专题01第一章 一元二次方程（中等类型10大类型）（原卷版）

专题01第一章一元二次方程【专题过关】类型一、整体代入【解惑】已知m是方程的一个根，则代数式的值应在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【融会贯通】1．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）若a为方程的解，则的值为（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）若为方程的一个根，则代数式的值为．3.（2023春·内蒙古包头·八年级包头市第二十九中学校考期中）若是方程的解，则代数式的值为．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）若关于x的方程的一个解为，则．5．（2021秋·广东江门·九年级校考阶段练习）已知是方程的一个根，则代数式的值是．类型二、赋值求解【解惑】方程中，a、b、c满足和，则方程的根是（

）A．1、 B．1、3 C．、3 D．无法确定【融会贯通】1．（2022秋·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）如果关于x的方程（）中，，那么方程必有一个根是（

）A．1 B． C．0 D．22．（2023·全国·七年级专题练习）关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，则方程的根是（

）A．0 B．1， C．2， D．无法确定3．（2023秋·全国·九年级专题练习）在关于x的方程（）中，a，b，c满足和，则方程的根是（）A．1，0 B．1， C．1， D．无法确定4．（2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x的一元二次方程和，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（

）A．2 B． C． D．15．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为（

）A．0 B．1 C．-1 D．±1类型三、变形求值【解惑】若是方程的一个根，则的值为（）A．1 B． C．0 D．【融会贯通】1．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若m是方程的根，则．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程有一根为，那么．3．（2023春·八年级课时练习）已知，则的值是．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）设，是整数，方程有一个实数根是，则．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知是方程的根，求的值．类型四、降次【解惑】将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是．【融会贯通】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（）A．62 B．63 C．64 D．652．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）已知m为方程的根，那么的值为．3．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考期中）已知是方程式的根，则式子的值为．4．（2022秋·四川成都·九年级四川省成都市盐道街中学校考期中）已知m是方程式的根，则式子的值为．5．（2022秋·全国·九年级专题练习）若a是方程的一个根，则的值为类型五、整体换根【解惑】若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2019【融会贯通】1．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（

）A．2022 B．2020 C．2019 D．20212．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．20223．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数，那么的根是；4．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期中）已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为．5．（2023春·湖南长沙·八年级统考期末）请阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．类型六、根据根求参【解惑】关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【融会贯通】1．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）.已知关于的方程有解，则的取值范围是.2．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知关于的方程．(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；(3)有实根，求m的最小整数值．3．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围．(2)是否存在的值，使为非负整数，且方程的两根均为有理数？若存在，请求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由．4．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于的方程．(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值和这个等腰三角形的周长．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根．类型七、利用根与系数关系变形求解【解惑】已知，是方程的两实数根，则．【融会贯通】1．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知是方程的两实数根，则的值为．2.（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）已知方程的两根分别为，则．3．（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市南雅中学校考开学考试）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为，且，求m的值．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知关于的方程．(1)当方程有两个实数根时，求的取值范围；(2)当方程的两个根满足时，求的值．5．（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）关于的方程：有两个不相等的实数根．(1)求实数的取值范围；(2)用含的代数式表示(3)设方程的两个实数根分别为，使得，则_____．类型八、换元法解方程【解惑】若实数x，y满足，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或2【融会贯通】1．（2023春·上海长宁·八年级统考期末）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知方程的根为，，则方程的根是．3．（2023春·浙江·八年级期中）若，则．4．（2022秋·黑龙江·九年级统考期中）方程，则的值是．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知的解是1，，则方程的解为．类型九、几何问题【解惑】如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示的长方形，设，则这个正方形的面积为（

）

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·河南新乡·八年级统考期末）如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则的长是（

）

A． B．5 C．6 D．2．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）某工程队计划一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽，则可列方程．3．（2023秋·福建福州·九年级校考开学考试）列方程或方程组解应用题：如图，将一块正方形空地划出部分区城进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地用（空白处），求原正方形空地的边长．

4．（2023秋·陕西西安·九年级西安市第八十五中学校考开学考试）学校课外兴趣活动小组准条利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm．

(1)如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值；(2)如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值．5．（2022秋·江西吉安·九年级校考期中）如图，有总长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

(1)如果设花圃的宽米，则长多少米？（用含的代数式表示）；(2)如果要使花圃的面积为45平方米，那么花圃的宽应为多少米？(3)如果要在两个矩形的一边各开一个1.5米宽的门（做门材料不占用篱笆），且花圃的总面积为54平方米，那么花圃的宽应为多少米？类型十、降价、提价问题【解惑】某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（）A． B．C． D．【融会贯通】1．（2022秋·宁夏中卫·九年级统考期中）某种商品的进货单价是40元，商家根据市场调查得知，若按每个50元的价格出售，则每天能够卖出500个，已知该种商品每涨价1元，则其每天销售量将减少10个．在涨价幅度不超过20元的情况下，如果该商家想一天能够赚得8000元利润，那么他应该涨价多少元？2．（2023春·浙江衢州·八年级期中）某服装店以80元/件的成本价购进一批衬衫，并以120元/件的单价卖出，平均每天可售出20件，为了扩大销售，老板决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，平均每天可多售出2件．(1)若该服装店平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫定价多少元时，平均每天盈利最多？3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克．(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)若设日销售量为，每千克应涨价元，请写出与的函数关系式，并求出销售量最大时，每天盈利多少？4．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．(1)设销售单价提高x元（x为正整数），每天销售量为y（个），求y与x之间的函数关系式；(2)当售价定为多少元时，利润