人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题7.12 随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇）（教师版）

第七章随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022春·河北唐山·高二期中）给出下列各量：①某机场候机室中一天的游客数量；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；③某同学离开自己学校的距离；④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；⑤体积为8m3其中是离散型随机变量的是（

）A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④【解题思路】由离散型随机变量的概念逐个判断即可得解.【解答过程】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，⑤中体积为8m3故选：A.2．（5分）（2023春·河南焦作·高二开学考试）某班学生的一次数学考试成绩ξ（满分：100分）服从正态分布N85,σ2，且P(83<ξ≤87)=0.3,P(78<ξ≤83)=0.26，则P(ξ≤78)=A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09【解题思路】先计算P(ξ≤83)=0.35，再结合P(ξ≤78)=P(ξ≤83)−P(78<ξ≤83)计算即可.【解答过程】∵83+872=85，∴∴P(ξ≤78)=P(ξ≤83)−P(78<ξ≤83)=0.35−0.26=0.09．故选：D.3．（5分）（2022·浙江·模拟预测）若离散型随机变量X，X~B(5,p)，且E(X)=103，则PX≤2A．19 B．427 C．17【解题思路】根据二项分布的期望公式及二项分布的概率公式即得.【解答过程】因为X~B(5,p)，所以EX=np=10所以P=51故选：C.4．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X满足E(2X+3)=7, D(2X+3)=16，则下列选项正确的是（A．E(X)=72C．E(X【解题思路】由数学期望与方差的性质求解【解答过程】E(2X+3)=2E(X)+3=7，得E(D(2X+3)=4D(X)=16，得D(故选：B.5．（5分）（2023春·河南焦作·高二开学考试）已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件A1,A2表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则A．512 B．55144 C．25【解题思路】由题意可求出PA【解答过程】由题意知，PA所以P=3故选:B.6．（5分）（2022春·河南三门峡·高二阶段练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（

）A．15 B．25 C．3【解题思路】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．【解答过程】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C故选：D．7．（5分）（2022·高二课时练习）已知事件A，B，且P(A)=13,P(B|A)=15,P(B|AA．35 B．13 C．1【解题思路】结合条件概率公式，由P(B|A)=15⇒PAB=【解答过程】由题意，P(A)=13,P(B|A)=所以P(B|A所以PB故选：B.8．（5分）（2023·高三课时练习）已知随机变量ξiξ012P1p2若0<p1<12<p2<23，则（

）A．E(ξ1)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<【解题思路】通过计算期望和方差来求得正确答案.【解答过程】E(ξE(ξ由于p1<pD(=p1−同理可得D(ξD(ξ所以D(ξ故选：A.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知三个正态密度函数φix=A．μ1<μ2=μC．μ1=μ2<μ【解题思路】根据正态幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】由正态密度函数φ2x和φ3又由φ2x的图像的对称轴在φ1因为σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象知知正态密度函数φ1x和φ2从而可知σ1故选：ABC.10．（5分）（2022春·浙江宁波·高二期中）下列结论正确的是（

）A．若随机变量X服从两点分布，PX=1=B．若随机变量ξ服从二项分布B4,1C．若随机变量ξ服从二项分布B4,1D．若随机变量Y的方差DY=2【解题思路】根据两点分布，二项分布的方差公式判断A，B，根据方差的性质判断D，根据二项分布的性质判断C.【解答过程】若随机变量X服从两点分布，PX=1=1若随机变量ξ服从二项分布B4,12若随机变量ξ服从二项分布B4,12若随机变量Y的方差DY=2，则故选：BC.11．（5分）（2023春·河北邯郸·高三开学考试）设A，B是两个随机事件，且0<P(A)<1,0<P(B)<1，若B发生时A必定发生，则下列结论错误的是（

）A．P(A+B)=P(B) B．P(C．P(AB)=1【解题思路】根据B发生时A必定发生，得到B⊆A，故A+B=A,AB=B，从而得到P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B)，AD错误；结合条件概率判断出B错误，C正确.【解答过程】由题意，B⊆A，所以A+B=A,AB=B，所以P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B)，则A，D错误；P(B|A)=P(AB)P(A|B)=P(AB)故选：ABD.12．（5分）（2022春·吉林·高二期中）袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（

）A．抽取2次后停止取球的概率为3B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为9C．取球次数X的期望为2D．取球次数X的方差为9【解题思路】设取球次数为X，可知随机变量X的可能取值有1、2、3，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可判断出A选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为PX=1+PX=2【解答过程】设取球次数为X，可知随机变量X的可能取值有1、2、3，则PX=1=35，对于A选项，抽取2次后停止取球的概率为PX=2对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为PX=1对于C选项，取球次数X的期望为EX对于D选项，取球次数X的方差为DX故选：BD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知随机变量ξ服从正态分布N1,σ2，若P(|ξ|≤1)=0.35，则【解题思路】根据正态分布的对称性求出P(ξ>3)=0.5−P−1≤ξ≤1【解答过程】由题意得：P|ξ|≤1根据对称性可知：P(ξ>3)=P(ξ<−1)=0.5−P−1≤ξ≤1故答案为：0.15.14．（5分）（2022春·山西吕梁·高二期中）设随机变量ξ服从二项分布Bn,p，若Eξ=1.2，Dξ=0.96，则实数n的值为【解题思路】结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．【解答过程】由题意可得，np=1.2np(1−p)=0.96，解得p=0.2,n=6故答案为：6．15．（5分）（2023秋·上海·高二考期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为14.事件A表示小明第一关闯关成功，事件C表示小明第三关闯关成功，则PC【解题思路】设事件B表示小明第二关闯关成功，由条件概率计算公式可得答案.，【解答过程】设事件B表示小明第二关闯关成功，由题意PA=3所以PC|A故答案为：1316．（5分）（2022春·浙江绍兴·高二期中）学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为14，设他参加一次答题活动得分为ξ，则Dξ=15【解题思路】求出ξ的可能取值及相应的概率，求出期望值，进而求出方差.【解答过程】ξ的可能取值为5,4,3,2Pξ=5=14×Pξ=2则Eξ则D故答案为：1516四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·高二课时练习）已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(B∩A)=0.1，求：(1)P(B(2)P(A【解题思路】（1）根据条件概率公式计算即可得出答案.（2）根据条件概率公式计算即可得出答案.【解答过程】(1)解：因为P(A)=0.5,P(B∩A)=0.1，所以P(B(2)解：因为P(B)=0.3,P(B∩A)=0.1，所以P(A18．（12分）（2023·高二课时练习）设随机变量X的概率分布PX=k6(1)求常数a的值；(2)求PX≥23【解题思路】（1）（2）由分布列的性质求解即可；【解答过程】（1）解：由a+2a+3a+4a+5a+6a=1，得a=1（2）解：由题知：PX≥P219．（12分）（2022·全国·高三专题练习）某地区3000名高三学生在某次模拟考试中的总分X服从正态分布N550,(1)求P500≤X≤650(2)试估计该地区3000名高三学生中，总分X落在区间600,700的人数.参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ【解题思路】（1）利用3σ原则可求得P500≤X≤650（2）利用3σ原则计算出P600<X≤700，乘以3000【解答过程】（1）解：由已知μ=550，σ=50，则500=μ−σ，650=μ+2σ，所以，P=1（2）解：∵600=μ+σ，700=μ+3σ，所以，P=1∵3000×0.1573≈471.9，所以，该地区3000名高三学生中，总分X落在区间600,700的人数约为472.20．（12分）（2022秋·西藏林芝·高三阶段练习）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：(1)求X的分布列；(2)求EX【解题思路】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解.【解答过程】（1）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为12所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数X∼B4,1即PX=0=116,

PX=1PX=3=14

X的分布列如下:X01234P11311（2）∵X∼B4,∴EX21．（12分）（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．【解题思路】（1）设Ai表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.【解答过程】（1）设Ai表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；CP=PA1P（2）P=122．（12分）（2023秋·江苏南京·高二期末）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为2(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射