【综合探究题】类型二-与动点有关的探究题（解析版）

仅供个人参考不得用于商业用途仅供个人参考不得用于商业用途类型二与动点有关的探究题【典例1】【问题情境】已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．第1题图【答案】(1)证明：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BCA＝∠ABC＝45°，∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°，∴∠GFC＝∠GCF，∴GC＝GF；(2)解：DG＝EG，DG⊥EG；证明：同(1)可证GC＝GF，∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°，∴∠DCG＝45°，∵∠GFC＝45°，∴∠DCG＝∠EFG，∵△CDE平移得到△ABF，∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即EF＝AC，∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)，∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF，∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC，即∠DGE＝∠CGF＝90°，∴DG⊥EG；(3)解：∠CGE＝180°－α.【典例2】综合与探究如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．【答案】（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或．【解析】【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；（2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；（3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案．【详解】解：（1）令，，设直线的函数表达式为：，把代入得：解得：直线的函数表达式为：．（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为，．，，分两种情况：①当时，得．解得：，（舍去）当时，．点的坐标为②当时，得．解得：，（舍去）当时，点的坐标为．当点是线段的三等分点时，点的坐标为或（3）解：直线与轴交于点，点坐标为．分两种情况：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．则，，．即．又，，．连接，点的坐标为，点的坐标为，轴．，．．．点的坐标为．②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，则，，．．即．又，，．．由①可知，．．．．点的坐标为点的坐标为或．【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．【典例3】如图，△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠FAC＝eq\f(1,2)∠ABC，且∠FAC在AC下方，点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE.(1)若∠ABC＝60°，BP＝AQ.①如图①，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；②如图②，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；(2)若∠ABC＝2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．【答案】解：(1)①DE＝eq\f(1,2)AQ，DE∥AQ；②成立；【解法提示】如解图①，连接PC、PQ，∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，∴△AQC≌△BPC(SAS)，∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP，∴∠ACQ＋∠ACP＝∠BCP＋∠ACP＝60°，∴△PCQ是等边三角形，又PE⊥QC，∴E为QC的中点，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D为AC的中点，∴DE＝eq\f(1,2)AQ，DE∥AQ；②成立．理由如下：如解图②，连接PC、PQ.∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，∴△AQC≌△BPC(SAS)，∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP，∴∠PCQ＝∠BCA＝60°，∴△PCQ是等边三角形，又∵PE⊥QC，∴E为QC的中点，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D为AC的中点，∴DE＝eq\f(1,2)AQ，DE∥AQ；(2)如解图③，连接PC，取PC中点M，连接MD、ME，设PE与AC交点为N，∵∠PDC＝90°，∴MD＝eq\f(1,2)PC，同理ME＝eq\f(1,2)PC，即MP＝MC＝MD＝ME，∴P、D、E、C四点共圆，∴∠NCE＝∠NPD，∠EDC＝∠NPC，∵DE∥AQ，∴∠QAC＝∠EDC，又∠QAC＝∠PBC，∴∠NPC＝∠PBC，∵∠EPD＋∠NPC＝∠PBC＋∠BCP，∴∠EPD＝∠BCP，∴∠NCE＝∠BCP.由∠NCE＝∠BCP，∠QAC＝∠PBC，得△QAC∽△PBC，∴eq\f(AQ,BP)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(2DC,BC)＝2sin∠DBC＝2sineq\f(∠ABC,2)，即eq\f(AQ,BP)＝2sinα.【典例4】如图，等边△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形．(1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？(2)如图②，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．【答案】解：(1)EN＝MF；【解法提示】如解图①，连接DE、DF，∵D、E、F是等边△ABC三边中点，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∵△DMN为等边三角形，∴DM＝DN，∠MDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE＝60°＋∠NDF，∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝MF.图①图②(2)成立．证明：如解图②，连接DE、DF和EF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC.又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线，∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°.又∵∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE.在△DMF和△DNE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF＝DE，,∠MDF＝∠NDE，,DM＝DN，))∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝FM；(3)画出图形如解图③，③MF与EN相等的结论仍然成立(或EN＝MF成立)．【解法提示】如解图④，连接DE、EF、DF.④∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，且△ABC是等边三角形，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°.∵△DMN是等边三角形，∴DM＝DN，∠MDN＝60°，∴∠MDF＋∠MDE＝∠MDE＋∠NDE，∴∠MDF＝∠NDE，∴△MDF≌△NDE(SAS)，∴MF＝NE.【典例5】已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.(1)发现问题如图①，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为__________；(2)解决问题如图②，当点P运动过程中∠PBA与∠PAB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝eq\r(85)，求DG的长．【答案】解：(1)BE－eq\f(1,2)MF＝eq\f(1,2)AB；【解法提示】如解图①，取AB的中点N，连接PN、PM.∵∠PBA与∠PAB互余，∴∠PBA＋∠PAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴∠APD＝90°，∵N是AB的中点，M是AD的中点，∴PN＝BN＝AN＝eq\f(1,2)AB，AM＝DM＝PM＝eq\f(1,2)AD，∴∠NAP＝∠NPA，∠MAP＝∠MPA.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC.∵BC＝2AB，∴AD＝2AB，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(1,2)，而∠NAP＋∠MAP＝∠BAD＝90°，∴∠NPA＋∠MPA＝90°，即∠NPM＝90°.∵∠EPF＝90°，∴∠NPM＝∠EPF，∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM，∴∠NPE＝∠MPF.∵∠ABP＋∠BAP＝90°，∠BAP＋∠DAP＝90°，∴∠ABP＝∠DAP.∵PN＝BN，AM＝PM，∴∠ABP＝∠BPN，∠DAP＝∠MPA，∴∠ENP＝∠FMP，∴△PNE∽△PMF，∴eq\f(NE,MF)＝eq\f(PN,PM)＝eq\f(\f(1,2)AB,\f(1,2)AD)＝eq\f(1,2).∴NE＝eq\f(1,2)MF，∵BE－NE＝BN，∴BE－eq\f(1,2)MF＝BN，又∵BN＝eq\f(1,2)AB，∴BE－eq\f(1,2)MF＝eq\f(1,2)AB.(2)不成立；理由如下：如解图②，取AB的中点N，连接PN、PM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠PBA＝∠PAB，∴PA＝PB，∵N是AB的中点，∴PN⊥AB，∴∠ANP＝90°，∵∠PAB＋∠PAD＝90°，∠PBA＋∠PBC＝90°，∴∠PAD＝∠PBC，∴∠PAD＝∠PDA，∴PA＝PD.∵M是AD的中点，∴PM⊥AD，∴∠PMA＝90°，∴四边形PMAN是矩形，∴∠NPM＝90°，AN＝PM，PN＝AM.∵∠EPF＝90°，∴∠NPM＝∠EPF，∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM，∴∠NPE＝∠MPF.∵∠PNE＝∠PMF＝90°，∴△PNE∽△PMF，∴eq\f(NE,MF)＝eq\f(PN,PM)＝eq\f(\f(1,2)AD,\f(1,2)AB).∵AD＝2AB，∴NE＝2MF.∵BE－NE＝BN，∴BE－2MF＝BN，∵N是AB的中点，∴BN＝eq\f(1,2)AB，∴BE－2MF＝eq\f(1,2)AB，故(1)中结论不成立；如解图③，延长CD交FG于点H，设BE＝2a，则AF＝3a.∵BE－2MF＝eq\f(1,2)AB，∴BE－2(AF－AM)＝eq\f(1,2)AB.∵AM＝AB，∴2a－2(3a－AB)＝eq\f(1,2)AB，∴AB＝eq\f(8,3)a，∴AD＝eq\f(16,3)a，AE＝eq\f(2,3)a，FD＝eq\f(7,3)a.∵AE2＋AF2＝EF2，∴(eq\f(2,3)a)2＋(3a)2＝(eq\r(85))2，解得a1＝3，a2＝－3(舍去)．∴AE＝2，BE＝6，AF＝9，DF＝7，BD＝8eq\r(5).∵HD∥AB，∴△AEF∽△DHF，∴eq\f(DH,AE)＝eq\f(DF,AF)，∴eq\f(DH,2)＝eq\f(7,9)，∴DH＝eq\f(14,9).∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，即HD∥BE.∴△GDH∽△GBE，∴eq\f(DG,BG)＝eq\f(DH,BE)，∴eq\f(DG,DG＋8\r(5))＝eq\f(\f(14,9),6)，∴DG＝eq\f(14\r(5),5).【典例6】已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于F，点H是线段AF上一点．(1)初步尝试如图①，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，过点D作DG∥BC交AC于点G，则GH与AH的数量关系是________，GF与FC的数量关系是________，eq\f(AC,HF)的值是________；(2)类比探究如图②，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠A＝30°，且点D，E的运动速度之比是eq\r(3)∶1，求eq\f(AC,HF)的值；(3)延伸拓展如图③，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠A＝36°，记eq\f(BC,AB)＝m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示eq\f(AC,HF).(直接写出结果，不必写出解答过程)【答案】解：(1)GH＝AH，GF＝FC，2；【解法提示】∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∴∠ADG＝∠AGD＝∠A，∴△ADG是等边三角形，∴GD＝AD＝CE，∵DH⊥AC，∴GH＝AH，∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，在△GDF和△CEF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GDF＝∠CEF,GD＝CE,∠DGF＝∠ECF))，∴△GDF≌△CEF(ASA)，∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝eq\f(1,2)AC，∴eq\f(AC,HF)＝2.(2)如解图①，过点D作DG∥BC，交AC于点G，则∠ADG＝∠B＝90°，∵∠A＝∠ADH＝30°，∴∠HGD＝∠HDG＝60°，∴△DHG是等边三角形，∴AH＝GH＝GD，AD＝eq\r(3)GD，根据题意得AD＝eq\r(3)CE，∴GD＝CE，∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，在△GDF和△CEF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GDF＝∠CEF,GD＝CE,∠DGF＝∠ECF))，∴△GDF≌△CEF(ASA)，∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝eq\f(1,2)AC，∴eq\f(AC,HF)＝2；(3)eq\f(AC,HF)＝eq\f(m＋1,m).【解法提示】如解图②，过点D作DG∥BC，交AC于点G，则∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，AD＝EC，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ACB＝∠B＝∠ADG＝∠AGD＝72°，∵∠ADH＝∠A＝36°，∴AH＝DH，∠DHG＝72°＝∠AGD，∴DG＝DH＝AH，∴△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，∴△DGH∽△ABC，∴eq\f(GH,DG)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(DG,AD)＝m，∴eq\f(GH,AH)＝m，∵DG∥BC，∴△DFG∽△EFC，∴eq\f(GF,FC)＝eq\f(DG,CE)，又∵CE＝AD，∴eq\f(DG,CE)＝eq\f(DG,AD)＝m，∴eq\f(GF,FC)＝eq\f(DG,CE)＝m，∴eq\f(GH＋GF,AH＋FC)＝eq\f(HF,AH＋FC)＝m，∴eq\f(AH＋FC,HF)＝eq\f(1,m)，∴eq\f(AC,HF)＝eq\f(AH＋FC＋HF,HF)＝eq\f(1,m)＋1＝eq\f(m＋1,m).【典例7】已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；CPQBAMN（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．CPQBAMN【解析】：（1）过点作，垂足为．则，CPQBAMN当运动到被垂直平分时，四边形CPQBAMN四边形是矩形，秒时，四边形是矩形．，CPQBAMN（2）当CPQBAMN当时，当时，点评：此题关键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。图（15）CcDcAcBcQcPcEc【典例8】如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．图（15）CcDcAcBcQcPcEc（1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分；（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？【解析】：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形．又 2分在中，由勾股定理得：（2）假设与相互平分．由则是平行四边形（此时在上）．即解得即秒时，与相互平分．（3）①当在上，即时，作于，则即=当秒时，有最大值为②当在上，即时，=易知随的增大而减小．故当秒时，有最大值为综上，当时，有最大值为【典例9】如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．AQCDBP（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CAAQCDBP①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？【解析】：（1）①∵秒，∴厘米，∵厘米，点为的中点，∴厘米．又∵厘米，∴厘米，∴．又∵，∴，∴．②∵，∴，又∵，，则，∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒．（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒．∴点共运动了厘米．∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇．【典例10】在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．（1）求的长．（2）当时，求的值．（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．【解析】：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形∴在中，在，中，由勾股定理得，∴（图（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMN（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形∵∴∴∴由题意知，当、运动到秒时，∵∴又ADCBMN（图③）ADCBMN（图③）（图④）ADCBMNHE（3）分三种情况讨论：①当时，如图③，即∴②当时，如图④，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得在中，又在中，∴解得∵∴∴即∴（图⑤）ADCBHNMF③当时，如图（图⑤）ADCBHNMF解法一：（方法同②中解法一）解得解法二：∵∴∴即∴综上所述，当、或时，为等腰三角形ABOCDPQ【典例11】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90o，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始