复习课- 函数性质

函数的单调性、最值、奇偶性设函数f(x)的定义域为I

:一、函数的单调性

注:函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上可能是减函数.

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

x1,x2,当

x1<x2时,都有

f(x1)<f(x2),那么就说

f(x)

在这个区间上是增函数;

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

x1,x2,当

x1<x2时,都有

f(x1)>f(x2),那么就说

f(x)

在这个区间上是减函数.

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数

y=f(x)

在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数

y=f(x)

的单调区间.二、单调区间1.取值:对任意

x1,x2∈M,且

x1<x2;三、用定义证明函数单调性的步骤③在单调区间上,增函数的图象自左向右看是上升的,减函数的图象自左向右看是下降的.2.作差:f(x1)-f(x2);3.判定差的正负;4.根据判定的结果作出相应的结论.注:①函数的单调区间只能是其定义域的子区间;②函数的单调区间是连续区间,若区间不连续,应分段考查.

复合函数

f[g(x)]

的单调性与构成它的函数

u=g(x),

y=f(u)

的单调性密切相关,其规律如下：函数单调性u=g(x)

增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增四、复合函数的单调性五、函数单调性的判定方法1.定义法:主要适用于抽象函数或已知函数.

2.导数法:适用于具体函数.3.图像法:4.复合函数单调性的判定:5.和函数单调性的判定:

1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值

2．最小值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥m;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=m那么，称m是函数y=f(x)的最小值

2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法

1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值

2.利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

课堂练习1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是()A、a≥3B、a≤3C、a≥-3D、a≤-3D2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域____________.[21,49]

例1确定函数的单调区间.yxo1-1

例3.已知函数.(1)试确定函数f(x)在区间和 上的单调性;(2)若a=3,求当时f(x)的最大值和最小值.xyof(x)max=4,f(x)min=2考点陪练1.定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域是(

)A．[2a，a＋b]

B．[0，b－a]C．[a，b] D．[－a，a＋b]解析：函数的图象在x轴上进行平移不改变函数的值域．答案：C2．奇函数和偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－

f(x)，那么f(x)叫做奇函数．

对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

注意：

1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,

如果都有f(－x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(－x)=f(x)

f(x)为偶函数2、两个性质：一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中

的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．存在一个最小f(x)

例4.已知f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(x)在区间（-1，1）上是增函数，求满足的实数a的取值范围.(0,1)3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2011)＝(

)A．－2 B．2C．－98 D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，

f(1)＝2×12＝2，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：A

例5.已知函数

f(x)

的定义域为

(-∞,0)∪(0,+∞),且满足条件:①

f(xy)=f(x)+f(y),②

f(2)=1,③

当

x>1

时,f(x)>0.(1)求证:f(x)为偶函数；(2)讨论函数的单调性；(3)求不等式

f(x)+f(x-3)≤2的解集.(1)证:

在①中令

x=y=1,得

f(1)=f(1)+f(1)

f(1)=0.令

x=y=-1,得

f(1)=f(-1)+f(-1)

f(-1)=0.再令

y=-1,得

f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).∴f(x)

为偶函数.先讨论

f(x)

在

(0,+∞)

上的单调性,任取x1,

x2,

设x2>x1>0,∴f(x2)>f(x1).∴f(x)

在

(0,+∞)

上是增函数,

∴由

(1)

知,f(x)

在(-∞,0)

上是减函数.

∵偶函数图象关于

y

轴对称,(2)解:

在①中令y=

,得:x1∴由③知

f(

)>0.

x2x1∵

>1,x2x1f(1)=f(x)+f(

)

f(

)

=-f(x),x

1x

1则

f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f(

).

x2x1x1

1[例6]

(2010·江苏高考)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.[课堂记录]

解法一：函数的定义域关于原点对称，令g(x)＝ex＋ae－x，由f(x)是偶函数，知g(x)为奇函数，即g(－x)＝－g(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x，即(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0，对一切x∈R恒成立，故a＝－1.故填－1.解法二：∵f(x)是偶函数，∴g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，∴g(0)＝e0＋ae0＝0，故a＝－1.故填－1.[例7]

(1)(2010·山东高考)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于(

)A．3

B．1C．－1 D．－3(2)(2010·安徽高考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝(

)A．－1 B．1C．－