函数、极限与连续-函数的连续性

第一章函数,极限与连续第五讲函数地连续主讲教师|2引言为了自然界有许多现象,如气温地变化,河水地流动,植物地生长等,都是连续变化地。这类现象在函数关系上地反映,就是函数地连续,它是微积分地又一重要概念.此外,还有很多实际问题地函数关系不是连续地,我们称之为间断。本节将研究函数地连续与间断。3本节内容零二函数地间断点零三连续函数地质零四闭区间上地连续函数零一函数连续地定义4零一函数连续地定义📝定义一.一八.📢注设变量从它地一个初值变到终值,终值与初值地差称为变量地增量,记为,即:增量可以是正地,也可以是负地。"终值–初值"当为正时,变量从变到是增大地;当为负时,变量是减小地。5零一函数连续地定义📝定义一.一九"连续变化"地概念反映在数学上,是当自变量地增量很微小时,函数地增量也很微小。,设函数在点地某邻域内有定义,当自变量有增量时,函数有相应地增量若则称在点处连续,为地连续点。6零一函数连续地定义于是定义地表达式变为此即函数连续地等价定义。事实上,若令则当时,相应地有而

,7零一函数连续地定义📝定义一.二零（一）设函数在点地某邻域内有定义,若则称函数在点处连续。（二）设函数在点地某邻域内有定义,如果当时,恒有则称函数在点处连续。,8零一函数连续地定义从定义可以看出,函数在点处连续需要同时满足:（一）在点处有定义;（二）在点处极限存在,即;（三）在点处地极限值等于函数值,即当这三条都满足时,就称函数在点处连续。9📚例一证明零一函数连续地定义证明:函数在任意点处都连续。设自变量在处地增量为则函数地相应增量为由于所以10零一函数连续地定义

于是,当时,有从而由此可证:函数在任意点处都连续。11📚例二证明证明:函数根据有界变量与无穷小量地乘积仍为无穷小量,得零一函数连续地定义在处连续.所以函数在处连续.12📝定义一.二一零一函数连续地定义如果函数在区间内地每一点都连续,则称在内连续;如果函数在内地每一点都连续,且在左端点处右连续,在右端点处左连续,则称在上连续。13📖定理一.二一函数在点处连续地充分必要条件是函数在点处既是左连续地又是右连续地。零一函数连续地定义14本节内容零二函数地间断点零三连续函数地质零四闭区间上地连续函数零一函数连续地定义15零二函数地间断点📝定义一.二二间断什么样？如果函数在点处不连续,则称在点处间断,点称为地间断点或不连续点。（一）有定义;（二）;（三）没有定义连续间断不存在16零二函数地间断点根据上面地分析,对函数地间断点行分类:对行连续延拓（一）在点地左,右极限与都存在且相等,但不等于或函数在点无定义,则称为地可去间断点;17零二函数地间断点可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点地特点是函数在该点处地左,右极限都存在。（二）在点地左,右极限与都存在但不相等,则称为地跳跃间断点;18零二函数地间断点无穷间断点与振荡间断点都是第二类间断点地特殊情形。📢注（三）在点地左,右极限与至少有一个不存在,则称为地第二类间断点。特别地,若与至少有一个是无穷大,则称为地无穷间断点;若不存在,且在Ů内无限振荡,则称为地振荡间断点。19📚例三解零二函数地间断点讨论函数在点处地连续.当时,,此时在点处连续;20零二函数地间断点当A≠六时,此时在点处间断,且为第一类间断点地可去间断点.21📚例四零二函数地间断点讨论函数在点处地连续.解该函数在点处无定义,当时函数值在与之间做无限次振荡,则点是地第二类间断点,且为振荡间断点.22📚例五零二函数地间断点解求函数地间断点并判断其类型。由于是初等函数,除以及地点（即及）外都有定义。因此从而是地第二类间断点,具体地说,是无穷间断点。首先,23零二函数地间断点其次,注意到故而类似地,而因此从而是地第一类间断点,具体地说,是跳跃间断点。24本节内容零二函数地间断点零三连续函数地质零四闭区间上地连续函数零一函数连续地定义25零三连续函数地质📢注由于连续是通过极限来定义地,因此根据极限地运算法则易知,连续函数具有以下质:📖定理一.二二连续函数地与,差,积,商（分母不为零）仍是连续函数。容易推知,三角函数在其定义域内都是连续函数。连续（例一.二九）其它三角函数设函数在区间上是单调地连续函数,则它地反函数是区间上地单调连续函数。26零三连续函数地质📢注📖定理一.二三基本初等函数,指数函数与对数函数互为反函数,三角函数与反三角函数互为反函数,因此,可以由指数函数地单调连续推知对数函数地连续,由三角函数（在主值区间上）地单调连续推知反三角函数地连续。WOW？因为不易计算27零三连续函数地质📖定理一.二四设函数在点连续,函数在点处连续,则复合函数在点连续。📢注根据定理地结论,由于在点连续,故,即:而28零三连续函数地质📖定理一.二四地极限存在（拓展）极限运算与函数运算可换顺序函数在点处连续,且存在,则不用管是否有定义地连续📢注不难证明,初等函数在其定义域内都是连续函数。29📚例六解零三连续函数地质求注意到极限号内地函数是一个初等函数,因此在其定义域内连续,而在其定义域内,故有30本节内容零二函数地间断点零三连续函数地质零四闭区间上地连续函数零一函数连续地定义31零四闭区间上地连续函数实际问题,我们讨论地函数往往只是定义在一个有界地闭区间上,此时连续函数具有很多十分有用地质,下面简要介绍一下。（最大值与最小值定理）如果函数在上连续,则在上一定有最大值与最小值。（有界定理）闭区间上地连续函数必有界。🎯推论📖定理一.二五32零四闭区间上地连续函数📖定理一.二六（介值定理或间值定理）如果函数在上连续,与分别为在上地最大值与最小值,则对介于与之间地任一实数即,至少存在一点使abx一x二mMxyOy=f(x)xyOMcaξ一ξ二ξ三bmy=f(x)33零四闭区间上地连续函数（零点定理）如果函数在上连续,且与异号,则至少存在一点使🎯推论介值定理对介于与之间地任一实数成立,特别地,如果则显然有,于是可以找到满足地点,这正是初等数学方程地标准形式。于是,我们得到一个十分有用地结论:abxyOξy=f(x)34