2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第8章 第6节　双曲线

篦。双曲线

［考试要求］

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.

2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

［走进教材-夯实基础］回顾知识•激活技能

€>梳理•必备知识

1.双曲线的定义

(1)定义：平面内与两个定点回，出的距离的差的绝对值等于非零常数(小于

国人|)的点的轨迹.

(2)符号表示:\\MFi|一|g||=2a(常数)(0<2a<|KF2|).

(3)焦点：两个定点B，Fi.

(4)焦距：两焦点间的距离,表示为⑻尸2|.

提醒：(1)当2a=内尸2|时，P点的轨迹是两条射线；

⑵当2a>|人尸2|时,P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

4-^=i

219——1

标准方程abl

(a>0,b>Q)3>0,b>0)

图形«.*/6K：B^

范围尤2。或xW—。，y<一。或y》。，x£R

对称性对称轴：坐标轴,对称中心：原点.

性顶点Ai(—a,0),A2(a,0)Ai(0,—a),A2(0,a)

,ba

质渐近线y=±=%

工---------ar

离心率e=~,e£(l,+0°),其中。=4层+序

实轴以血|=2；虚轴⑹因=丝；实半轴长a,虚半

实虚轴

轴长2

a,b,c的关系c2=6Z2+fe2(C>6Z>0,c>b>0)

［常用结论］

_22

1.双曲线也一方=1g>0,Q0)中的几个常用结论

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为乩

(2)若P是双曲线右支上一点，F1,尸2分别为双曲线的左、右焦点，则IPFlkin

=O±C,|尸/2|min=c-g.

(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为呼，

异支的弦中最短的为实轴，其长为然.

(4)设P,A,8是双曲线上的三个不同的点，其中A,8关于原点对称，直

从

线B4,P5斜率存在且不为0,则直线山与尸3的斜率之积为

(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F\,3分别为双曲线的左、

右焦点，则S4PF\F2=^•其中。为NBPR.

-t-a--n--?2

2.巧设双曲线方程

⑴与双曲线a一1=1(。>0，。>0)有共同渐近线的方程可表示为,二力三

★#0).

⑵过已知两个点的双曲线方程可设为nvc2+=1仞〃VO).

◎激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)平面内到点£(0,4),F2(0,一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是

双曲线.()

(2)方程而一：=1(相〃>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()

(3)双曲线心0,〃>0,7W0)的渐近线方程是£一$=(),即■q=()・

)

2

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于也.()

［答案］(1)义(2)X(3)V(4)V

二'教材习题衍生

1.以椭圆?+?=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()

v2f

A.%2—*y=1B.y—y2=l

C.x2—^=1D.,一(=1

77^21

A［设所求的双曲线方程为宗一/=l(a>0,b>0),由椭圆5+5=1,得椭圆

焦点为(±1,0),在X轴上的顶点为(±2,0).所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为

(±2,0).所以4=1,C=2,所以/no2—/=3,所以双曲线标准方程为；!？一、=

1.］

72

2.若方程合一｛7=1表示双曲线，则〃2的取值范围是_______.

2十根m-r1

92

(-8,-2)u(-l,+8)［因为方程三二一±7=1表示双曲线，所以(2

+m)(m+1)>0,即〃2>—1或〃2V—2.]

3.双曲线近一会=一1的实轴长为,离心率为,渐近线

方程为________

v2f

[双曲线三一方=1中q=5,/?2=24,C2=25+24=49,

,c7

・••实轴长为2a=10,离心率e=［=亍

渐近线方程为y=±淬§x.］

4.已知双曲线『一=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P

到另一个焦点的距离等于.

6［设双曲线的焦点为B，尸2,1PBi=4,则11PBi—|P4||=2,故|P3|=6或

2,又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为故|「巳|=

6.］

3

［细研考点•突破题型］重难解惑•直击高考

n考点一双曲线的定义及其应用《师生共研

［典例1］(1)已知圆c：(x+3)2+V=l和圆。2：(x—3)2+y2=9,动圆M同

时与圆G及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

(2)已知尸F2为双曲线C：f—产=2的左、右焦点，点P在C上，|PFi|

=2\PF2\,则cosZF\PF2=.

(2)(［⑴如图所示，设动圆M与圆G及圆C2分别

外切于点A和B.

根据两圆外切的条件，得|MG|-HG|=|K4|,\MC2\-\BC2\=\MB\.

因为=

所以|A/Ci|-|ACI|=|MC2|-|BC2|,

即IMC2I—|MC|=|8C2|一|AG|=2,所以点M到两定点C,的距离的差是

常数且小于IC1C2I.

根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,

与G的距离小)，其中a=l,c=3,则从=8.

故点M的轨迹方程为％2—占=1(启-1).

O

⑵因为由双曲线的定义有|PB|-\PF2\=\PF2\=2a=2y{2,所以\PFi\=2\PF2\

=46，

IPBF+IPBF一旧EF

所以cosNFiPF?=

21PBi•|明|

(4©2+(2/)2—423

2X472X2^2一%,

［母题变迁］

1.将本例(2)中的条件"|PF||=2|PB|"改为"NFiP尸2=60°”,则△“尸2

的面积是多少？

［解］不妨设点尸在双曲线的右支上,

4

则『西|一|尸产2|=2。=26，

在△西尸乃中，由余弦定理，得

八IPFF+IPG」一IBEF!

C0SDR

NF1PF2-2|PFI|•\PF2\~2,

：.\PFi\•\PF2\=S,

：.S^F\PFI=^PF\\•\PF2\­sin60°=2小.

2.将本例⑵中的条件“下网=2|尸尸2列改为“PFi•P尸2=0"，则/XEiP将

的面积是多少？

［解］不妨设点P在双曲线的右支上，

则|P"|一|P&|=2a=2啦,

•/PF\•PF2=0,；.PF\!PF2,

.•.在△f'lPB中，有伊凡|2+|。尸2|2=尸1尸2|2,

即|PKF+|PBF=16,

.,.IPF1I•|PF2|=4,

.,.SAF1PF2=||PF1|•\PF2\=2.

令反思领悟双曲线定义的应用

(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求

出曲线方程.

(2)在“焦点三角形”中，当NBPb2=90°时，SAPF\F2=b2,常利用正弦

定理、余弦定理,经常结合||P尸i|一|P尸2||=2a,运用平方的方法，建立|PB|与|「外|

的关系.

提醒：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，

还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.

［跟进训练］

1.(1)虚轴长为2,离心率e=3的双曲线的两焦点为丹，F2,过Q作直线

交双曲线的一支于A,B两点,且以阴=8,则△A3出的周长为()

A.3B.16+72C.12+72D.24

(2)(2021•浙江高考)已知a,Z?GR,ab>Q,函数/0)=加+/*£R).若"s—f),

5

火s),y(s+f)成等比数列，则平面上点($，。的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆

C.直线和双曲线D.直线和抛物线

(3)已知厂是双曲线]一石=1的左焦点，A(l，4),P是双曲线右支上的动点，

则上用+解|的最小值为.

(1)B(2)C(3)9[(1)由于2/?=2,e=\=3,：.b=\,c=3a,

9a2=a2+l,.，.a=乎.

巾

由双曲线的定义知，\AF2\-\AF\\=2a=^,①

\BF2\-\BFi\=^,②

①+②得以尸2|十出网一(|AF||十0Fl1)=^2,

又|A尸i|+|5B|=|AB|=8,

：.\AF2\+\BF2\=S+y[2,

则△ABE的周长为16+优,故选B.

(2)因为函数.小:)=加+/?,所以«s-f)=a(s—f)2+4*$)=发2+江沁+。=

a(s+r)2+h.因为/(s-。，/(s),於+。成等比数列，所以/(s)=/(s—r)/(s+。，即(os2

+/>)2=[a(5—t)2+^]-[a(5+r)2+b],化简得一2a2s2金+“2/+2"尸=o,得,=。或

2as2—at2=2b,易知点(s,f)的轨迹为一条直线和一个双曲线.故选C.

(3)设双曲线的右焦点为Fi，则由双曲线的定义，可知|P『|=4+|PK],所以

当|PB|+|网最小时满足|尸产|+|网最小.由双曲线的图象(图略)，可知当点A,P,

Fi共线时，满足|PFi|十照|最小，|AFi|即|P产1|+解|的最小值.又|AFi|=5,故所

求的最小值为9.]

□考点二双曲线的标准方程悔组通关

1.(2021.洛阳市第一次统考)已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为4,且一

条渐近线方程为了=,龙，则双曲线的标准方程是()

/V2

A.y—y2=1B.1

6

C./-3=]D.y2--^=]

C[因为双曲线的一条渐近线方程为又焦点在x轴上，所以设双

/y2匕L

曲线的方程为/一京=l（a〉O,b>Oi）,则/=小,又,2=/+。2,c=2,所以的=1,

b2=3）,即双曲线的标准方程为/一1=1.故选C.]

72

2.已知R,尸2分别为双曲线%一方=130,。>0）的左、右焦点，P为双曲

线上一点，与x轴垂直，NPFR=30°,且虚轴长为2啦，则双曲线的标

准方程为（）

C.,一]=1D.5=]

D[由题意可知|PFi|=斗豆，|PF2|=Z^，2b=2y[2,由双曲线的定义可得

,弋。-2个c=2a,即c=45a.又/?=/，c2=a2+b2,；.a=l,双曲线的标准

方程为』一5=1，故选D.]

92

3.（2021.北京高考）双曲线%一g=1过点（隹曲，离心率为2,则双曲线

的标准方程为（）

v2/

A.%2—,y=lB.y—

C」*=lD.华-产i

A[双曲线离心率e=\=2,故c=2a,b=y/3a,将■点（6，小）代入双曲线

方程，得了一赤=7=1，故。=1，。=小，故双曲线方程为X2一1=1.]

4.经过点P（3,2巾），。（一6近，7）的双曲线的标准方程为.

25~~y^=1[设双曲线方程为nvc1—ny2=]

7

9/72-28/7=1,75'

:A解得〈

172/??-49/i=1,1

«--25.

V2r2

双曲线方程为莺一行=1」

畲反思袋信求双曲线的标准方程的方法

(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,

2。或2c,从而求出。2,吩,写出双曲线方程.

(2)待定系数法：先确定焦点在无轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定

/,人的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程

72

设为泉一方=犯70)，再根据条件求人的值.

D考点三双曲线的简单几何性质修维探究

考向1双曲线的渐近线

92

[典例2—1](2021.新高考n卷)已知双曲线5一方=l(a>0,。>0)的离心率e

=2,则该双曲线的渐近线方程为.

y=±\[3x「.,双曲线的方程是，一方=l(a>0,Z?>0),

b

双曲线渐近线为y=±-x,

Q

,离心率为e=%=2,可得c=2a,二寸二胡?，

即〃+82=4屋，可得。=小.，由此可得双曲线渐近线为

考向2双曲线的离心率

[典例2—2](1)(2021.全国甲卷)已知K，F2是双曲线C的两个焦点，P为

。上一点，且/FIPF2=60°,m=3\PF2\,则。的离心率为()

A.乎B.C.币D.V13

92

(2)若斜率为戏的直线与双曲线方一%=1恒有两个公共点，则双曲线离心率

的取值范围是()

A.(1,2)B.(2,+00)

8

C.(1,S)D.(小，+8)

(1)A(2)D[(1)设\PF2\=m,|PFi|=3m,则|F,F2|=

c2c

4加2+9〃0一2X3mX/nXcos60°=小机，所以C的离心率e=^=^=

|FIF2|_V7m_V7

\PFi\~\PF2\~2m~2•

(2)因为斜率为止的直线与双曲线%一$=1恒有两个公共点，所以£＞啦，

故选D.]

考向3双曲线几何性质的综合应用

[典例2—3]（1）已知颇助泗）是双曲线C：弓一V=i上的一点,凡是

C的两个焦点，若M/rMBVO，则州的取值范围是（）

AT由B.（邛叫

C.（等嚼D（挛嚼

（2）已知尸1,22是双曲线，一冬=1（。>0，8>0）的左、右焦点，过~的直线/

与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AB|=2a,ZFiAF2=y,则

5AAFIF2

SAABF2=1)

A.1B.gC.1D.1

・

(1)A(2)B[⑴因为/i(一小，0),F2(V3,0),~yo=b所以MFIMF2

=(—\/3—xo,-yo)•(小一x(),—泗)=看+点-3VO,即3点一]V0,解得一＜

yQ＜3'

9

（2）如图所示，由双曲线定义可知以川一|AFi|=2a.

又|AQ|=2a,所以|AF2|=4a,

21

因为NBAF2=针，所以S/\AF\F1=^AF\\•|AF2|•sinNF1AF2

=；X2〃X4〃X9=2小a2.

由双曲线定义可知内/1|-|BF2|=2a,

所以|8川=2。+|8尸2|,又知|BB|=2a+|BA|,

所以△氏4F2为等边三角形，边长为4a,

、行

所以5/\43凡=¥|48|2=^X（4a）2=4小4,

2

S/\AF\F22\l3a=；.故选B.]

所以，

SAABF2=4小a2

力反思领悟1.求双曲线渐近线方程的方法

9222

求双曲线於一/=1（4>0,Av>0）或方一方=1（。>°，。>0）的渐近线方程的方法是

令右边的常数等于0,即令'一$=0,得尸土3；或令,一东=0,得尸土拉

2.求双曲线的离心率或其范围的方法

廿02+庐F

（1）求mb,。的值，由，=巴/一=1+3直接求已

（2）列出含有a,b,c的齐次方程（或不等式），借助于廿=,2—/消去力，然

后转化成关于e的方程（或不等式）求解.

[跟进训练厂

2.⑴Q020.全国II卷）设。为坐标原点，直线x=a与双曲线C：，一方=13

>0,8>0）的两条渐近线分别交于O,E两点，若△O0E的面积为8,