高考数学一轮复习 高考达标检测（二十一）平面向量的基本运算 文试题

高考达标检测（二十一）平面向量的基本运算一、选择题1.(2018·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是()①eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b；②eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－b；③eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b；④eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋b.A．①② B．③④C．①③ D．②④解析：选C①根据向量的加法法则，得eq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b，故①正确；②根据向量的减法法则，得eq\o(PT,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a－eq\f(3,2)b，故②错误；③eq\o(PS,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(QS,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－2b＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b，故③正确；④eq\o(PR,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(QR,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(3,2)b－b＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b，故④错误，故选C.2．(2018·长沙一模)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－eq\f(2,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：选Aeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).3．(2018·嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，则△ABC的内角A等于()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选A由eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0得，eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.4．若eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，a与b不共线，则∠AOB平分线上的向量eq\o(OM,\s\up7(→))为()A.eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)B.eq\f(a＋b,|a＋b|)C.eq\f(|b|a－|a|b,|a|＋|b|)D.λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))，λ由eq\o(OM,\s\up7(→))确定解析：选D以OM为对角线，以eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))方向为邻边作平行四边形OCMD，∵OM平分∠AOB，∴平行四边形OCMD是菱形．设OC＝OD＝λ，则eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\f(a,|a|)，eq\o(OD,\s\up7(→))＝λeq\f(b,|b|)，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))，且λ由eq\o(OM,\s\up7(→))确定．5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且eq\o(DC,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(EA,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝2eq\o(FB,\s\up7(→))，则eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))()A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直解析：选A由题意得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up7(→))，因此eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，故eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))反向平行．6.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝yeq\o(AC,\s\up7(→))，则eq\f(xy,x＋y)的值为()A．3 B.eq\f(1,3)C．2 D.eq\f(1,2)解析：选B利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，易得x＝y＝eq\f(2,3)，则eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(1,3).7．(2018·兰州模拟)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，若a∥b，则锐角θ＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)解析：选B因为a∥b，所以(1－sinθ)×(1＋sinθ)－1×eq\f(1,2)＝0，得sin2θ＝eq\f(1,2)，所以sinθ＝±eq\f(\r(2),2)，故锐角θ＝eq\f(π,4).8．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up7(→))，则△APD的面积为()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：选A法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，又eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，所以点D是AE的中点，AD＝eq\r(3).取eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up7(→))，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→)).而△APD是直角三角形，AF＝eq\f(1,2)，所以△APD的面积为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),4).法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵等边三角形ABC的边长为4，∴B(－2，－2eq\r(3))，C(2，－2eq\r(3))，由题知eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,4)[(－2，－2eq\r(3))＋(2，－2eq\r(3))]＝(0，－eq\r(3))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,8)eq\o(BC,\s\up7(→))＝(0，－eq\r(3))＋eq\f(1,8)(4,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(3)))，∴△ADP的面积为S＝eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up7(→))|·|eq\o(DP,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).二、填空题9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若eq\o(BC,\s\up7(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up7(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up7(→))＝________.(用e1，e2表示)解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)＝eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e2.答案：eq\f(5,2)e1＋eq\f(3,2)e210．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若eq\o(BD,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＋zeq\o(AS,\s\up7(→))，则x＋y＋z＝________.解析：依题意得eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AS,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up7(→))，因此x＋y＋z＝－1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0.答案：011．(2018·贵阳模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，则向量a的坐标是________．解析：设a＝(x，y)，∵平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，∴eq\r(x2＋y2)＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±eq\f(\r(2),2).∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(ED,\s\up7(→))＋μeq\o(AF,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是________．解析：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，设P(cosα，sinα)(0°≤α≤90°)，∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(ED,\s\up7(→))＋μeq\o(AF,\s\up7(→))，∴(cosα，sinα)＝λ(－1,1)＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－λ＋\f(3,2)μ，λ＋\f(μ,2)))，∴cosα＝－λ＋eq\f(3,2)μ，sinα＝λ＋eq\f(μ,2)，∴λ＝eq\f(1,4)(3sinα－cosα)，μ＝eq\f(1,2)(cosα＋sinα)，∴2λ－μ＝sinα－cosα＝eq\r(2)sin(α－45°)，∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°，∴－eq\f(\r(2),2)≤sin(α－45°)≤eq\f(\r(2),2)，∴－1≤eq\r(2)sin(α－45°)≤1，∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]三、解答题13.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，使eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)证明：由(1)可知eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up7(→))，又因为eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线．14．(2018·郑州模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐标．解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq\r(5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．15.如图，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))，AD与BC交于点M，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(OM,\s\up7(→))；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设eq\o(OE,\s\up7(→))＝peq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OF,\s\up7(→))＝qeq\o(OB,\s\up7(→))，求证：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.解：(1)设eq\o(OM,\s\up7(→))＝xa＋yb，由eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up7(→))，得eq\o(OM,\s\up7(→))＝4xeq\o(OC,\s\up7(→))＋yb，∵C，M，B三点共线，∴4x＋y＝1.①由eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))，得eq\o(OM,\s\up7(→))＝xa＋2yeq\o(OD,\s\up7(→))，∵A，M，D三点共线，∴x＋2y＝1，②联立①②得，x＝eq\f(1,7)，y＝eq\f(3,7).∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b.(2)证明：∵eq\o(OE,\s\up7(→))＝peq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OF,\s\up7(→))＝qeq\o(OB,\s\up7(→))，∴eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,p)eq\o(OE,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,q)eq\o(OF,\s\up7(→))，∴eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,7)·eq\f(1,p)eq\o(OE,\s\up7(→))＋eq\f(3,7)·eq\f(1,q)eq\o(OF,\s\up7(→)).∵E，M，F三点共线，∴eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.1．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足eq\o(PA,\s\up7(→))＋xeq\o(PB,\s\up7(→))＋yeq\o(PC,\s\up7(→))＝0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记eq\f(S1,S)＝λ1，eq\f(S2,S)＝λ2，eq\f(S3,S)＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，3x＋y的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D．2解析：选D由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1.∵P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，∴λ1＝eq\f(1,2)，∴λ2＋λ3＝eq\f(1,2)，∴λ2λ3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋λ3,2)))2＝eq\f(1,16)，当且仅当λ2＝λ3＝eq\f(1,4)时取等号，∴λ2·λ3取最大值时，P为EF的中点．延长AP交BC于M，则M为BC的中点，∴PA＝PM，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝－eq\o(PM,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))，又∵eq\o(PA,\s\up7(→))＋xeq\o(PB,\s\up7(→))＋yeq\o(PC,\s\up7(→))＝0，∴x＝y＝eq\f(1,2)，∴3x＋y＝2.2.如图，在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))，点M，N在过点P的直线上，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\o(AC,\s\up7(→))(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为()A．2 B.eq\f(8,3)C．3 D.eq\f(10,3)解析：选B∵eq\o(AM,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝μeq\