半参数模型在信号拟合推估中的应用

半参数模型在信号拟合推估中的应用

一、半参数模型分析推理推理模型是结合莫里茨特力场研究提出的一套数学模型，在大地测量的实际应用中得到的应用。半参数模型是20世纪80年代发展起来的一种重要的回归模型,它是参数回归模型和非参数回归模型的综合模型。由于半参数模型中既含有参数分量,又含有非参数分量,可以概括和描述众多的实际测量问题,所以其应用范围比较广泛。Moritz提出的拟合推估模型是将信号作为随机量,利用其统计性质将信号分离出来。而半参数模型中的信号可以是随机量,也可以是非随机量,但不考虑其统计性质,利用参数估计的方法将信号估计出来。这两种数学模型,形式上类似。二者之间有何异同?在大地测量中实际应用中的效果如何?本文针对这个问题进行了一些讨论。二、半参数模型与预备模型的比较1.正则化矩阵的选取半参数模型为相应的估计准则为式中,L为观测值,A为系数阵,X为确定性未知量,S为信号,可以是随机量,也可以是非随机量,Δ为噪声,,V为残差,α(α>0)为正则化参数,R为正则化矩阵。为正则化参数为正则化矩阵半参数模型中的信号可以是随机量,也可以是非随机量,但在估计时不考虑其统计性质,利用参数估计的方法将信号估计出来。解半参数模型的关键是选择合适的正则化矩阵和正则化参数。正则化矩阵的选取方法与具体问题有关,目前主要有两种选取正则化矩阵的方法,一种方法是利用自然样条函数法来选择正则化矩阵;另一种方法是利用时间序列法来选择正则化矩阵。如何根据不同的实际情况来选择合适的正则化矩阵,是半参数模型的研究热点之一。正则化参数的选取方法有多种,主要有L-曲线法、CV法、GCV法等。这些方法都有各自的优点和局限性,研究合理地选取正则化参数的新方法,是半参数模型研究的另一个热点。2.估计准则为式拟合推估模型形式上与式(1)相同,但估计准则不同,其估计准则为式中,S是随机信号,,其他符号含义同上。在拟合推估模型中,如果信号的先验协方差阵已知,利用其统计性质可以将信号分离出来。3.拟合推估模型与正则化矩阵由式(1)、式(2)和式(3)可以看出,虽然半参数模型和拟合推估模型形式上类似,但二者是两种不同类型的计算方法。半参数模型不考虑信号的随机性质利用参数估计的方法将信号估计出来拟合推估模型考虑信号的随机性,利用统计的方法将信号分离出来,这是二者的主要区别。在半参数模型中,如果信号是随机量且其协方差阵已知,则可以选取正则化矩阵。此时,半参数模型的估计准则变为。由估计准则求导并与式(1)组成法方程,然后分块解算法方程,可以得到其中式(6)和拟合推估的计算公式相比,形式上很相似,区别在于正则化参数α可以不等于1。这说明当信号是随机量且其协方差矩阵已知时,半参数模型包括了拟合推估模型。当正则化参数α=1时,二者等价。另外,通过选择合适的正则化参数α,应用半参数模型可能改进拟合推估的结果。三、半参数模型和半模型模型的转换以文献中模拟的2维坐标变换为例。设某点在两个直角坐标系下的坐标分别为θT=[ξη]和XT=[xy],相应的坐标相似变换可以描述为式(7)中ax和ay为平移参数,a和b为旋转参数。考虑到系统误差和偶然误差,上式可变为改写为半参数平差模型的形式为现有13×13的方阵,其行和列的起始值、终止值和步长分别为:-3,3和0.5。模拟观测值是这样得到的:首先在规则格网上加上系统误差,然后进行赫尔默特转换,最后加上单位中误差为0.1的独立正态分布的噪声。平移参数a0,旋转参数T,模拟的系统误差S,它们的值如下本例中根据模拟的系统误差协方差矩阵u03a2S选择的正则化矩阵R为其中转换前的格网点如图1,转换后的格网点如图2所示。此例中,模拟的系统误差就相当于半参数模型中的信号,它的协方差阵u03a2S已知。待求的参数是4个转换参数和模拟的系统误差。为了将半参数模型和最小二乘拟合推估法进行比较,设计了以下两种方案计算。1.最小二乘拟合推估法。2.半参数估计,选取正则化矩阵,用L曲线法确定的正则化参数为α=1.1220。两种方案计算的4个转换参数X估值的比较见表1。两种方案计算的4个转换参数X和信号S的估值与真值的差的范数的比较见表2。在表1和表2中,Xt,St分别表示X,S的真值。X1,S1分别表示用方案(1)求解的X,S的估值。X2,S2分别表示用方案(2)求解的X,S的估值。从表1和表2的计算结果可以看出,方案(2)的结果优于方案(1),应用半参数模型的计算结果比最小二乘拟合推估法更接近真值。这说明当信号的协方差阵u03a2S已知时,选取正则化矩阵R=u03a2S-1,通过选择合适的正则化参数α,利用半参数模型可以改进最小二乘拟合推估的结果。四、半参数模型的改进综合本文的理论分析及算例结果,可得如下结论:1.本文将半参数模型与拟合推估模型进行了分析和比较,指出半参数模型可以包