人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（重难点题型精讲）（教师版）

专题6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（重难点题型精讲）1．分类加法计数原理(1)分类加法计数原理的概念完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.

概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有SKIPIF1<0种不同的方法，在第2类方案中有SKIPIF1<0种不同的方法，SKIPIF1<0，在第n类方案中有SKIPIF1<0种不同的方法，那么完成这件事共有N=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0种不同的方法.

(2)分类加法计数原理的特点

分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用第一类有SKIPIF1<0种方法，第二类有SKIPIF1<0​​​​​​​种方法，，第n类有SKIPIF1<0​​​​​​​​​​​​​​种方法，来表示分类加法计数原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0种不同方法可以完成这件事.(3)分类的原则

分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.2．分步乘法计数原理(1)分步乘法计数原理的概念

​​​​​​​完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.

概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有SKIPIF1<0种不同的方法，做第2步有SKIPIF1<0种不同的方法，SKIPIF1<0，做第n步有SKIPIF1<0种不同的方法，那么完成这件事共有N=SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0种不同的方法.

(2)分步乘法计数原理的特点

分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“SKIPIF1<0”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共有SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0种不同的方法可以完成这件事.

(3)分步的原则

①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事；

②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤.

③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏.3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析(1)联系

分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.

(2)区别

分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区别如下表：(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用.【题型1分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析】【方法点拨】根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理的概念，进行判断，即可得解.【例1】（2022·高二课时练习）判断正误（1）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(错误)（2）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(正确)【解题思路】利用分步乘法计数原理的定义，判断即可．【解答过程】（1）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤是不能完成这件事的，故错误；（2）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故正确.【变式1-1】在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．错（判断对错）【解题思路】利用分类加法计数原理的定义判断即可．【解答过程】解：分类加法计数原理：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．所以在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法不相同．故答案为：错．【变式1-2】（2022·高二课时练习）判断正误（1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(正确)（2）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(错误)【解题思路】利用分类加法计数原理的定义判断即可．【解答过程】（1）在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这件事，故正确；（2）在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，所以两类不同方案中的方法不可以相同，故错误.【变式1-3】（2021•概率统计模拟）判断下列各事件哪些是运用分类计数原理计数（1）（3）．（1）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书，从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放，有2本不同的英语书；从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，假定火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？【解题思路】直接利用分类计数原理，即可得出结论．【解答过程】解：分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．（1）完成从书架上任取一本书，每取一本，都能完成这件事，故运用分类计数原理计数；（2）从书架上任取三本书，其中数学书，语文书，英语书各一本，完成这件事需要3步，故运用分步计数原理计数；（3）完成地到乙地，有3类办法，每一类中办法都能完成这件事，故运用分类计数原理计数．故答案为：（1）（3）．【题型2分类加法计数原理的应用】【方法点拨】应用分类加法计数原理解题的一般思路：一、分类：将完成一件事的方法分成若干类；二、分步：求出每一类中的方法数；三、结论：将每一类的方法数相加，得出结果.【例2】（2022秋·辽宁葫芦岛·高二期中）某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（

）A．40种 B．20种 C．15种 D．11种【解题思路】根据分类加法计数原理，即可得到答案.【解答过程】根据分类加法计数原理，不同的选法共有4+5+2=11种．故选：D.【变式2-1】（2022·高二课时练习）某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为（

）A．27 B．24 C．18 D．16【解题思路】根据题意，甲不可预约C医院，则甲可预约A，B两家医院，分若甲预约A医院，乙预约A医院；若甲预约A医院，乙预约B或C医院；③若甲预约B医院，乙预约A或C医院；若甲预约B医院，乙预约B医院，四种情况，即可求解.【解答过程】由题意，甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗，即甲不可预约C医院，则甲可预约A，B两家医院，①若甲预约A医院，乙预约A医院，则丙可预约B，C医院，共2种情况；②若甲预约A医院，乙预约B或C医院，则丙可预约A，B，C医院，共2×3＝6种情况；③若甲预约B医院，乙预约A或C医院，则丙可预约A，B，C医院，共2×3＝6种情况；④若甲预约B医院，乙预约B医院，则丙可预约A，C医院，共2种情况，所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为2+6+6+2=16种．故选：D．【变式2-2】（2022·高二课时练习）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i<j<k≤12，若k−j=3且j−i=4，则称ai，aj，ak为大三和弦；若k−j=4且j−i=3，则称ai，aA．5 B．8 C．10 D．15【解题思路】由大三和弦满k−j=3，j−i=4，列举出i和j的取值；小三和弦满足k−j=4，j−i=3，列举出i和j的取值；进而可得答案．【解答过程】根据题意可知，大三和弦满k−j=3，j−i=4，所以有5种情况，即i=1，j=5，k=8；i=2，j=6，k=9；i=3，j=7，k=10；i=4，j=8，k=11；i=5，j=9，k=12．小三和弦满足k−j=4，j−i=3，所以有5种情况，即i=1，j=4，k=8；i=2，j=5，k=9；i=3，j=6，k=10；i=4，j=7，k=11；i=5，j=8，k=12．故大三和弦与小三和弦个数之和为5+5=10，故选:C．【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（

）A．7 B．9 C．10 D．13【解题思路】根据各位数字之和等于6的所有可能情况，①1，1，4，②1，2，3，③2，2，2三种情况分别讨论求和即可【解答过程】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222．∴共有3+6+1=10个，故选：C．【题型3分步乘法计数原理的应用】【方法点拨】应用分布乘法计数原理解题的一般思路：一、分步：将完成一件事的过程分成若干步；二、计数：求出每一步中的方法数；三、结论：将每一步中的方法数相乘，得出结果.【例3】（2023·全国·高二专题练习）某省新高考采用“3+1+2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（

）A．4种 B．6种 C．8种 D．12种【解题思路】应用分步乘法求小明选择方案的方法数.【解答过程】根据题意，分2步进行分析：①小明必选化学，则须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有3×2=6（种）．故选：B.【变式3-1】（2023·高二课时练习）如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（

）．A．180 B．160 C．96 D．60【解题思路】按照①→②→③→④的顺序，结合乘法计数原理即可得到结果.【解答过程】首先对①进行涂色，有5种方法，然后对②进行涂色，有4种方法，然后对③进行涂色，有3种方法，然后对④进行涂色，有3种方法，由乘法计数原理可得涂色方法种数为5×4×3×3=180种，故选:A.【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则复合这些要求的不同着色的方法共有（

）ABCDEA．500种 B．520种 C．540种 D．560种【解题思路】由于规定一个区域只·涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B区有4种涂法，C区有3种，D区有3种，E区有3种，根据乘法原理即可.【解答过程】先涂A，则A有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法，同理C有3种涂法，D有3种涂法，E有3种涂法，由分步乘法计数原理可知，复合这些要求的不同着色的方法共有为5×4×3×3×3＝540，故选：C.【变式3-3】（2022·高二单元测试）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数的个数有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【解题思路】根据已知条件得出阳数和阴数，结合列举法及分步乘法计数原理即可求解.【解答过程】根据题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数的组合可以为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有5×4×6=120（个）.故选:A.【题型4两个原理的综合应用】【方法点拨】(1)“类中有步”计数问题：完成一件事有几类方案，每一类方案中分若干步，利用分步乘法计数原理求出每一类方案中的方法数，再利用分类加法计数原理把各类方案的方法数相加，即可得出结果.(2)“步中有类”计数问题：完成一件事的过程分成若干步，完成每一步的方法分成若干类，利用分类加法计数原理求出完成每一步中的方法数，再利用分步乘法计数原理把每一步的方法数相乘，即可得出结果.【例4】（2022春·湖北十堰·高二阶段练习）某校高二年级举行健康杯篮球赛，共20个班级，其中1、3、4班组成联盟队，2、5、6班组成联盟队，一共有16支篮球队伍，先分成4个小组进行循环赛，决出8强（每队与本组其他队赛一场），即每个组取前两名（按获胜场次排名，如果获胜场次相同的就按净胜分排名）；然后晋级的8支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，淘汰赛第一轮先决出4强，晋级的4支队伍要决出冠亚军和第三、四名，同时后面的4支队伍要决出第五至八名，则总共要进行篮球赛的场次为（

）A．32 B．34 C．36 D．38【解题思路】利用分类加法原理以及分步乘法原理，可得答案.【解答过程】在循环赛阶段，4个小组，每个小组由4支球队组成，每个球队都要进行三场比赛，故每组要进行3×4÷2=6场，4组要进行4×6=24场；在淘汰赛阶段，第一轮：8支球队，2支一场，则共进行8÷2=4；第二轮：8支球队，2支一场，共进行8÷2=4场，此时决出分别争夺冠亚军、第三四名、第五六名、第七八名的球队，再分别进行4场，决出冠军、亚军、第三名、第四名、第五名、第六名、第七名、第八名.综上，可得共进行24+4+4+4=36场.故选：C.【变式4-1】（2022·高二课时练习）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（

）．A．80种 B．120种 C．160种 D．240种【解题思路】由题意，按照一定顺序，由1,2,3,5的顺序，在5号区域的选择上进行分情况，根据分类加法原理和分步乘法原理，可得答案.【解答过程】第一步，对1号区域，栽种有4种选择；第二步，对2号区域，栽种有3种选择；第三步，对3号区域，栽种有2种选择；第四步，对5号区域，栽种分为三种情况，①5号与2号栽种相同，则4号栽种仅有1种选择