2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析

2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷

（A卷）

一、选一选（每小题3分，共30分）

1.方程/+6》-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）

A.（X+3）2=14B.（X-3）2=14C.（X+6>=；D.以上答案

都没有对

2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所

示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为为cm,那么x满足的方程是（）

A.N+130x-1400=0B.x2+65x-350=0

C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0

3.如罔，在Rtz^ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AABZC'可以由aABC绕点A顺时针

旋转90°得到（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点），连接CC',则NCC'B'

的度数是（）.

（第8题图）

A.45°B.30°C.25°D.15

4.下列图形中，是对称图形的是（）

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5.如图，A,B,C是00上三个点,NA0B=2/B0C,则下列说法中正确的是（）

A.Z0BA=Z0CAB.四边形0ABC内接于190C..AB=2BC

D.ZOBA+ZBOC=90°

6.在平面直角坐标系中，以点（3,2）为圆心、2为半径的圆，一定（）

A.与x轴相切，与y轴相切B.与x轴相切，与夕轴相离

C.与x轴相离，与y轴相切D.与x轴相离，与y轴相离

7.某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球,

若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜.则当x=（）

时，游戏对甲乙双方公平.

A.3B.4C.5D.6

8.已知二次函数y=ax2+bx+c（a#0）的图象如图，有下列5个结论：①abc<0；②3a+c>0；

③4a+2b+c>0；④2a+b=0；⑤b?>4ac其中正确的结论的有（）

9.如图，已知AB=12,点C,D在AB上，且AC=DB=2,点P从点C沿线段CD向点D运动

（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰RtAAPE和等腰RtAPBF,连接

EF,取EF的中点G,下列说法中正确的有（）

①4EFP的外接圆的圆心为点G：②四边形AEFB的面积没有变；

③EF的中点G移动的路径长为4：@AEFP的面积的最小值为8.

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F

G

E

ACPDD

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，二次函数尸ax?+bx+c（a，0）的图象点（-1,2）,且与x轴交点的横坐标分别为xi、

X2,其中0<X2<1>下列结论：①4a-2b+c<0；@2a-b<0；③a<-1；@b2+8a

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.方程ax2+x+l=0有两个没有等的实数根，则a的取值范围是.

12.如图，。。中，弦/B=3,半径BO=5C是上一点且/C=l,点尸是0。上一动点,

连PC,则PC长的最小值是.

13.将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2,第二与第四组

的概率之和是0.25,那么第三组的概率是.

14.挂钟分针的长10cm,45分钟，它的针尖转过的弧长是cm

15.在平面直角坐标系中，二次函数y尸ax2+bx+c（a>0）与函数y2=ax+c的图像交于/、B两点,

已知8点的横坐标为2,当yi<y2时，自变量x的取值范围是____.

16.在平面直角坐标系中，将抛物线Ci：y=x2绕点（1,0）旋转180。后，得到抛物线C2,定义

抛物线Ci和C2上位于-2«xW2范围内的部分为图象C3.若函数y=kx+k-1（k>0）的图象与

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图象C3有两个交点，则k的范围是：

三、解答题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10

分，共72分）

17.解方程：(x-3)(x-l)=3.

18.如图，正方形网格中，△月8c为格点三角形（顶点都是格点），将△ZBC绕点N按逆时针方

向旋转90。得到△X8iG.

（1）在正方形网格中，作出△N8iG；（没有要求写作法）

（2）设网格小正方形的边长为1cm,用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求

出它的面积.（结果保留兀）.

19.课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任

对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A.,B.良好，C.一般，D.较

差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图.

（1）本次的样本容量是一;其中A类女生有一名，D类学生有一名；

（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；

（3）若从被的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅

导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男

同学的概率.

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20.已知关于x的一元二次方程x?+（2m-l）x+m2-4=0

（1）当m为何值时，方程有两个没有相等的实数根？

（2）若边长为屈的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值.

21.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的

售价每上涨1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润

为y元.

（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？

（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？

22.如图，在48c中，ZACB=9Q°,NB=30。,将A48C绕点C按照顺时针方向旋转

加度后得到ADEC，点。刚好落在边上.

（2）若尸是OE的中点，判断四边形ZCED的形状，并说明理由.

23.如图，AB是00的直径，0D垂直于弦AC于点E,且交00于点D,F是BA延长线上一点,

若NCDB=NBFD.

（1）求证：FD是00的一条切线；

24.如图1在平面直角坐标系中.等腰RtAOAB的斜边OA在x轴上.P为线段OB上-动点

（没有与O,B重合）.过P点向x轴作垂线.垂足为C.以PC为边在PC的右侧作正方形

PCDM.0P=J5t,OA=3.设过O,M两点的抛物线为y=ax2+bx.其顶点N（m,n）

（1）写出t的取值范围___,写出M的坐标：（____,____）；

（2）用含a,t的代数式表示b；

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(3)当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时(如图2)

①求t的值;

②若N在^OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围.

I图1图2

25..如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A,B两

点，点P在优弧标上.

(1)求出A,B两点的坐标：

(2)试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；

(3)在该抛物线上是否存在一点D,使线段0P与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；

若没有存在，请说明理由.

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2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷

（A卷）

一、选一选（每小题3分，共30分）

1.方程/+6》-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）

A.（X+3）2=14B.（X-3）2=14C.（X+6>=；D.以上答案

都没有对

【正确答案】A

【分析】先变形得到/+6尸5,再把方程两边加上9得*+6x+9=5+9,然后根据完全平方公式得

到（x+3）2=14.

【详解】先移项得炉+6-5,方程两边加上9得：/+6x+9=5+9,所以（x+3）2=14.

故选A.

本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x+机）鼻力的形式，再利用直接开平

方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所

示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）

A.N+130X-1400=0B.x2+65x-350=0

C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0

【正确答案】B

【分析】先用x表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于X的方程.

【详解】解：由题意可知：挂图的长为（80+2x）cm,宽为（50+2x）cvn,

（80+2A-）（50+2x）=5400,

化简得:x2+65x-350=0,

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故选：B.

本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题

的关键.

3.如罔，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,ZB=60°,AABZC'可以由AABC绕点A顺时针

旋转90°得到（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点），连接CC',则NCC'B'

的度数是（）.

（第8即图）

A.45°B.30°C.25°D.15°

【正确答案】D

【分析】旋转为点A,C、C为对应点，可知AC=ACQ又NCAO90。，根据△CAC是等腰直

角三角形的性质解题.

【详解】由旋转的性质可知，AC=AC,

又NCAC=90。，可知aCAC为等腰直角三角形，

；.NCC'A=45°.

VNCC'B'+NACC'=NAB'C'=NB=60°,

；.NCCB=15。.

故选D.

4.卜列图形中，是对称图形的是（）

【正确答案】D

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

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么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案.

【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；

B、没有是对称图形，故此选项错误；

C、没有是对称图形，故此选项错误；

D、是对称图形，故此选项正确；

故选D.

本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义.

5.如图，A,B,C是。O上三个点,NAOB=2NBOC,则下列说法中正确的是（）

A.ZOBA=ZOCAB.四边形OABC内接于00C.,AB=2BC

D.ZC)BA+ZBOC=90°

【正确答案】D

【详解】试题解析：过。作0DUB于。交。于E,

则崩=废:，

AE=BE,NAOE=NBOE=-NAOB,

2

,/ZA0B=2ZB0C,

NAOE=NBOE=NBOC,

^AE=BE=BC，

；.AE=BE=BC,

C.2BOAB,故C错误；

"OA=OB=OC,

NOBA=12(180°-ZAOB)=90°-NBOC,

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13

ZOCA=-（l80。-N4OC）=90,--NBOC,

：.ZOBA^ZOCA,故A错误；

•.•点Z,B,C在QO上，而点。是圆心，

二四边形0/3。没有内接于O，故B错误；

ZBOE=NBOC=-NAOB,

2

NBOE+NOBA=90",

ZOBA+ZBOC=90\故力正确；

故选D.

点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.

6.在平面直角坐标系中，以点（3,2）为圆心、2为半径的圆，一定（）

A.与x轴相切，与歹轴相切B.与x轴相切，与y轴相离

C.与X轴相离，与y轴相切D.与X轴相离，与y轴相离

【正确答案】B

【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等

于半径时，则坐标轴与该圆相切.

【详解】•.•是以点（2,3）为圆心，2为半径的圆，

则有2=2,3>2,

.•.这个圆与x轴相切，与y轴相离.

故选B.

本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质.直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径;

与圆相离，直线到圆的距离大于半径.

7.某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球，

若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜.则当x=（）

时，游戏对甲乙双方公平.

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】B

【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可.

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2x_20-x-2x

【详解】解：根据题意得:即2x=20-x-2x,

20~20~

解得：x=4.

故选B.

此题考查了游戏的公平性，以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个的概率，概率相等就

公平，否则就没有公平.

8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a，0)的图象如图，有下列5个结论：@abc<0；②3a+c>0；

③4a+2b+c>0；④2a+b=0；⑤b?>4ac其中正确的结论的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】D

【详解】①由开口向下，可得a<0,又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c>0,然后由对称轴

在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b>0,abc〈0,故①正确；

②当x=-2时，y<0>即4a-2b+c<0(1),

当x=l时，y<0,即a+b+c<0(2),

(1)+(2)x2得：6a+3c<0,

即2a+c<0,

又：a<0,

•*.a+(2a+c)=3a+c<0,

故②错误；

③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴

右侧的交点的横坐标介于2与3之间，所以4a+2b+c>0,故③正确；

L

④根据对称轴为x=l,可得----=1,所以2a+b=0,故④正确；

2a

⑤由抛物线与x轴有两个交点，可得b24ac>0,BPb2>4ac,故⑤正确；

综上可知，正确的有4个，

故选D

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本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数产ax2+bx+c(a/0)系数符号由抛物线开口

方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

9.如图，已知AB=12,点C,D在AB上，且AC=DB=2,点P从点C沿线段CD向点D运动

(运动到点D停止)，以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰RSAPE和等腰RtZkPBF,连接

EF,取EF的中点G,下列说法中正确的有()

①AEFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；

③EF的中点G移动的路径长为4；@AEFP的面积的最小值为8.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】B

【详解】试题解析：如图，分别延长』E、BF交于点、H.

H

入

八卜

//\F

AcpDB

:等腰Rt"PE和等腰RtAPSF,

ZA=NFPB=45°,N8=NEPA=45°,

AH//PF,BH//BE.ZEPF=180°-ZEPA-ZFPB=90S

四边形EPFH为平行四边形，

尸与，尸互相平分.

为E尸的中点，

；.G也为中点，

即在户的运动过程中，G始终为P”的中点，

；.G的运行轨迹为△”8的中位线MN.

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VCZ>=12-2-2=8,

：.MN=4,即G的移动路径长为4.

故③EF的中点G移动的路径长为4,正确；

：G为所的中点,Z.EPF=90°,

.,.①△EFP的外接圆的圆心为点G,正确.

二①③正确.

•••点P从点C沿线段CD向点。运动(运动到点D停止)，易证NEPF=90\所以四边形面积便

是三个直角三角形的面积和，设cp=x,则四边形面积S=―,

.♦•4P没有断增大，

四边形的面积S也会随之变化，故②错误.

④等腰RX^APE和等腰RtAPSF,

NEPF=90°,AP=y[2PE,BP=6PF,

当AP=AC=2时，即PE=立,PF=5JI

S4PEFg=gpE-PF=5,故④错误；

故选B

10.如图，二次函数y=ax?+bx+c(a/0)的图象点(-1,2),且与x轴交点的横坐标分别为xi、

X2,其中1,0<X2<l»下列结论：①4a-2b+c<0；②2a-b<0；③a<-1；@b2+8a

>4ac.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【正确答案】D

【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可

【详解】①4a-2b+c<0；当x=-2时，y=ax2+bx+c,y=4a-2b+c,由可得y<0,故①

正确；

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②2a-b<0；已知x=-2>-1>且a<0,所以2a-b<0,故②正确；

2a

③己知抛物线(-1,2),即a-b+c=2(1),由图知：当x=l时，y<0,即a+b+c<(2),

由①知：4a-2b+c<0(3)；联立(1)(2),得：a+c<l；联立(1)(3)得：2a-c<-4；

Vc<2,则有a<-l,所以③正确

④由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即：妊邑>2,由于a

4a

<0,所以4ac-b2<8a,即b2+8a>4ac,故④正确，

故选D.

本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标

特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键.

二、填空题(每小题3分，共18分)

11.方程ax2+x+l=0有两个没有等的实数根，则a的取值范围是_______.

【正确答案】“<工且a翔

【详解】：方程o?+x+i=o有两个没有等的实数根,

awO1

，解得—且。*0.

△=l2-4a>04

12.如图，00中，弦/8=3,半径80=6，C是48上一点且NC=1,点P是G)。上一动点,

连PC,则PC长的最小值是

【正确答案】V3-1

【详解】试题解析：过点。作于点O,连接OP、0C,

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•：AB=3,

13

，由垂径定理可知：BD=AD=-AB=-,

22

•••BO=6

由勾股定理可知：OD=—,

2

"：AC=1,

：.CD=AD-AC=-,

2

由勾股定理可知：OC=1,

在△OC尸中，由三角形三边关系可知：

POOP-OC,

...当。、C.P三点共线时，PC可取得最小值，

此时尸C=OP—OC=

故答案为、Q-1.

13.将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2,第二与第四组

的概率之和是0.25,那么第三组的概率是.

【正确答案】0.55

【详解】试题分析：根据一组数据总的概率是1,可以得到第三组的概率是多少.

解：由题意可得，

第三组的概率是：1-0.2-0.25=0.55,

故答案为0.55.

14.挂钟分针的长10cm,45分钟，它的针尖转过的弧长是cm

【正确答案】157r.

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njrr

【详解】试题分析•：先求出45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式1=——,

180

求得弧长.

:分针60分钟，转过360。,

/.45分钟转过270°,

则分针的针尖转过的弧长是1=——HTTP=—270X2-X10=15万(cm).

180180

考点：弧长的计算.

15.在平面直角坐标系中，二次函数yi=ax2+bx+c(a>0)与函数y2=ax+c的图像交于4、8两点,

已知8点的横坐标为2,当yi<y2时，自变量x的取值范围是—.

【正确答案】0<x<2

【详解】试题解析：x=0时，尸c,

:•两函数图象的交点/为(0,c),

16.在平面直角坐标系中，将抛物线Ci：y=x2绕点(1,0)旋转180。后，得到抛物线C2，定义

抛物线Ci和C2上位于-2WXW2范围内的部分为图象C3.若函数y=kx+k-1(k>0)的图象与

图象C3有两个交点，则k的范围是：

【正确答案】-2+2血〈仁(或；生=-4亚+6或起15

【详解】试题解析：如图，由题意图象G的解析式为y=-(》-2)2,图象C3是图中两根红线之

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由—2VxK2，则Z（2,4）,8（-2,-16）Q（2,0）.

因为函数产fcv+b1（Q0）的图象与图象C,有两个交点

当直线点A时，满足条件,4=24+4-1,解得％=』，

3

y=x2

②当直线与抛物线G相切时，由，消去歹得到X2—kx—k+l=0,

y=kx+k-l9

VA=0,

F+4Z:-4=0,解得左=—2+2夜或一2-28（舍弃），

观察图象可知当-2+20〈左4g时，直线与图象G有两个交点.

当直线与抛物线G相切时，由［'=一（"一2）消去”得到/一（4—左）》+3+%=0,

y=kx+k-X,

VA=0,

.•.（4一人）2一4（3+左）=0,

解得左=6—4^2或6+（舍弃）,

④当直线点0（2,0）时,0=2〃+%-1,解得A=g,

观察图象可知,;4%-4&+6时，直线与图象C3有两个交点.

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⑤当直线点8（-2,-16）时，-\f）=-2k+k-\,解得Q15,

观察图象可知,％215时，直线与图象G有两个交点.

综上所述，当一2+20<%4：或;W后一40+6或％215时，直线与图象C3有两个交点.

故答案为:-2+2近</42或14人—4加+6或左215.

33

三、解答题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24>25题各10

分，共72分）

17.解方程：（x—3）（x—l）=3.

【正确答案】x,=0,々=4.

【详解】分析：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程.

详解：方程化为/-4―0,

x(x-4)=0,

所以xi=0,X2=4.

点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求

出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

18.如图，正方形网格中，△48C为格点三角形（顶点都是格点），将△48C绕点/按逆时针方

向旋转90。得到△/SG.

（1）在正方形网格中，作出△/8C“（没有要求写作法）

（2）设网格小正方形的边长为1cm,用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求

出它的面积.（结果保留兀）.

【正确答案】（1）作图见解析：（2）图见解析，面积为与（cm?）.

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【分析】(1)根据网格图知：AB=4,BC=3,由勾股定理得，/C=5,作且

作且G/=/C；

(2)阴影部分的面积等于扇形ZCG与△/3C的面积和减去扇形/3以与△4SG，而△48C与

MB4的面积相等，可得阴影部分的面积等于扇形ACCy减去扇形ABBx的面积.

【详解】(1)作图如图：

(2)线段8c所扫过的图形如图所示.

根据网格图知：48=4,BC=3,所以ZC=5,

阴影部分的面积等于扇形ACC\与4ABe的面积和减去扇形ABB\与△48|Ci，

故阴影部分的面积等于扇形ACG减去扇形485的面积，两个扇形的圆心角都90度，

线段BC所扫过的图形的面积S=；不(402_AB2)=^(cm2).

19.课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任

对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A.,B.良好，C.-一般，D.较

差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图.

(1)本次的样本容量是一;其中A类女生有一名，D类学生有一名；

(2)将条形统计图和扇形统计图补充完整；

(3)若从被的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅

导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男

同学的概率.

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【分析】（1）根据B类有6+4=10人，所占的比例是50%,据此即可求得总人数，再求得A类

总人数可得A类女生人数，由各类别人数之和为总人数可得D类人数;

（2）利用（1）中求得的结果及对应人数除以总人数即为其百分比，补全图形即可得;

（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解.

【详解】解：（1）本次的学生数=（6+4）+50%=20（名）,

则A类女生有：20xl5%-l=2（名），D类学生有20-（3+10+5）=2（名）,

故答案为20、2、2；

2+32

(2)C类百分比为——'=25%,D类别百分比为=x=io%,

2020

B

50%

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从域中选取

从俄中选取男女男女男女

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选一位女同

学辅导一位男同学的结果共有2种.

21

所以P(一位女同学辅导一位男同学)=7=7-

63

20.已知关于x的一元二次方程x?+(2m-1)x+m2-4=0

(1)当m为何值时，方程有两个没有相等的实数根？

(2)若边长为J为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值.

17

【正确答案】(1)m<—；(2)m=-3

4

【详解】试题分析：(1)根据方程的系数根的判别式，即可得出△=4〃?+17>0,解之即可得出

结论；

(2)设方程的两根分别为a、b,根据根与系数的关系菱形的性质，即可得出关于的一元二

次方程，解之即可得出〃?的值，再根据a+b=—2加一1>0,即可确定加的值.

试题解析：(1)：方程》2+(2〃?—l)x+〃/—4=0有两个没有相等的实数根，

(2m-I)2-4(m2_4)=-4m+17>0,

17

解得：m<—.

4

17

当加〈下.时，方程有两个没有相等的实数根.

4

(2)设方程的两根分别为a、b,

根据题意得：a+b=-2m+\,ab=m2-4.

•；2a、26为边长为J药的菱形的两条对角线的长，

a2+b2=(a+6)2—2ab=(-2m+1)2-2(zw2-4)=2m2-4m+9=39,

解得：m=-3或加=5.

*.*。>0,Z>>0»

〃+6=-2加+1>0,

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/.阳=一3

若边长为丁药的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为-3.

21.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的

售价每上涨1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元(x为正整数)，每个月的利润

为y元.

(1)当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？

(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？

【正确答案】(1)65或85；(2)当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元.

【详解】试题分析：(1)如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得量为100

-2(x-60),量乘以利润即可得到等式[100-2(x-60)](%-40)=2250,解答即可;

(2)将(1)中的2250换成y即可解答.

试题解析：解：(1)[100-2(x-60)](x-40)=2250,解得：xi=65,x2=85.

(2)由题意：y=[100-2(x-60)](x-40)=-2x2+300.r-8800；

y=-2(x-75)2+2450,当x=75时，y有值为2450元.

答：当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元.

点睛：本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，利润的问题常利函数的增减性来解

答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后实际选择最优.

22.如图，在心A48c中，4c3=90。，NB=30°,将A43C绕点C按照顺时针方向旋转

加度后得到ADEC,点。刚好落在边上.

(1)求加的值；

(2)若尸是。E的中点，判断四边形ZCED的形状，并说明理由.

【正确答案】(1)60°；(2)菱形

【分析】(1)由旋转的性质可得出/C=8,再由三角形的内角和可求出

/4=180°-90°-30°=60。，因此可证出△4C0是等边三角形，得到NZC0=6O°,即可解

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决问题；

（2）根据题意，证明/£）=4。，再证明=C/=Z。，得到工。=。/=CF=NC,即

可解决问题.

【详解】解：（1）由题意可得：4C=CD

ZACB^90°,Z5=30°

ZJ=180o-90o-30°=60°

△48是等边三角形

Am=ZACD=6Q°

（2）•••△O/C为等边三角形

•••AD^AC

,/4B=4D+BD=2AC

：.AD=BD=-AB

2

由题意得：DE=AB,ZDCE=ZACB=90°

是DE的中点

...DF=CF=-DE=-AB

22

AD=DF=CF=AC

四边形/CEO是菱形

本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何

知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键.

23.如图，AB是。。的直径，0D垂直于弦AC于点E,且交。0于点D,F是BA延长线上一点，

若NCDB=NBFD.

(1)求证：FD是00的一条切线；

(2)若AB=10,AC=8,求DF的长.

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【正确答案】（1）证明见解析；（2）—.

3

【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出NFDO=90。，进而得出答案；

（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长.

试题解析：（1）证明：VZCDB=ZCAB,ZCDB=ZBFD,

AZCAB=ZBFD,

・・・FD〃AC,

VZAEO=90°,

・•・NFDO=90。，

・♦.FD是。O的一条切线；

（2）VAB=10,AC=8,DO±AC,

・・・AE=EC=4,AO=5,

・・・EO=3,

VAE/7FD,

/.△AEO^AFDO,

.AEEO

FDDO

・3_4

••—，

5FD

20

解得：FD=—.

3

考点：1.切线的判定；2.垂径定理；3.相似三角形的判定与性质.

24.如图1在平面直角坐标系中.等腰RtAOAB的斜边OA在x轴上.P为线段OB上-动点

（没有与O,B重合）.过P点向x轴作垂线.垂足为C.以PC为边在PC的右侧作正方形

PCDM.0P=J5t,0A=3.设过O,M两点的抛物线为y=ax2+bx.其顶点N（m,n）

（1）写出t的取值范围____,写出M的坐标：（____,____）；

（2）用含a,t的代数式表示b；

（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）

①求t的值；

②若N在40AB的内部及边上，试求a及m的取值范围.

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3l-4at4

【正确答案】(1)0<t<—,M(23t)；(2)b=-----(-3---)①t=l；②一Wm02.

223

【详解】试题分析：

试题解析：(1)如图1,为等腰直角三角形，。4=3,

...08=45=4=逑，

V22

•IP为线段0B上-动点(没有与0,B重合)，

2

3

/.0<Z<一,

2

・・,四边形尸CQM为正方形，

・•・ZPCO=90"，

・・・NPOC=45°,

・••△PO。为等腰直角三角形，

-：OP=y[lt,-'-PC=OC=t,

OD=t+t=2t,

，M(2a)；

⑵把M(2j)代入到y=ax2+bx中得：

t=4—+2tb,

\=4at+2b,

,1-4at

b=--------;

2

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(3)①如图2,OB=—,OP=",

2

.•.。8=还一"，

2

•/PM//OA,

.PMPB

'~OA~~OB'

3立’

2

l-4at1

②由(2)得：b=—--=——2(2,即4。=1-26,

顶点N(-'-,一:)(。〈0,6〉0),

卜ai

i)当0W——W—时，即QW——时，

2a22

--解得

2a4a4

Q111

当一<----V3时，即—<〃<—，

22a28

b2-4b+3<0,

l<h<3,

,1,51

1«—2ci43,—W—9

244

1,1

则riI——<QV——，

24

31

综上所述：。的取值为：—<a<—,

44

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2a4a

),।11

得：4am=4a-l,a=----------=----------

4m-44(1-m)

44（1—⑼4

4

/.—<nt<2.

3

25..如图，在平面直角坐标系中，以点C（1,1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A,B两

点，点P在优弧标上.

（1）求出A,B两点的坐标；

（2）试确定A、B且以点P为顶点的抛物线解析式；

（3）在该抛物线上是否存在一点D,使线段0P与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；

若没有存在，请说明理由.

।22

【正确答案】（1）/（1一百,0）,8（1+省,0）（2）.•.了=一/+2》+2或了=3X2-3》一3（3）

存在。（0,2）使线段OP与CD互相平分

【详解】试题分析：（1）根据垂径定理可得出AH=BH,然后在直角三角形ACH中可求出AH

的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标.

（2）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P

点的坐标为（1,3）.然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式.根据A或B的坐标

即可确定抛物线的解析式.

（3）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形.因此PC平行且相等于OD,

那么D点在y轴上，且坐标为（0,2）.然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是

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否存在这样的点.

试题解析：(1)如图，作CH_LAB于点H,连接OA,0B,

VCH=1,半径CB=2

：.m=y/3,

故A(1-73-0),B(1+73.0).

(2)由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1,3),

设抛物线解析式y=a(x-I)2+3,

把点B(1+6，0)代入上式，解得a=-l；

.'.y=-x2+2x+2.

(3)假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形

；.PC〃OD且PC=OD.

：PC〃y轴，

二点D在y轴上.

又*；PC=2,

；.OD=2,即D(0,2).

又D(0,2)满足y=-x2+2x+2,

；.点D在抛物线上

二存在D(0,2)使线段OP与CD互相平分.

考点：圆的综合题.

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2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学期末专项突破模拟卷

（B卷）

一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）

1.下列四个图形中，没有是对称图形的是（）

bcD

2.下列说法中，正确的是（）

A.没有可能发生的概率是0B.打开电视机正在播放动画片，是必然

C.随机发生的概率是gD.对“梦想的声音”节目收视率的，宜采用

普查

3.如图所示,AB〃CD,BC平分NABD,若NC=40。,则ND的度数为（）

A90°B.100°C.110°D.120°

4.函数y=,中自变量x的取值范围是（）

x

A.x#lB.XHOC.X>0D.全体实数

5.如图，A,B,C,D是。0上的四个点，AD〃BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（）

A.弧AB=MCDB.弧AB>弧CD