点C,直线AO与切线EF

相交于点E,与：。相交于另一点。，连接A3,CD.

⑴求证：AB//EF-,

（2）若ZDEF=3ZD,求NDCF的度数.

33.（2024.福建泉州.统考一模）如图，在一ABC中，是钝角

（1）求作。，使得圆心。在边AC上，且（。经过点B,C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，设AC与：。的另一个交点为O,且AC=243=44）求证：48是，。的切线

34.（2024•福建龙岩•统考一模）如图，A8为O的直径，弦CD,于点E,B_LA尸于点凡且b=CE.

⑵若N£>=30。，AB=10,求CD的长.

35.（2024.福建福州.统考模拟预测）如图，P4是：。的切线，切点为A,点M在以上，连接MO交:O

于点O，

8

A

M

D

()

(D尺规作图：过点尸作。的另一条切线尸8,切点为点B(保留作图痕迹，不写作法);

(2)若PA=9,MD=2,则。的半径长是多少？

9

参考答案：

1.B

【分析】连接0C,根据NC4B=16°可得NAOC=180°—2xl6°=148°,即可得至ljNABC=gxl48°=74°,

从而得到ZADC=180。—74。=106。，根据.D是弧AC的中点可得ND4C=ZDCA=^(180°-106。)=37。，结

合三角形内外角关系即可得到答案；

【详解】解：连接OC,

D

ZAOC=180°-2x16°=148°,

ZABC=-x148°=74°,

2

ZADC=180°-74°=106°,

•.•。是弧AC的中点，

ZDAC=NDCA=-(180°-106°)=37°,

2

在中，

"?ZACD=NBPC+NCAB,

二ZBPC=ZACD-ZCAB=310-16°=210,

故选B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内外角关系，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，解题的

关键是熟知圆内接四边形对角互补.

2.D

【分析】延长DE,交：。于点E,连接Q4,由题意知£>E过点O,且QDLAB,由垂径定理可得

AE=8E=gA8=g尺=5寸，设半径Q4=OD=r,则OE=r-1,在RtaOAE中，根据勾股定理可得：

(r-l)2+52=r2,解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.

10

【详解】解：延长OE,交。于点E,连接。4,

由题意知。E过点。，且。D_L/W,

0。为。半径，

=尺=5寸，

22

设半径。4=OD=r,

,/DE=\,

：.OE=r-\

在中，根据勾股定理可得：

(r-l)2+52=r2

解得：r=13,

二木材直径为26寸；

故选：D.

【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股

定理是解题的关键.

3.A

【分析】根据平行线的性质、等腰三角形的性质求出NA0Q,根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：•••/8OC=110。，

ZAOC=180°-ZB<9C=70°,

'：AD//0C,

：.ZBAIJ=ZAOC=10°,

'：OA=OD,

：.ZODA=ZBAD=10°,

：./A00=40。，

由圆周角定理得，N4BD=；N4OO=20。，

故选：A.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、平行线的性质是解题的关键.

II

4.C

【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大,当8c最大时是直径，从而求得直径后就可以求

得最大值.

【详解】解：如图，

2

.,•当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，

连接80并延长交.。于点C',连接AC',

8C'是。的直径，

ZBAC=90°.

ZACB=45°,AB=6,

ZAC'B=45°,

BC=0AB=6五，

•­•MN长的最大值是3VL

故选C.

【点睛】本题考查中位线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等，解题的关键是判断出的长最大

时8c为：。的直径.

5.B

【分析】连接OA和AC,则0A=0B=0C,根据等边对等角可得到：ZB=Z0AB=n°,ZC=ZOAC=

m。，再由圆的性质可得到/CAB=g/BOC=45。，建立等式即可求解.

【详解】解：连接OA,AC.

12

VOB=OA,

ZB=ZOAB=n°,

VOA=OC,

ZC=ZOAC=m°,

VZCAB=yZBOC=45°,

.,.m=45°+n,

Am-n=45°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，合理做出辅助线，利用圆的性质建立角的等量关

系是解题的关键.

6.D

【分析】如图所示，连接尸8，由圆周角定理求出ZAPB=60。，再由NAP。4N”8=60。即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接尸B,

,/ZAOB=\2(.r,

：.ZAPS」408=60°,

2

・；点P、。分别是优弧AB与劣弧AB上的动点，

ZAPQ<ZAPB=60°,

二四个选项中，只有D选项符合题意，

故选D.

P

A\\

Q

13

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半是解题的关键.

7.C

【分析】首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到NA=40。，然后利用圆内接四边形的性质求

解即可.

【详解】：=

/.ZADB=ZABD=10°,

,ZA=1800-ZABD-ZADB=40°,

；四边形ABC。内接于O,

ZC=180°-ZA=140°.

故选：C.

【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌

握以上知识点.

8.B

【分析】先利用邻补角的定义计算出N3OC=60。，再根据圆周角定理得到ZR4C=30。，ZBAD=90°,接

着根据圆心角、弧、弦的关系得到=则可判断△ABO为等腰直角三角形，所以4=45。，然后

根据三角形内角定理计算NAG8的度数，再根据对顶角相等，即可得出答案.

【详解】解：QBD是。的直径，ZCOD=\26°,

ZBOC=1800-NCOD=54°,

ZfiAC=-ZfiOC=27o,

2

QBD是。的直径，矗=G），

:.ZBAD=90P,AB=AD,

.•..谢为等腰直角三角形，

:.ZB=45°,

.­.ZAG8=180°-ZB-ZB4G=1800-45o-27o=108o.

.-.ZCGD=108°

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、对顶角

相等，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理.

9.A

【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案.

14

【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；

C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题

而不是真命题，故此选项不符合题意；

D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命

题，故此选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键.把一个命题的条件

和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.

10.A

【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长.

【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周

长，正多边形周长越长

11.B

【分析】直接用360度除以边数即可得到答案.

【详解】解：等=45。，

O

正八边形的中心角等于45度，

故选B.

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟知正〃边形的中心角度数为36比0°是解题的关键.

n

12.B

【分析】连接OC,根据圆的内接四边形对角互补的性质，可先求出-ABC的度数，从而得到△O8C是等

边三角形，可得/8OC=60。，OB=OC=6,再根据弧长公式进行计算即可.

【详解】解：如图所示：

连接OC,

vZA£)C=120°,

15

.-.ZABC=60°,

又OB=OC,

OBC是等边三角形,

则ZOBC=NOCB=ZBOC=60°，

OB=OC=BC=-AB=6f

2

,,..60兀x6-

8c的长为“八=2兀.

1oO

故选B.

【点睛】本题考查弧长公式的计算和圆内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形的对角互补''以及等边三

角形的性质是正确解答这道题的关键.

13.A

【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式/=覆vijrr求解即可.

180

【详解】解：等边三角形A8C的边长为2,ZABC=ZACB=ABAC=60°,

•••该“莱洛三角形”的周长=3x年=2兀,

故选：A.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握知识点是解题的关键.

14.B

【分析】根据弧长公式可进行求解.

【详解】解：由题意得：/=¥：：6=4万;

1oU

故选B.

【点睛】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键.

15.A

【分析】根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，得出NAQ8=60。，代入弧长计算公式即可.

【详解】：AB所对的圆周角NC=30°,所对的圆心角为NAO6,

ZAOB=60°,

.曰60%x3

・・AB的k是一A="，

1OV

故选：A

【点睛】本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系及弧长的计算公式，解题的关键是求出NAOB=60。.

16

16.5

【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论.

【详解】解：连接。4,

VOC1.AB,AB=8,

：.AC=4,

'：OC=3,

；•OA=yjAC2+OC2=5-

【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.

17.60°或108°

【分析】当是锐角三角形时，得出4=180。-N/8C-N/C8=90o+gNA,得出90。+；4=2/A,

求解即可；当是钝角三角形时，Z/=36()°-(3600-ZA-ZIBA-Z/C4)=90°+ZA,得出

90°+1zA=2(180°-ZA),求解即可；当..他C是直角三角形时，不符合题意.

【详解】解：当一ABC是锐角三角形时，如图所示：

是，ABC的内心，

:.Bl、C7平分N48C、NACB,

：.ZIBC=-ZABC,ZICB=-NACB,

22

Z/=180°-ZIBC-ZICB

=\80°--ZABC--ZACB

22

17

=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°--1(180°-ZA)

=180°-90°+-ZA=90°+-ZA,

22

VZO=-ZA,NBIC=NBOC,

2

：.90°+-ZA=2ZA,

2

ZA=60°；

当,.MC是钝角三角形时，如图所示:

是_4?C的内心,

BI、CI平分ZABC、ZACB,

ZIBC=-ZABC,NICB=-ZACB,

22

AZ/=360°-(36()o-ZA-Z/BA-Z/C4)

360°-Z^-1(180°-ZA)

=360°-

=360°-(360°-NA-900+g/A

=90°+-ZA

2

,/NO=2(180°-ZA),ABIC=NBOC,

90。+gNA=2(180。-ZA),

ZA=108°；

当4ABe是直角三角形时，不符合题意;

故答案为：60°或108。.

【点睛】本题考查三角形的内心，角平分的定义，分情况讨论是解题的关键.

18.②④①③

18

【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解.

【详解】证明：假设版是有理数，

那么存在两个互质的正整数〃，加，使得蚯=K，则/=2〃八

m

〃3是2的倍数，

，”是2的倍数，

可设"=2f（f为正整数），则〃③=8儿

8/=2/n3，即4/=m3，

机是2的倍数，

■■m,〃都是2的倍数，不互质，与假设矛盾.

因此假设不成立，即也不是有理数.

故答案为:.②④①@

【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键.

19.而

【分析】连接8、OE、OF,通过勾股定理求得A8=5,由题意可得四边形ODCE为正方形，利用切线

长定理可得8=8=1,即可求解.

【详解】解：连接8、OE、OF,如下图：

由题意可得：NC=NCDO=NCEO=ZADO=90°,OE=OD,AD=AF,CD=CE,BE=BF

则四边形ODCE为正方形，即CD=OD,

由勾股定理可得：AB=>lAC2+BC1=5>

设CD=CE=x,贝!]AD=AF=4—x,BF=BE=3—x,

"：AF+BF=AB=5,

••4—x+3—x=5,

解得x=1，

19

：.CD=OD=\,AD=4-1=3,

由勾股定理可得：AO=\JAD2+OD2=Vi(j>

故答案为：回.

【点睛】此题考查了圆与三角形的综合应用，涉及了切线长定理，切线的性质定理，勾股定理以及正方形

的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识.

20.4

【分析】设该园锥的母线长为/,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,

扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长即可求解.

【详解】解：设该圆锥的母线长为/,根据题意得:

八八1804/

2;rx2=--------

180

解得：1=4,

即该圆锥的母线长为4.

故答案为：4

【点睛】本题考查了圆锥的计算：理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,

扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键.

…不，1

21.----/-----71

180180

【分析】根据弧长公式计算即可求解.

【详解】解：/=黑1X4X171

18()180180

故答案为：孟

【点睛】本题主要考查了弧长公式，若弧所在圆的的半径为「，所对圆心角为则弧长/=黑，熟知弧

18()

长公式是解题的关键.

22.65万

【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】解：•••圆锥的底面半径为5,

・••底面圆周长为：24r=24、5=10万，

S=—xl0^xl3=65^,

2

故答案为：65*

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周

20

长，扇形的半径等于圆锥的母线长，牢记扇形的面积公式是解决此类问题的关键.

3602

”800

23.—71

3

【详解】解：由题意可知AD=AB-BD=10cm,

根据扇形的面积可知阴影部分的面积为大扇形面积-小扇形面积,

2

因此可由扇形的面积公式s="匚可求,

360

即S阴=5大・5小;乃(3。2—1。2)=120万x3()2120万xIO?800

------------=-------71

3603603

故答案为：

【点睛】本题考查扇形的面积公式.

24.65K

【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么侧面积=Q<底面半径X母线长.

【详解】解：；圆锥的底面半径为5,高为12,

圆锥的侧面积为13,

，它的侧面积=仆13'5=65兀,

故答案为65兀.

【点睛】本题考查圆锥的计算；用到的知识点为：圆锥的底面半径，高，母线长组成以母线长为斜边的直

角三角形.

25.⑴乃

(2)见解析

【分析】(1)根据=，AC=2CB>求出AO=C£>=BC=60。，连接。C,根据弧长公式计算即可；

(2)根据圆周角定理得到NACB=9()。，利用弦CE平分NAC3求出NACE=/8CE=1/AC3=45。，得到

2

ZABE=ZACE=45。,根据推出ZA8D=NCB。，进而推出,即可证得结论.

【详解】(1)解：：A3为圆O的直径，

AD+CD+BC=180°>

AD=CD>AC=2CB>

•*-AD=CD=BC=60°<

21

ZBOC=60°,

连接OC,

OB=-AB=3,

2

(2)证明：为圆。的直径，

ZACB=90°,

,/弦CE平分ZACB交8。于点F.

：.ZACE=NBCE=-AACB=45°,

2

：.ZABE=ZACE=45°,

AD=CD>

：.ZABD=NCBD,

,/NEBF=ZABE+ZABD,NBFE=NBCE+NCBD,

ZBFE=ZEBF,

：.EF=EB.

【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记圆周角定理是解题的关键.

26.(1)证明见解析

(2)6

(3)4

【分析】(1)如图所示，连接AC,先证明A3C是等边三角形，得到NACF=NCBE=60。，AC=CB,

再证明■ACF丝一CBE得到NCAF=NBCE,由此即可证明结论；

(2)延长PC到M使得证明得到=NADF=NCDM,进而证明

APDM是等边三角形，则PD=PM=PC+PA=6-,

(3)先证明A、P、C,。四点共圆，则当尸3为直径时，PD最大,设圆心为。，连接。4OC,过点。

22

作。0_LAC于在RtZXAQW中求出。4的长即可得到答案.

【详解】(1)证明：如图所示，连接AC,

•・,四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC,AD//BC,

•・•ZBA£>=120°,

AZB=ZADC=60°,

・••一ABC是等边三角形，

：.ZACF=ZCBE=60°,AC=CBf

又<CF=BE,

：.AACF^ACBE(SAS),

:.NCAF=ABCE,

VZBCE+ZACE=ZACB=60°,

NAPE=ZACE+ZCAF=60°；

(2)解：延长尸C到M使得CM=4P,

由(1)可得NAFC=NCEB,

VAD//BC,AB//CD,

：.ZDAF+ZAFC=180°,NDCM=NAEC,

：.NCEB+NZM尸=180。，

ZAEC+NCEB=180°,

・,.NDAF=ZDCM,

比：AF=CM,AD=CDf

：./^ADF^/^CDM(SAS),

:.DF=DM,/ADF=/CDM,

同理可得/4QC=60。，

:.ZADC=NPDM=60°,

・•・△PPM是等边三角形,

23

:.PD=PM=PC+PA=6；

：.ZAPC=120°,

*/ZADC=60o,

・•・ZAPC+ZADC=180°,

・・・A、P、C、。四点共圆，

・••当P力为直径时，PD最大,

设圆心为O,连接OAOC,过点。作QMLAC于M,

.・.？AOC2?ADC120?,

VtM=OC,

・,.N。4M=30。，

VAC=AB=2y/3,OMLAC,

：.AM=-AC=43f

2

OM=—AM=],

3

・・・0/4=2,

•**PD瑜火=4；

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆,

圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键.

27.⑴见解析

(2)见解析

24

【分析】(1)先作AD的垂直平分线，再以AD的中点为圆心，以;A。长为半径作圆，则圆与AO的垂直

平分线相交，在一ABC内部的交点E即为所求；

(2)由VADE是以为底边的等腰直角三角形得到ND4E=")E=45。，由；为等边三角形得到

ZZMC=60°,则NE4C=15。，进一步求得NE4C=NACE=15。，则N/^CnSO。，由NA£D=90。得到

ZDEF=90°,贝I/DEC=120。，由等腰三角形的性质即可得到NEC£>=30。，则NECD=NFEC,即可得

到结论.

【详解】(1)如图，V/WE满足要求，

•.•点E在线段AB的垂直平分线上，

AE=DE,

丁AO是圆的直径，

・・・ZAED=90°f

・・・VAPE是等腰直角三角形，满足要求;

(2)如图，

・•VADE是以AO为底边的等腰直角三角形,

*.ZZME=ADE=45°,

・・一ABC为等边三角形，

,・ZZMC=60°,

•・ZE4C=15°,

：AE=DE,DE=EC,

,・ZEAC=ZACE=\50,

•・"EC=30。，

25

•・•ZAED=90°,

ZD£F=90°,

AZDEC=120°,

・・・ZECD=30°,

:・NECD=/FEC,

：.EF=CF,

【点睛】此题考查了垂直平分线的作图和性质、圆的作图、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、

等边三角形的性质等知识，正确作图是解题的关键.

28.(1)见解析；(2)V17-1

【分析】(1)连接0拉，利用等腰三角形性质，直角三角形证明ODLFE即可;

(2)设OD=x,求证AQOFSEBF,列比例求解即可.

【详解】解：证明：连接O。，如图：

〈AZ?为直径，

:.ZADB=ZBDC=9Q0,

•・•点E是8。的中点，

；・ED=EB,

，ZEDB=ZEBD,

VZEBD+ZABD=90°,ZZMB+ZAB£)=90°,

:.ZDAB=ZDBE=ZBDE,

9

：0A=0Df

：.ZODA=/DAB=ZDBE=ABDE

•；NODA+NODB=90°,ZCDE=ZADFf

：.ZFDO=90°,

：.OD1FD

・•・尸。是圆。的切线.

26

(2)是BC中点，8c=4,

：.BE=2,

FE=>JBE2+FB2=S+G=2历，

在△ODF和△£»尸中，NODF=NEBF=90°,NF=NF,

；.ODFS'EBF,

，设0。为x,

,ODOFx8-x

则说=花。厂而'

解得：x=姮二1,

2

贝I」A8=2x=JF7-1.

【点睛】本题主要考查圆切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及相似三角形

的判定与性质，利用角的等量转化是解决本题的关键.

29.⑴见解析；

(2)见解析.

【分析】(1)以点M为圆心，。河的长为半径画弧交。于点。，连接PQ,则PQ即为所求；

(2)连接。。，设PM=x,则PQ=8,可得OM=PM=x,OP=2PM=2x,在RtzXOP。中，由勾股

定理可得0Q=x,从而得到，。的半径，=x,即可求解.

【详解】(1)解：如图，PQ为所求作的。的切线，其中。为切点.

理由：如图，连接。。，

由作法得：QM=OM,

•••/为OP中点，

QM=OM=PM,

：.NMOQ=NOQM,NP=NPQM,

NMOQ+ZP=NOQM+NPQM,

即ZMOQ+ZP=ZOQP,

27

ZMOQ+ZP+ZOQP=180°,

NOQP=90°,

即OQCQ,

•：OQ为，。的半径，

，PQ与：Q相切；

(2)解：由(1)得，PQ与1。相切于点Q.

连接。。，

OQ^PQ,

../OQP=90。.

设则PQ=6C.

M是OP的中点，

:.OM=PM=x,OP=2PM=2x,

在RtZXOPQ中，OQ=y]OP2-PQ2=x,

即。的半径「=》，

/.OM=r,

.•.点”在。上.

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，点与圆的位置关系，勾股定理，尺规作图等知识，熟练掌握

切线的判定和性质，点与圆的位置关系是解题的关键.

25

30.(1)y=x2-4x-5；(2)B(5,0),C(0,-5)；(3)—n.

2

【分析】(D利用对称轴方程可求得b,把点A的坐标代入可求得c,可求得抛物线的解析式；

(2)根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标，利用抛物线的解析式可求得B点坐标；(3)根据B、

C坐标可求得BC长度，由条件可知BC为过0、B、C三点的圆的直径，可求得圆的面积.

--=2仿=-4

【详解】(1)由A(-1,0),对称轴为x=2,可得｛2，解得｛.

抛物线解析式为y=x2-4x-5；

(2)由A点坐标为(-1,0),且对称轴方程为x=2,可知AB=6,

28

；.0B=5,

；.B点坐标为（5,0）,

y=x2-4x-5,

；.C点坐标为（0,-5）；

（3）如图，连接BC,则AOBC是直角三角形,

.•.过0、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度,

在RSOBC中，OB=OC=5,

；.BC=5及，

...圆的半径为述，

2

圆的面积为n（述）2=§兀.

22

考点：二次函数综合题.

31.⑴见解析

（2）2

【分析】（1）利用基本作图作角平分线，然后作AC的垂直平分线交于点O,然后以。为圆心，0C为半

径作外接圆；

（2）连接OA,贝忆。4c为等边三角形，利用勾股定理求出半径.

【详解】（1）如图，C。和。即为所作；

29

(2)如图，连接。4,

,.♦。£>平分/4。8,CA=CB

：.^ACD=-=-x120°=60°,AD=-AB=-x2^=73,OCLAB

2222

又yoc,

OAC为等边三角形，

/.OD=-OC

2

设半径为R，

则4=（可

解得：R=2

故答案为：2

【点睛】本题考查基本作图一作角平分线和垂直平分线，等边三角形的判定和性质，勾股定理，会利用方

程解决几何问题是解题的关键.

32.(1)见解析

(2)72°

【分析】(1)连接OC,OB,先证明NAOC=NBOC,再利用等腰三角形的三线合一性质得出X，A3,

由切线的性质可得OC_L所，最后根据平行线的判定即可得证；

(2)利用等边对等角和三角形外角的性质可得NEOC=2N£>,利用三角形内角的定理并结合条件

砂=3/。"可求出"=18。，最后利用三角形外角的性质即可求出-DCF的度数.

【详解】(1)证明：连接OC,。8,

30

D

二

ECF

丁点C是A8的中点，

・•・AC=BC^

：.ZAOC=4BOC,

又・・・Q4=O3,

OCA.AB,

•・•直线EF与。相切于点C,

...OCJLEF,

：.AB//EF；

(2)解：•：OD=OC,

:./OCD=/D,

:.ZEOC=NOCD+NO=2ZD,

由(1)知，OCLEF,

:.ZEOC+ZOEC=90°,即ZEOC+ZDEF=90°,

■:力EF=3/D,/E