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专题四突破解答题之3——三角形

三角形是中考必考的内容.关于三角形的边、角和“三线”是中考命题的热点，既可以出现在小题中，也可以融入大题中，是研究几何综合题的基础，所以三角形的基本性质必须熟练掌握.全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰(边)三角形的判定与性质是中考命题的热点，既可以出现在简单的解答题中，也可以与特殊四边形、圆和函数形成综合题.以三角形为背景的应用题也是中考必考内容，一般考查解直角三角形和勾股定理的应用居多.

与三角形有关的边角计算 例1：如图Z4-1，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为()图Z4-1A.50°B.51°C.51.5°D.52.5°解析：∵AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，∴∠A＝∠CDA＝50°，∠B＝∠DCB，∠BDE＝∠BED.∵∠B＋∠DCB＝∠CDA＝50°，∴∠B＝25°.∵∠B＋∠BDE＋∠BED＝180°，∴∠CDE＝180°－∠CDA－∠BDE＝180°－50°－77.5°＝52.5°.故选D.答案：D

[解题技巧]熟悉等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、邻补角的定义等知识点的理解和掌握，并能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.

全等、相似和等腰三角形的证明与性质 例2：(2018年四川资阳)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD＝CM，DE⊥AB于点E，连接AD，CD. (1)求证：△MED∽△BCA；

(2)求证：△AMD≌△CMD；图Z4-2(3)设△MDE的面积为S1，四边形BCMD

[思路分析](1)易证∠DME＝∠CBA，∠ACB＝∠MED＝90°，从而可证明△MED∽△BCA；

(2)由∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点，可知MB＝MC＝AM，从而可证明∠AMD＝∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；EB＝2x，从而可求出AB＝14x，BC＝10x.最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案. (1)证明：∵MD∥BC，∴∠DME＝∠CBA. ∵∠ACB＝∠MED＝90°，∴△MED∽△BCA. (2)证明：∵∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点， ∴MB＝MC＝AM.∴∠MCB＝∠MBC. ∵∠DMB＝∠MBC，∴∠MCB＝∠DMB.∵∠AMD＝180°－∠DMB，∠CMD＝180°－∠MCB＝180°－∠DMB，∴∠AMD＝∠CMD.∴△AMD≌△CMD(SAS).(3)解：∵MD＝CM，与三角形有关的综合题

例3：如图Z4-3，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点(点P与点A，B不重合)，矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上.(1)探究DE与DF的关系，并给出证明；(2)当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？(直接给出结论，不必说明理由)图Z4-3

[思路分析](1)连接CD，首先根据△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D是AB的中点得到CD＝AD，CD⊥AD，然后根据四边形PECF是矩形得到△APF是等腰直角三角形，从而得到△DCE≌△DAF，证得DE＝DF，DE⊥DF；

而得到当DE和DF同时最短时，EF最短，得到点P与点D重合时，线段EF最短.解：(1)DE＝DF，DE⊥DF.证明如下：如Z4-4，连接CD.图Z4-4∵△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝AD，CD⊥AD. ∵四边形PECF是矩形，∴CE＝FP，FP∥CB.∴△APF是等腰直角三角形.∴AF＝PF＝EC.∵∠DCE＝∠A＝45°，∴△DCE≌△DAF(SAS).∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE.∵∠CDA＝90°，∴∠EDF＝90°.∴DE＝DF，DE⊥DF.(2)∵DE＝DF，DE⊥DF，∴当DE和DF同时最短时，EF最短.∴当DF⊥AC，DE⊥BC时，二者最短.∴此时点P与点D重合.∴点P与点D重合时，线段EF最短.

[名师点评]与三角形相关的综合题一般与四边形、圆或函数紧密相连，运用旋转、对称等图形变化方式加以对问题的进一步探究是常见的命题方式.解决此类题型一般离不开三角形的基本性质.解直角三角形与勾股定理的应用

例4：(2017年甘肃天水)如图Z4-5，一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)图Z4-5

[思路分析]如图Z4-6，利用题意得到AC⊥PC，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20海里.设BC＝x海里，则AC＝AB＋BC＝(20＋x)海里.解△PBC，得PC＝BC＝x海里，解Rt△APC，解方程即可.图Z4-6解：如图Z4-6，AC⊥PC