2024版高考复习A版数学考点考法讲解：不等式及其解法

高考

数学不等式2.1不等式及其解法基础篇考点一不等式的概念与性质1.不等式的性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a;a<b⇔b>a可逆传递性a>b,b>c⇒a>c;a<b,b<c⇒a<c同向可加性a>b⇔a+c>b+c可逆可乘性a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bcc的符号移项法则a+b>c⇔a>c-b可逆同向可加性a>b,c>d⇒a+c>b+d同向同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd同向同正可乘方性a>b>0,n∈N*⇒an>bn同正可开方性a>b>0⇒

>

(n∈N,n≥2)同正2.不等式的倒数和分数性质1)倒数性质:a>b,ab>0⇒

<

;a<0<b⇒

<

.2)分数性质:若a>b>0,m>0,则

<

;

>

(b-m>0);

>

;

<

(b-m>0).考点二不等式的解法1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象

ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1,x2(x1

<x2)有两个相等实根x1=x2=-

没有实根ax2+bx+c>0(a>0)的解

集{x|x<x1或x>x2}

x

x≠-

Rax2+bx+c<0(a>0)的解

集{x|x1<x<x2}⌀⌀在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0,则可先根据不等式的

性质,将其转化为正数,再对照上表求解.2.分式不等式的解法1)

>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0);2)

≥0(≤0)⇔

3.绝对值不等式的解法1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2;2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);3)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x);4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解,也可以用图象法求解.综合篇考法一元二次不等式恒成立问题1.不等式解集法:不等式f(x)≥0在x∈A时恒成立⇔集合A是不等式f(x)≥0

的解集B的子集.通过求出不等式的解集,利用集合间的关系得出参数的

取值范围.2.分离参数法:不等式f(x,λ)≥0(x∈D,λ为实参数)恒成立⇔λ≥g(x)或λ≤g(x)(x∈D)恒成立⇔λ≥g(x)max或λ≤g(x)min,进而求得g(x)(x∈D)的最值即可.

该方法适用于参数与变量易分离,且函数最值易求得的题目.3.变换主元法:更换变元与参数的位置,构造以参数为变量的函数,根据原

变量的取值范围列式求解.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的

范围,谁就是参数.4.数形结合法:结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点处的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解.例1

(2022福建厦门一中期中,4)不等式ax2+5x-7a>3-2x2对一切a∈(-1,0)

恒成立,则实数x的取值范围是

(

)A.(-∞,-4]∪

B.(-∞,-4]∪[-1,+∞)C.(-4,-1)D.

解析令f(a)=a(x2-7)+5x-3+2x2,则f(a)对一切a∈(-1,0)均大于0恒成立,则

有

化简得

解得

故x≤-4或x≥

.故选A.答案

A例2

(2021江苏连云港测试,14)设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<

-m+5恒成立,求m的取值范围.解析要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,则m(x2-x+1)-6<0在x∈[1,3]上恒

成立.因为x2-x+1=

+

>0,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<

.又因为函数y=

=

在[1,3]上单调递减,所以ymin=

,所以m<

.所以,m的取值范围是

.名师点睛1.一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)不等式ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立的条件是①当a=0时,b=0,c≥0;

②当a≠0时,

(2)不等式ax2+bx+c≤0对任意实数x恒成立的条件是①当a=0时,b=0,c≤0;

②当a≠0时,

2.一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(1)当a<0时,f(x)<0在x∈[α,β]上恒成立⇔

或

或Δ<0.f(x)>0在x∈[α,β]上恒