辽宁省沈阳市重点中学2023-2024学年高二上学期第二次月考测试数学试题（含答案）

—2024学年度（上）第二次月考测试试题高二数学本试卷共4页，22题.满分150分.考试用时120分钟.一.单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.以为圆心，2为半径的圆的标准方程是（）A. B.C. D.2.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.3.两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（）A.相交或异面 B.相交 C.异面 D.平行4.一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点（）A. B. C. D.5.已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（）A. B. C. D.6.与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（）A. B.C. D.7.双曲线：的左、右焦点为，，若点在双曲线右支上，且，则双曲线离心率的值不可能是（）A. B. C. D.8.已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线：交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二.选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，下列说法正确的是（）A.椭圆的离心率为 B.的最小值为1C. D.10.已知点是抛物线：上任意一点，过焦点的直线与其交于，两点，则下列说法正确的是（）A.焦点为B.当的斜率为1时，C.点，则的最小值为10D.过点与有1个公共点的直线有3条11.下列说法正确的是（）A.已知点，，若过的直线与线段相交，则倾斜角B.“”是“直线与直线互相平行”的充要条件C.曲线：与：恰有4条公切线，则实数D.圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于12.已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点为上任意一点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.若，则或C.点到的两条渐近线距离之积为D.过被双曲线截得弦长为的直线有且仅有2条三.填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13.抛物线的焦点到准线的距离等于______.14.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与成角的正弦值等于______.15.已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为______.16.已知直线与圆交于，两点，且，则的最大值为______.四.解答题（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）（1）已知双曲线的渐近线方程为，求的离心率.（2）已知，若方程表示双曲线，求的取值范围.18.（12分）已知圆的圆心在直线上，点，都在圆上.（1）求圆的方程；（2）求过点且与圆相切的直线方程.19.（12分）已知抛物线：，过的焦点的直线与交于，两点.（1）若点在抛物线上，且到抛物线的准线距离为2，求抛物线的方程（2）若直线的斜率为1，线段的中点纵坐标为2，求抛物线的准线方程.20.（12分）在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，，，以为直径的圆经过点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.21.（12分）已知椭圆：的左焦点为，且短轴长为，过的直线与交于，两点，，两点的坐标分别为，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若的倾斜角为，求弦长；（3）若的内切圆周长为，求.22.（12分）已知点和直线：，动点到点的距离与到直线的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交于，两点，若点的坐标为，直线，与轴的交点分别是，，证明：线段的中点为定点.高二数学参考答案123456789101112BDACCDDBBDACDACAC13. 14. 15. 16.3017.（1）当焦点在轴上时：，则离心率；当焦点在轴上时：，则离心率，所以双曲线的离心率为或。（2）由题：，解得：或（10分）18.（1）设圆心，由题，解得，所以，圆的方程为：；（2）当的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离等于2，此时与圆相切，符合题意；（8分）当的斜率存在时，设方程为，此时圆心到直线的距离等于半径2，即：，解得：，此时方程为：，19.（1）由题意，解得，所以抛物线的方程为.（6分）（2）设，，则，所以，即：，所以，抛物线方程为，准线方程为。20.（I）因为以为直径的圆经过点，所以（1分）因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以，又因为平面，平面，，，平面，所以平面，（II）因为平面，又因为平面，平面，所以，，又因为，所以，则、、两两互相垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（7分）因为，，，所以，所以在中，由勾股定理得，则点，，，，则，，设平面的法向量为，平面的法向量为则得，取，设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面夹角的余弦值为21.（1）由题，解得，所以椭圆方程为，（4分）（2）的方程为，联立得：，则，，根据弦长公式：；（8分）（3）的内切圆半径为，的周长为，的面积为