汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试（一模）文科数学试卷（含答案）

汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学(文科)(命题学校：城固县第一中学)本试卷共23小题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|0<2-x<3},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.已知z(2+i)=1,则复数z的虚部为()15iB.15C.-15A.3.已知向量㎡=(2,λ),π=(2-λ,-4),若π与π共线且同向,则实数λ的值为()A.2B.4C.-2D.-2或44.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为()A.8+2πB.8+2πC.4+D.4+2π5.已知sinx-cosx=12B.14c.34A.6.为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为45，乙每轮猜对的概率为34，在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队文科数学第1页共4页猜对一个成语的概率为()B.1920C.72037.已知p:0<x<1;q:x>m,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是()A.[0,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,1]8.已知双曲线mx²+y²=1的一条渐近线的斜率为2，则m=()A.-4B.4C.-14D.9.下列函数是偶函数且在区间(0，+∞)上单调递减的是()A.fx=x²+1B.fx=-x³10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数y=4sinωx+ω0,||<π2)A.-π3-π4B.11.已知F是抛物线C:y²=2px的焦点,x=-2是抛物线C的准线,点N(0,t)(t≠0),连接FN交抛物线C于M点,MN+MF=0,A.6B.3C.22D.412.设定义在R上的函数f(x)满足.f'x+fxA.f(x)在R上单调递减B.f(x)在R上单调递增C.f(x)在R上有最大值D.f(x)在R上有最小值第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量d，b满足2a+b⊥b,则d14.函数fx=log15.已知△ABC中,AB=3,AC=2,∠A=60°,则△ABC的外接圆面积为.16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64π的球面上，当正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.文科数学第2页共4页三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.等差数列{an}中,a₂=4,a₄+a₇=15.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an-2+n,18.某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15~65岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示.组别分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组[15,25)50.5第2组[25,35)a0.9第3组[35,45)27x第4组[45,55)b0.36第5组[55,65]3y(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人?(3)在(2)的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖.求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=120°,侧面PAB⊥底面ABCD,PB=2(1)求证:BD⊥平面PAC(2)过AC的平面交PD于点M,若VM-PAC=12V文科数学第3页共4页20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆E的方程;(2)过点M(1,0)的直线l₂与椭圆E交于两点A,B.若AM=2MB,求直线l21.已知函数f(x)=a(lnx-a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)<-3a+2.(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中曲线C₁的参数方程为x=cosαy=1+sinα(α为参数)，M是C₁上的动点，P点满足OP=3(1)求C₂的参数方程;(2)在以0为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线y=33x与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，将曲线C₁、C23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=|2x-1|+|x+a|,a∈R.(1)当a=1时,解不等式f(x)≥3;(2)若存在x∈R,使得f(x)≤|a-1|成立,求a的取值范围.文科数学第4页共4页汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试数学(文科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案ADCACBCACBDC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2π/3(或120°)14.1115.77/316.16三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题是必考题，每个考生都必须作答.第22、23题是选考题，考生根据情况作答.(一)必考题:共60分.17.(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得a1+d=4a解得{a1=3d=1.所以aₙ=a₁+n-1(2)由(1)可得bₙ=2ⁿ+n.…(7所以b=2+22=21-2==2¹¹+53=2101.…(12分)18.(1)第1组人数为5÷0.5=10,所以总人数n=10÷0.1=100∴(1分)第2组人数为100×0.2=20,所以a=20×0.9=18.…(2分)第3组人数为100×0.3=30,所以x=27÷30=0.9.…(3分)第4组人数为100×0.25=25,所以b=25×0.36=9.…(4分)第5组人数为100×0.15=15,所以y=3÷15=0.2.;(5分)(2)第2,3,4组回答正确的人的比为18:27:9=2:3:1,所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人,3人,1人.……(8分)文科数学答案第1页共4页(3)抽取的6人中,第2组的记为a₁,a₂,第3组的记为b₁,b₂,b₃,第4组的记为c,则从6人中任取2人的所有可能的情况有15种,分别为(a₁,a₂),(a₁,b₁),(a₁,b₂),(a₁,b₃),(a₁,c),(a₂,b₁),(a₂,b₂),(a₂,b₃),(a₂,c),(b₁,b₂),(b₁,b₃),(b₁,c),(b₂,b₃),(b₂,c),(b₃,c).其中第2组至少有1人的情况有9种,分别为(a₁,a₂),(a₁,b₁),(a₁,b₂),(a₁,b₃),(a₁,c),(a₂,b₁),(a₂,b₂),(a₂,b₃),(a₂,c).……(10分)故所求概率为915=319.(1)由题意知:底面ABCD是菱形,且AB=AC=2.∴BD⊥AC,……(1分)又在△PAB中AB=PA=2,PB=22,即∠PAB=90°,∴PA⊥AB,……(3分)又面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,PA⊂面PAB,∴PA⊥面ABCD,……(4分)而BD⊂面ABCD,有:PA⊥BD,……(5分)PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC;……(6分)(2)由(1)知:PA⊥面ABCD,有VP-ACD=1而VM-PAC=VP-AMC,且20.(1)由椭圆E的离心率为32,得a2故椭圆方程为x把y=x+5代入并整理，得5x2因为E与l₁有且只有一个公共点,所以△=0,解得b=1,a²=4.……………(5分)所以椭圆的方程为x24+(2)当直线l₂的斜率为0时,则A,B的坐标为(-2,0),(2,0),不符合AM=2MB,故直线l₂的斜率不为设直线的方程为x=ty+1，代入椭圆方程得t²+4文科数学答案第2页共4页则Δ=4t²+12设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y1+yAM由AM=2MB,得-y₁=2y₂得y1=-4tt2+4,y2=2t故直线l₂的方程为x=±235y+1,即21.1f'当a≤0时,f'(x)≤0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减…(3分)当a>0时,令f'x=当0<x<a时,f'(x)>0,则f(x)在(0,a)上单调递增当x>a时,f'(x)<0,则f(x)在(a,+∞)上单调递减……(5分)综上:当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递增,f(x)在(a,+∞)上单调递减.……(6分)(2)由(1)得:fxₘₐₓ=f要证：f(x)<-3a+2,即证：alna-a²+2a-2<0即证：lna-a-2a令a=lna-a-当0<a<2时,g'(a)>0,则g(a)在(0,2)上单调递增;当a>2时,g'(a)<0,则g(a)在(2,+∞)上单调递减;…………(11分)文科数学答案第3页共4页所以，g(a)max=g(2)=ln2-1<0,从而命题得证.…(12分)(二)选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22.(1)设P(x,y),由于P点满足(OP=3OM,所以M由于点M在C₁上，所以x3=cos整理得C₂的参数方程x=3cosα,y=3+3sinα,(α(2)曲线C₁的参数方程转换为极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C₂的参数方程转换为极坐标方程为ρ=6sinθ，直线y=33x所以ρ=2sinθ,θ=π6………(7分)同理ρ=6sinθ,θ=π6,故|AB|=|ρA-23.(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|+|x+1|≥3x≥12,2x-1+x+1≥3,,或-1<x<…(3分)即x≥12,x≥1,或-1<x<12故x≥1或x≤-1.·……(5分)(2)由题得:|a-1|≥f(x)min,………(6分)当a=-12时,fxmin=f当a>-12时可知fxmin=f12=1当a<-12时同理fxmin=f12=12综上，a的取值范围为(a≤14.1.1.【答案】【解析】【分析】根据等式的解集在数轴上的表示方法即可得．【详解】解：由数轴图得：，故选：C．【点睛】本题考查了利用数轴表示等式的解集，熟练掌握等式的解集在数轴上的表示方法是解题关键．2.【答案】D【解析】【分析】先计算的值为3，再利用方根的定义即可得到结果．【详解】∵=3，∴的方根是±．故选D．【点睛】此题考查了方根，及算术方根，解决本题的关键是先求得的值.3.【答案】B【解析】【分析】由a∥b，利用“两直线行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，再利用对顶角相等即可得出∠2的度数．【详解】∵a∥b，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣110°=70°，∴∠2=∠3=70°．故选：B．

【点睛】此题主要考查行线及对顶角的性质，熟练掌握，即可解题.4.【答案】A【解析】【分析】扇形统计图表示的是部分在体中所占的百分比，但一般能直接从图中得到具体的数据；频数分布直方图，清楚显示在各个同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数差别．条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；折线统计图表示的是事物的变化情况；【详解】解：根据题意得：要求直观反映空气的组成情况，即各部分在体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选：A．【点睛】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，频数分布直方图各自的特点．掌握它们的特点是解题的关键．5.【答案】A【解析】【分析】根据行线的判定与性质逐项判断即可得．【详解】解：，，选项B正确；，，选项C、D均正确；根据已知条件无法证出，选项A错误；故选：A．【点睛】本题考查了行线的判定与性质，熟练掌握行线的判定与性质是解题关键．6.【答案】D【解析】【分析】利用方程组中的第二个方程减去第一个方程即可得．【详解】解：，由②①得：，即，故选：D．【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．7.【答案】D【解析】【分析】根据已知点的坐标建立面直角坐标，由此即可得出答案．【详解】解：由题意，建立面直角坐标系如下（每个方格的长度即为单位长度1）：则表示吴起镇会师的点的坐标为，故选：D．【点睛】本题考查了求点坐标，正确建立面直角坐标系是解题关键．8.【答案】A【解析】【分析】根据“用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竹竿，就比竹竿短5尺”建立方程组即可．【详解】解：由题意，列方程组为，故选：A．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，正确找出等量关系是解题关键．9.【答案】B【解析】【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得．【详解】解：大正方形的边长为，，，即，又，，，，，与最接的整数是4，即大正方形边长最接的整数是4，故选：B．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．10.【答案】B【解析】【分析】先求出两个等式的解集，再逐个分析即可得．【详解】解：解等式得：，解等式得：，如果，那么等式组的解集是，即说法①正确；如果等式组的解集是，那么，即说法②正确；如果等式组的整数解只有，那么，则说法③错误；如果等式组无解，那么，即说法④正确；综上，所有正确说法的序号是①②④，故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次等式组，熟练掌握等式组的解法是解题关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.【答案】45【解析】【分析】根据邻补角的定义即可得．【详解】解：，的邻补角的度数为，故答案为：45．【点睛】本题考查了邻补角，熟定义是解题关键．12.【答案】同位角相等，两直线行【解析】【分析】根据行线的判定即可得．【详解】解：由图可知，画图的依据是同位角相等，两直线行，故答案：同位角相等，两直线行．【点睛】本题考查了行线的判定，熟练掌握行线的判定方法是解题关键．13.【答案】1或5【解析】【分析】根据点到坐标轴的距离的定义可得一个关于的绝对值方程，解方程即可得．【详解】解：由题意得：，即或，解得或，故答案为：1或5．【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握理解点到坐标轴的距离的定义是解题关键．14.【答案】（答案唯一）【解析】【分析】根据假命题的定义、等式的性质即可得．【详解】解：要使得命题“如果，那么”是假命题，则由等式的性质得：只需是正数即可，因此，这个值可是，故答案为：（答案唯一）．【点睛】本题考查了命题、等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．15.【答案】①.②.130（答案唯一，在大于等于120且小于135内的数值均可）【解析】【分析】（1）根据白天的小型车收费标准列出运算式子，进行计算即可得；（2）先根据离开缴费15元可得出他是在之间某个间点离开的，再根据白天收费标准列出式子即可得．【详解】解：（1）如果他离开，那么收费标准白天的首小内为准，且为3个计单位，因此，应缴费为（元），故答案为：；（2）如果他在离开，则应缴费为，如果他在离开，则应缴费为，因此，他是在之间某个间点离开的，因为，所在白天的首小后为收费标准内，他停留了4个计单位，即（分钟），设停车的长为分钟，因为足一个计单位收取费用