第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质

第2章理解教材新知2.2把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三2.2.2考点四问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a，0)，(－a，0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b(±a，0)(0，±b)(0，±a)(±b，0)2b2a

(±c，0)(0，±c)2c

对称性对称轴

，对称中心

离心率e＝∈

x轴，y轴(0，0)(0，1)1．椭圆的对称性：椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．

2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系：

(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．

(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[例1]

求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．

[思路点拨]

本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a，b，c，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[一点通]

求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a，b的值，进而求出c，写出椭圆的几何性质参数．[一点通]

在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．[一点通]

1．椭圆的离心率的求法：

(1)直接求a，c后求e，或利用e＝，求出后求e.(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的方程求e.2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0，1)取交集．[一点通]解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1700km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km，月球的半径约是1800km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．8．已知某荒漠上F1、F2两点相距2km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．

2．椭圆的