2023年北京二中教育集团中考一模数学试卷（含答案解析）

2023年北京二中教育集团中考一模数学试卷

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.根据北京市统计局发布的统计数据，2022年首都的各项事业都取得了新进展，其中

GDP总量达到41600亿元，数字41600用科学记数法可表示为（）

A.4.16xl04B.41.6xl04C.4.16xl05D.0.416xl05

2.有理数。在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足。<-a,则b的值可能

是（）

~612*

A.2B.-2C.0D.-3

3.下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（）

4.若正多边形的内角和是540。，则该正多边形的一个外角是（）

A.60°B.72°C.90°D.108°

5.关于x的一元二次方程f-（%+3）x+2k+l=0根的情况是（）

A.无实根B.有实根

C.有两个不相等实根D,有两个相等实根

6.为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中

学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（）

A•<S乙,々y•Xy，B.5甲=S乙,与~>x乙C.坛

D«S甲=S乙，而।<x乙

7.如图是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图不可能

是（）

8.已知在正方形ABC。中，P是对角线8。上一个动点，过P作C。、AO的平行线分

别交正方形ABC。的边于E、尸和M、N,若BP=x,图中阴影部分的面积为y,则y

与x之间的函数关系图象大致是（）

二、填空题

9.方程金二在=0的解是________.

4+2x

10.因式分解：4a2-8a+4=

试卷第2页，共8页

11.已知点A（m-l,yj,3（〃?,%）都在一次函数丫=-2*+1的图象上，那么乂与y?的大

小关系是y%（填

12.如图（示意图）所示，某校数学兴趣小组利用标杆的测量建筑物的高度，已知标

杆8E的高为2.4m,测得AB=1.8m,3c=13.2m,则建筑物CD的高为m.

13..如图，在RtAABC中，ZB=90°,以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交

AB、AC于点D,E,再分别以点D、E为圆心，大于二DE为半径画弧，两弧交于

2

点F,作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则AACG的面积是.

14.如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，贝UcosNACB的值为

15.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1,2,3.小林和小华做

一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布

袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇

数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.小林赢的概率是.

16.一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画Y,错误的

画x.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则，”的值为.

题号学生12345678得分

甲XqXqXXqX30

乙XXqqqXXq25

丙7XXXqqqX25

TXqXqqXdqm

三、解答题

17.计算：3tan30°—+卜卜

2x-6<3x

19.己知标2-1-1=(),求代数式(2x+3)(2x—3)—2x(l—x)的值.

20.同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半”

这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明.

已知在二ABC中，ZC=90°,ZA=30°,求证：BC=-AB.

2

法一：如图1,在A8上取一点。，使得BC=BD,连接CD.

法二：如图2,延长BC到。，使得BC=CZ),连接AO.

你选择方法

证明：

21.如图，四边形ABC。的对角线AC,8£>相交于点。，BC,E。为矩形BECO对角

线，BC//AD,AD=EO.

试卷第4页，共8页

（1）求证：四边形ABC。是菱形；

（2）连接OE,若AC=4,/BCD=120。，求£>£的值.

22.在平面直角坐标系xOy中，直线％=-2x+l与反比例函数必=或（%工0）图像的一个

X

交点、为点、M.

八，

5■

4-

3-

2.

I-

O

1234x

-2

-3

-4

-5

（1）当点M的坐标为（2,帆）时，求女的值;

（2）当天<-1时，对于1的每一个值，都有力〉必，求女的取值范围.

23.第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京

成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市.北京冬奥会的成功兴办掀起了全

民"冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛.该校九年级共有学生480人参加

了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，小明对两次数据（成绩）进行整理、

描述和分析.下面给出了部分信息：

〃.小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表:

成绩（分）x<4545.54646.54747.54848.54949.550

人数（人）2102111414

注：成绩只能为0.5的整数倍.

b.将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：x<45,

45<x<46,46<x<47,47<x<48,48<x<49,49<x<50)

某校抽取30名学生的两次“冬奥知识”竞赛成绩折线统计图

c.两次竞赛成绩的平均数、中位数如下:

平均数中位数

第一次46.7546.75

第二次48.50m

根据以上信息，回答下列问题:

(1)请补全折线统计图，并标明数据；

(2)请完善C,中的统计表，的值是一.

(3)若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有一名学

生成绩达到优秀；

(4)通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数

一定出现在45<x446这一组”.请你判断小明的说法一.(填“正确”或"错误”)，你的理

由是一.

24.如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子

B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地

面最大高度为5米时，与点A所在)，轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1

米.

试卷第6页，共8页

(1)求该抛物线的解析式.

(2)已知人梯BC=3.15米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次

表演能否成功(接触到人梯则代表表演成功)？请说明理由.

25.如图，A8是。的直径,C为A3延长线上一点.CD为切线，。为切点，OEA.BD

于点”，交8于点E.

(1)求证：ABDC=ZBOE；

(2)若sinC=g,4)=4,求EH和半径的长.

26.在平面直角坐标系中，A(-3,yJ,呜,为｝C(mM在抛物线

y=-x2+2ax+c(a＞0)上.

(1)抛物线的对称轴为直线x=_,直接写出其和治的大小关系乂一力；

(2)若加=4,且％=%，则。的值是

(3)若对于任意14加44,都有m＜上＜必，求”的取值范围.

27.在中，AB=AC,。是ABC外一点，且？BAC2BDCa,将射线绕

点A顺时针旋转a,与8。相交于点E.

(1)如图1,探究NAEB和NADC的数量关系并证明；

(2)如图2,当a=90°时，过点E作EG〃A。交BC于点G,射线与射线BC相交于

点E请补全图形，写出FG与AB的数量关系，并证明.

28.在平面直角坐标系X。)'中，直线y=心水力0)在x轴及其上方的部分记为射线/.对

于定点A(26,o)和直线y="(Z*O),给出如下定义：同时将射线AO和直线y=依分

别绕点A和原点。顺时针旋转。(0°<a<180°)得到/,和4,4与/2的交点为点P,我们

称点P为射线/的“2-双旋点.如图，点P为y=2x的“2-30°”双旋点.

I23456x一6.5-4-3-2-10i23*456x

-4

-5

-6

备用图备用图

⑴若/=-6

①在给定的平面直角坐标系宜万中，画出“％-90。”的双旋点《；

②直接写出a=30。的双旋点鸟的坐标」

③点6(1,1)、P式瓜3)、6(。，2)是丫=履的“_6一/'双旋点的是_；

⑵直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点M、N,若存在a,使直线y="的“Ar-a”

双旋点在线段MN上，求A的取值范围；

(3)当-^444-立时，对于任意的a,若存在某个三角形上的所有点都是射线丫=丘

2

的“A-a”双旋点，直接写出这个三角形面积的最大值.

试卷第8页，共8页

参考答案:

I.A

【分析】科学记数法的表示形式为axlO”的形式，其中1<\a\<10,〃为整数，确定"的值

时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当

原数绝对值>10时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【详解】解:41600用科学记数法表示为4.16x10%

故选：A.

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键要记住科学记数法的表示形式，正

确确定。的值以及，?的值.

2.D

【分析】根据〃的范围确定出力的范围，进而判断出6可能的取值.

【详解】解：根据数轴上的位置得：2<。<3,

-3<—a<—2,

­.b<-a,

bV—3,

故6的值可能为-3,

故选：D.

【点睛】此题考查了数轴，掌握用数轴比较大小是解本题的关键.

3.C

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项A不符合题意；

B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C符合题意；

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线

折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义:

把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图

形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

4.B

答案第1页，共23页

【分析】根据多边形的内角和公式(，L鳄D。求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是

360°,依此可以求出多边形的一个外角.

【详解】解：•.•正多边形的内角和是540。，

；•多边形的边数为540°+180°+2=5,

,••多边形的外角和都是360。，

,该正多边形的每个外角为360。+5=72。.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，解题的关键是记住内角和的

公式与外角和的特征.

5.C

【分析】先求出匕2-4农，再根据结果判断即可.

【详解】根据题意，得

b2-4ac=(k+3)2-4(2A+1)=A2+6A+9-8A-4=A2-2A+5=(A-l)2+4>4

9

...这个方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握从-4ac与一元二次方程根之间的

关系是解题的关键.即当〃-4ac>0时，一元二次方程以2+法+。=0(。=0)有两个不相等的

实数根；当层-4"c=0时，一元二次方程62+次+。=0(〃*0)有两个相等的实数根；当

b1-4«c<0时、一元二次方程ax?+bx+c=0(“丰0)没有实数根.

6.B

【分析】分别求出两所中学5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解.

【详解】解：根据题意得：甲所中学5名学生的成绩为70,80,80,70,90,

乙所中学5名学生的成绩为60,70,70,60,80,

.-.^=1(70+80+80+70+90)=78,^=1(60+70+70+60+80)=68,

跖=1[(70-78)2+(80-78)2+(80-78)2+(70-78)2+(90-78)2]=56,

Si[(60-68)2+(70_68)2+(70-68)2+(60-68)2+(80-68)2]=56,

“=53邳〉x乙.

答案第2页，共23页

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的公式是解题的关键.

7.B

【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意分两种情况剪开.

【详解】解：沿后面下面剪开可得C,沿后面右面剪开可得A,沿下面右面剪开可得D.

所以平面展开图不可能是B.

故选B.

【点睛】本题考查了正方体的表面展开图.正方体共有11种表面展开图，注意分情况讨论.

8.D

【分析】设在正方形A8CD的边长为m首先可证得四边形AMPE、FCNP都是矩形，四边

形BFPM、EPND都是正方形，可求得BF=FP=PM=BM=JBP=Jx,

22

EP=PN=ND=DE=a-^-x,再由S阴影=S正方形诋。一$正方)w，”一S正方形律*>即可求得则y

2

与x之间的函数关系，据此即可判定.

【详解】解：设在正方形A8C。的边长为“，

四边形ABC3是正方形，

:.AB=BC,ZMBP=ZFBP=45°,AB//CD,BC//AD,

过P作CQ、的平行线分别交正方形ABC。的边于E、尸和M、N,

四边形AMPE、FCN尸都是矩形，

二四边形班EW、EPND都是正方形，

BF=FP=PM=BM=—BP=—x,

22

72

EP=PN=ND=DE=a-—x,

2

…S明彩=SjE方形A«C0—S正方形MHM-SjE方形。NO

2"2(aY

I2)I2J

=a2_•-x2-a2+y/2ax--x2

22

=-x2+厄ax

：.y=—x2+yflax^x>0,y>0),

答案第3页，共23页

.•.该函数的图象是开口向下的抛物线，

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，求函数解析式，几何问题与二次函数，准确求得

函数解析式是解决本题的关键.

9.x=3

【分析】按解分式方程的步骤解方程，即可求解.

【详解】解：去分母，得：3-x=0,

解得x=3,

经检验：x=3是原方程的解，

所以，原方程的解为x=3.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的方法和步骤是解决本题的关

键.

10.4(。-I1

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【详解】解:原式=4(/-2。+1)

=4(〃—I)?

故答案为：43-1)2

【点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关

键.

11.>

【分析】根据一次函数解析式得出％=-2<0,得出y随着X的增大而减小，根据〃?-1<加，

即可求解.

【详解】解：；y=-2x+l,k=-2<G,

•♦.y随着x的增大而减小，

工%>为，

故答案为：>.

【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知•次函数图象上各点的坐标一定

答案第4页，共23页

适合此函数的解析式是解答此题的关键.

12.20

【分析】根据正切等于对边比邻边，即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，

八BEDC

tanNA=----=------,

ABAC

2.4DC

TJ-1.8+13.2'

解得3c=20,

故答案为：20.

【点睛】本题考查直角三角形正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切等于对边比邻边.

13.2

【分析】先作GHLAC于H,由题意可得BG=GH,再根据面积公式即可得出答案.

【详解】作GHJ_AC于H

根据题意可得AG是NBAC的角平分线

；.BG=GH=1

S.„=-xG//xAC=-xlx4=2

ABrC22

故答案为2.

【点睛】本题考查的是角平分线，需要熟练掌握角平分线的做法.

14.柜

5

【分析】取格点。，连接8。，根据勾股定理分别求出80=应，CD=20，BC二厢,即

得出血）2+cr>2=3c2,说明△BCD为直角三角形，最后根据余弦的定义求解即可.

【详解】解：如图，取格点连接80.

答案第5页，共23页

BD=Vp+F=72.CD=J*=2及，BC=JF+32=厢,

，BD2+CD2=BC2,

...△sc。为直角三角形，

C°SZAC8=0=¥=侦

BCV105

故答案为：平.

【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，余弦的定义.正确的连接辅助线是解题关键.

.5.1

9

【分析】根据画树状图求解即可.

【详解】解：由题意得：画树状图如下:

总的等可能事件个数为9个，标号之和为奇数的有4个,

4

・,•小林赢的概率是§,

4

故答案为：

9

【点睛】本题考查了画树状图求概率，熟记公式是解题关键.

16.30

【分析】由乙丙的答案和得分可知第2,5题答案正确，进而判断其余6道题目的答案，再根

据正确的答案判断丁的得分即可.

【详解】因为乙丙的第2,5题答案相同，且总分都是25分，

所以第2,5两题答案正确.

又因为甲得30分，且第2,5题错误，

答案第6页，共23页

可知其余6题答案均正确，

可知这8道题目的答案为：x,x,x,4,4,x,7,x,

可知丁的第2,8两题错误，

所以得分为6x5=30,则刃=30.

故答案为：30.

【点睛】本题主要考查了推理论证，培养了学生阅读能力和逻辑推理能力，属于基础题型.

17.-4

【分析】首先根据特殊角的三角函数值、负整数指数基的运算、二次根式的性质、去绝对值

符号法则，进行运算，再进行二次根式的混合运算，即可求解.

【详解】解：3tan30。—-疵+卜石|

=3x--4-2y/3+y/3

3

=6-4-2后+G

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数基的运算、二次根式的性质、去绝对

值符号法则、二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键.

18.-6<x4—

2

【分析】先求解每个不等式的解集，再求它们的公共部分即为不等式组的解集.

2X-6<3A®

【详解】解：cX-1公，

3

解不等式①，得：x>-6

解不等式②，得：x<|,

，不等式组的解集为：-6<x<|

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确

求解是解题关键.

19.-7

【分析】根据3犬-X-1=0,得出31-X=1,将（2x+3）（2x—3）-2理一同化为2（3x2-x）-9,

求出结果即可.

答案第7页，共23页

【详解】解：-x-l=O,

3x2—x=1»

・・・（2x+3）（2x-3）-2x（l-x）

=4x2-9-2x+2x2

=6x2-2x-9

=2（3X2-X）-9

=2x1-9

=-7.

【点睛】本题主要考查了化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算.

20.答案不唯一，见解析

【分析】法一：在A3上取一点。，使得BC=BD,连接C。，推出△88是等边三角形,

再利用等角对等边证明AO=CD,据此即可证明BC=gA3；

法二：延长8C到。，使得BC=8,连接AE>,推出AC垂直平分8。，证明△AB。是等

边三角形，据此即可证明3C=gAB.

【详解】法一：在A8上取一点。，使得BC=BD,连接8.

A

CB

BC=BD,ZB=60°,

.•.△3CO是等边三角形，

/.ZBDC=60°,CD=BD,

.•.ZDC4=60。—ZA=30°=ZA,

AD=CD=DB=BC,

：.BC=-AB.

2

法二：延长BC到。，使得8c=8,连接A£).

答案第8页，共23页

**•AC垂直平分BD.

:.AD=AB,

•.4=60。，

/W。是等边三角形

/.AB=BD=2BC,

即BC=^AB.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，熟记各图形

的性质并准确识图是解题的关键.

21.（1）见解析

（2）DE=2岳

【分析】（1）由矩形的性质可得OE=CB,4OC=90。，结合4?=£0可得4）=。？，结

合8c〃犯，可证四边形4BCO是平行四边形，再根据/BOC=90。可证四边形ABCD是菱

形；

（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC是等边三角形，进而求出AO,BO,再利

用勾股定理解RtO8E即可.

【详解】（1）证明：四边形BEC。是矩形，

:.OE=CB,ZBOC=90°,

AD=EO,

:.AD^CB,

.-.AD//BC,

四边形ABC。是平行四边形.

NBOC=90°,

答案第9页，共23页

・•.平行四边形48CD是菱形.

（2）解：如图，连接OE,

四边形ABC。是菱形，

AAB=BC=CD=AD,AB//CD,AC1BD,

：.ZBCD+ZABC^180°,

ZBCZ）=120%

.­.ZABC=1800-ZBCD=60°,

ABC是等边三角形，

ACJ.BD,AC=4,

AO=OC=-AC=2,

2

BO=VAB2—AO1=/不-2?=2后，

BD=2BO=4后,

四边形BEC。是矩形，

:.BE=OC=2,NOBE=90°,

DE=xjBD2+BE2=,（4扃+2?=2713.

【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解

直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法.

22.⑴女=一6

⑵k>0或-34A<0

【分析】（1）把点M的坐标为（2,同代入一次函数，可求出〃?的值，再代入反比例函数即

可求解；

（2）根据题意算出一次函数过k-1时的函数值，再根据当x<-l时，对于x的每一个值,

答案第10页，共23页

都有力>%，分类讨论：①当&>0时；②当/<0时.由此即可求解.

【详解】(1)解：•点M的坐标为(2,加)，且点M在直线％=-2x+l的图像上,

-2x2+1=m,即〃?=-3,

AA/(2,-3),

把"(2,-3)代入反比例函数得，k=xy=2x(-3)=-6,

二反比例函数解析式为y=-9,

X

:・k=-6.

・♦•①当々>0时，反比例函数在第一、三象限，当x<-1时，对于1的每一个值，都有

②当％<0时，反比例函数在第二、四象限，要使X>%,则当x<—l时，0<丫243,即0<幺43,

x

...一34%<0；

综上所述，当4>0或-3V左<0时，当x<T时，对于x的每一个值，都有

【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数图形的性

质，分类讨论思想是解题的关键.

23.(1)见解析

(2)/7?=49.5

(3)384

(4)错误，成绩45<x446的分数可以是45.5或46这两个分数，虽然这一组人数最多，但

也可能出现在x445或49<x450这两组中

答案第II页，共23页

【分析】（1）计算出成绩为45<x«46的学生人数，补全折线统计图即可；

（2）根据平均数和中位数即可得到结论；

（3）求出成绩为26.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数x九年级的总人数即可得

到结论；

（4）根据众数的定义即可得到结论.

(2)m-49.5；

故答案为：49.5.

1+3+2+18

(3)480x=384（名）;

30

故答案为：384.

（4）错误，理由：成绩45<xW46的分数可以是45.5或46这两个分数，虽然这一组人数

最多，但也可能出现在X445或49<x450这两组中.

【点睛】本题考查了频数（率）分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解

题的关键.

48

24.（l）y=——x-+-x+l

93

（2）表演不成功，理由见解析

【分析】（1）把点4及最高点的坐标分别代入顶点式，即可求解;

（2）把x=5代入解析式，即可判定.

【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点为（3,5）,

答案第12页，共23页

设此抛物线的解析式为y=。（尤-3）2+5,

把A（0』）代入y=”（x-3）2+5,

得1=“X（0-3）2+5,

4

解得：。=二，

42424

抛物线的解析式为：y=--（x-3）+5=-^x+|x+l;

（2）解：这次表演不成功，

理由如下：

4,,29

当x=5时，y=--x（5-3）'+5=—,

29

—>3.15,

9

,这次表演不成功.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确求得函数解析式是解决本题的关键.

25.⑴见解析

⑵EH=l,半径的长为指

【分析】（1）连接。。，根据圆周角定理得到NADB=90。，根据平行线的判定与性质得到

NBOE=ZADO,根据切线的性质得到/。。=90。，通过等量代换即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质及三角形中位线定理，得到。〃=gA。=2,设=r,0C=3r,

证明COEsCAD,根据相似三角形的性质，可求得0E的长，即可求得EH的长；再根据

相似三角形的判定，可证得,EDHs.BOH,利用相似三角形的性质及勾股定理，即可求得

半径的长.

【详解】（1）证明：如图：连。力,

OA=OD,

答案第13页，共23页

:.ZA=ZADO

AB为直径,

:.ZADB=90°1

:.ADLBD,ZADO+ZODB=90°

OE±BD

:.OE//AD,

：.ZBOE=ZA,

:.ZBOE=ZADO

CD为O切线，

c.ODLCD,NODE=90。,

:.ZBDC+/ODB=90。,

,.ZBDC=ZADOf

/BDC=/BOE；

(2)解：OELBD,OB=OD,

•••点”是的中点，

:。石〃40,点。是A3的中点，

是△然£＞的中位线，

:.0H=^AD=2,BH=DH,

.「OO1

sinC=----=-,

OC3

.,设QD=r,则0C=3r,

AC=3r+r=4r,

OEHAD,

COEsCAD,

COOE

・•——=——，

CAAD

3rOE

/.一=——，

4r4

解得OE=3,

:.EH=OE-OH=3-2=\,

NEHD=ZBHO,NEDH=ZBOH

答案第14页，共23页

・•.EDHs：BOH,

EHDH

--------，BH-DH—EH-OH，

BHOH

”为30的中点，

：.BH=DH,

:.DH2=EHOH=\x2=2

.•.在RtODH中,OD=y]OH2+DH2=J于+2=娓，

，。的半径为".

【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线

的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

26.(l)a,<

⑵3

12

(3)a>8^c—<a<—.

【分析】(1)利用抛物线的对称轴公式求出对称轴，再根据二次函数的增减性得到》和)-2的

大小关系即可;

(2)利用函数值相等得至IJ-(-3)2-64+C=T2+8〃+C,解得。的值即可；

(3)求出点A(-3,y)关于…的对称点是AQ+3/)，点呜，M)关于…的对称点

是利用函数的增减性分14“44、〃>4三种情况分析，即可得到。的

取值范围.

【详解】(1)解：抛物线的对称轴为直线汽=〃，

；丫=-/+2ox+c(a>0)开口向下，

.•.当时，y随之x的增大而增大，

：A(-3,yJ,一3苦<”，

♦•y<%，

故答案为：a,<

答案第15页，共23页

(2)V/n=4,

.・・C(4,%)

•・•%=%，

•••一(—3)—6a+c=—412+8〃+c,

.1

・,a=­；

2

(3)y=-d+2〃x+c(a>0)开口向下，对称轴为工=。，

点4(—3,y)关于无=。的对称点是A(2。+3,乂),

点唁,必)关于…的对称点是B悖,必｝

当Ovavl时，

•・•对于任意1〈加44,都有乂<%<%，

2〃+3>4

.,•］3］，

—a<1

2

解得］I2满足题意；

当时，

•・,对于任意14m44,都有,<%<必，

‘2〃+3>4

3।,

—a<1

2

解得1:<。<彳?.与矛盾，此种情况不存在；

当a>4时，

・・,对于任意都有必<为<必，

?.->4,

2

解得a>8,满足题意;

12

综上可知，。>8或不<。<二

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一元一次不等式组的解法等知识，熟练掌握二

次函数的图象和性质是解题的关键.

答案第16页，共23页

27.（l）ZAEB^ZADC,证明见解析

（2）图见解析，GF=CAB，证明见解析

【分析】（1）先证明A,B,C,。四点共圆，再利用圆周角定理证明即可；

（2）在上取点M使得MO=DC,连接CM,过C作CN，OF于N,先证明qAPC~,防£,

由相似三角形的性质可得期W=&AO=E。，再根据等腰直角三角形的性质可证明

BEG=CNF即可证明.

【详解】（1）ZAEB=ZADC,证明如下：

NBAC=NBDC,

.-.A,B,C,。四点共圆.

/.ZABD=ZACD,

ZBAC=ZDAE,

.-.ZBAE=ZCAD,

：.ZAEB=ZADC.

（2）GF=-JlAB>证明如下：

在上取点M使得=连接CM,过C作CN，。产于N,

同（1）可得N38C=ND4C,

由题意得“D4E,CZW为等腰直角三角形,

/.ZADE=ZDMC=45°,

二ZADC=NBMC=135°

ADC-BMC,

.BMCM(-

ADDC

BM=y/2AD=ED，

:,BE=MD=DC=CN,

又./BEG=/CNF,/EGB=/F.

答案第17页，共23页

/.BEGxCNF,

:.BG=CF,

BC=GF.

BC=4IAB,

GF=血AB.

【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等

腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

28.（1）①见解析；②（0,2）；③［，［

（2）k>0^k<--

2

⑶2后-卡

【分析】（1）①根据双旋点的定义，画出图形即可求解；

②设y=-岛上在x轴上方的部分任意一点坐标为则tanNZOy=^,则

》=-五与〉轴的夹角为30。，继而得出1211/鸟。4=121130。=正=?殳得出£（0,2）；

30A

③由②可知△是-石-30。的双旋点，得出NOAg=60。，则6是-G-60。的双旋点，而

NBO6>ZOAP,，则［不是y="的"_百_a”双旋点

（2）分当％>0时，当％<0时，设点。是直线>=去仅<0）上一点，过点。作轴于

点T,得出0。的解析式为y=-亭x,即可求解.

（3）由（1）③可知，当％=后时，"％-30。”双旋点为（0,2）,且ZAPO=60。，由（2）可

知NCOE=60。，贝i」ZAFO=60。，取点尸（0,2）,连接.，取四的中点G（A1）,贝iJ-6-a

的双旋点在，G上运动，同理，取MN的中点”（石，2）,则—#一a的双旋点在“上运动，

当-64%4-3时，直线>=区的“《-a”双旋点，在两圆不重合的月牙形部分（包括边界），

2

根据题意，过点尸作G的切线，交<”于点S,。，当,SQR的顶点R在直线G"上时，PR

取得最大值，贝L5QR即为所求，根据坐标与图形，垂径定理，勾股定理求得SP,尸氏