习题课4-“函数与导数”压轴大题的3大难点问题

阶段综合·融会建模习题课4——“函数与导数”压轴大题的3大难点问题难点一隐零点问题在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．[解题观摩](1)当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，lna)，单调递增区间是(lna，＋∞)．(解答过程略)(2)由题设可得(x－k)(ex－1)＋x＋1>0，又h(α)＝eα－α－2＝0，所以eα＝α＋2且α∈(1,2)，则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2,3)，所以k的最大值为2.[反思领悟]本题的关键就是利用h(x)＝ex－x－2及h(1)<0，h(2)>0确定h(x)的隐零点，从而作出判断．难点二极值点偏移问题在近几年的高考中，极值点偏移问题常作为压轴题出现，题型复杂多变，面对此类问题时常会感到束手无策．事实上，只要掌握这类问题的实质，巧妙消元、消参、构造函数，问题便能迎刃而解．1．极值点偏移的含义若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示.2.函数极值点偏移问题的题型极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式：(1)若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；(2)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；[典例]已知函数f(x)＝lnx－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2).证明：x1x2>e2.[解题观摩]法二：抓极值点构造函数

由题意，函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，即f(x1)＝f(x2)＝0，易知lnx1，lnx2是方程x＝aex的两根．设t1＝lnx1，t2＝lnx2，g(x)＝xe－x，则g(t1)＝g(t2)，从而x1x2>e2⇔lnx1＋lnx2>2⇔t1＋t2>2.下证：t1＋t2>2.由0<t1<1<t2，得1－t1∈(0,1)，所以g[1＋(1－t1)]＝g(2－t1)>g[1－(1－t1)]＝g(t1)＝g(t2)，即g(2－t1)>g(t2)，又2－t1，t2∈(1，＋∞)，且g(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以2－t1<t2，所以t1＋t2>2，即x1x2>e2.[反思领悟]上述解题过程就是解决极值点偏移问题的最基本的方法，共有四个解题要点：(1)求函数g(x)的极值点x0；(2)构造函数F(x)＝g(x0＋x)－g(x0－x)；(3)确定函数F(x)的单调性；(4)结合F(0)＝0，确定g(x0＋x)与g(x0－x)的大小关系．法三：巧抓“根差”——s＝Δt＝t2－t1构造函数

由题意，函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，即f(x1)＝f(x2)＝0，易知lnx1，lnx2是方程x＝aex的两根．设t1＝lnx1，t2＝lnx2，设g(x)＝xe－x，则g(t1)＝g(t2)，从而x1x2>e2⇔lnx1＋lnx2>2⇔t1＋t2>2.下证：t1＋t2>2.即证2s＋(s－2)(es－1)>0.②令G(s)＝2s＋(s－2)(es－1)(s>0)，则G′(s)＝(s－1)es＋1，G″(s)＝ses>0，故G′(s)在(0，＋∞)上单调递增，所以G′(s)>G′(0)＝0，从而G(s)在(0，＋∞)上单调递增，所以G(s)>G(0)＝0，所以②式成立，故t1＋t2>2，即x1x2>e2.[反思领悟]该方法的关键是巧妙引入变量s，然后利用等量关系，把t1，t2消掉，从而构造相应的函数，转化所证问题．其解题要点为：(1)取差构元：记s＝t2－t1，则t2＝t1＋s，利用该式消掉t2.(2)巧解消参：利用g(t1)＝g(t2)，构造方程，解之，利用s表示t1.(3)构造函数：依据消参之后所得不等式的形式，构造关于s的函数G(s)．(4)转化求解：利用导数研究函数G(s)的单调性和最小值，从而证得结论．

故当x∈(0,1)时，h″(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h″(x)>0，∴h′(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故h′(x)>h′(1)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数．又h(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，h(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，∴当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞