人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题7.8 二项分布与超几何分布（重难点题型检测）（教师版）

专题7.8二项分布与超几何分布（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（

）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X【解题思路】根据超几何分布的定义可判断得选项.【解答过程】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布.故选：B.2．（3分）（2022春·山西·高二期末）已知随机变量X∼B(n,p)，若E(X)=1,D(X)=45，则P(X=3)=（A．643125 B．128625 C．1【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解.【解答过程】由E(X)=1,D(X)=45，得np=1,np(1−p)=所以P(X=3)=C故选：D.3．（3分）（2023·全国·高三专题练习）设随机变量X，Y满足：Y=3X−1，X∼B2,p，若PX≥1=59A．3 B．13 C．4 D．【解题思路】由X~B(2,p)，P(X⩾1)=59，求出p值，利用二项分布的方差公式求出【解答过程】由于随机变量X满足：X~B(2,p)，P(X⩾1)=5∴P(x=0)=1−P(X⩾1)=C解得：p=13，即∴D(X)=np(1−p)=2×1又∵随机变量X，Y满足：Y=3X−1，∴D(Y)=3故选：C.4．（3分）（2023·全国·高二专题练习）若X～B(6,12)，则使P(X＝k)最大的kA．2 B．3 C．2或3 D．4【解题思路】求使P(X=k)取最大值的k的值可通过比较P(X=k)和P(X=k+1)的大小得到．可利用做商法比较大小，从而可得出答案.【解答过程】解：PX=k则P(X=k+1)P(X=k)=C所以当k=2时，P(X=2)=15当k=3时，P(X=3)=20从而X=3时，P(X=k)取得最大值．故选：B．5．（3分）（2022春·广东广州·高二期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（

）A．P(X=1)=25 B．随机变量C．随机变量X服从几何分布 D．E【解题思路】由题意知随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．【解答过程】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；X的取值分别为0，1，2，3，4，则P(X=0)=C64P(X=2)=C42C6∴E(X)=0×1故A，D错误．故选：C．6．（3分）（2023·山西·统考一模）已知随机变量ξiξ012P1−2p其中i=1，2，若12<pA．Eξ1<Eξ2，C．Eξ1>Eξ2，【解题思路】由题知ξi【解答过程】解：由表中数据可知ξi∴Eξi=2又∵12∴Eξ1<E∴Dξ1>D故选：B.7．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为19，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则PX≥−80A．96625 B．256625 C．608【解题思路】根据题意可求得该产品能销售的概率，写出X的取值，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ服从二项分布，分别求出X的取值对于得概率，从而可得答案.【解答过程】由题意得该产品能销售的概率为1−1易知X的取值范围为−320,−200,−80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ~B4,所以Pξ=k=C所以PX=−80PX=40PX=160故PX≥−80故选：C.8．（3分）（2023·全国·高二专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出n1≤n≤6,n∈N∗个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着nA．Eξ增加，Dξ增加 B．Eξ增加，Dξ减小C．Eξ减小，Dξ增加 D．Eξ减小，Dξ减小【解题思路】由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球个数X服从超几何分布，即X∼H6,3,n，可得出EX=n2，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以Eξ=Pξ=1=12【解答过程】由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球个数X服从超几何分布，即X∼H6,3,n，其中PX=k=C3kC3n−k故从甲盒中取球，相当于从含有n2+1个红球的n+1个球中取一球，取到红球个数为故Pξ=1随机变量ξ服从两点分布，所以Eξ=Pξ=1=n2+1Dξ=1−Pξ=1Pξ=1=故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高三专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k=0，1，2，3．则下列判断正确的是（

）A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布C．P(X=k)<P(Y=k) D．E(X)=E(Y)【解题思路】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断.【解答过程】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；对于D选项，该批产品有M件，则E(X)=3⋅5M=15M对于C选项，假若C正确可得E(X)<E(Y)，则D错误，矛盾！故C错误．故选：ABD.10．（4分）（2023春·河北石家庄·高三开学考试）某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数A=a1a2a3a4⋯an，其中A．PX=0=C．X的数学期望EX=n2【解题思路】确定X∼Bn【解答过程】由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，每位数出现0，1是独立的，所以X∼Bn,1PX=k因为X∼Bn,1故选：ABC.11．（4分）（2022春·山西吕梁·高二期中）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为ξ，Pξ=1=1645，A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件C．Eξ=0.4【解题思路】假设次品为n件，由Pξ=1=1645求得次品n及次品率，再分别求的【解答过程】假设10件产品中存在次品为n件，从中抽取2件，Pξ=1这10件产品的次品率为21010件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，Pξ=0则EξDξ故选：ACD.12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供A,B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为23，选择B套餐的概率为13.而前一天选择了A套餐的学生第二天诜择A套餐的概率为14，选择B套餐的概率为34；前一天选择B套餐的学生第一天选择A套餐的概率为12，选择B套餐的概率也是12，如此往复.记某同学第n天选择A套餐的概率为An，选择B套餐的概率为Bn.一个月（30天）后，记甲､乙A．An+BC．PX=1≈0.288【解题思路】对于A选项，由于每人每次只能选择A,B两种套餐中的一种，则An+Bn=1，所以A正确；对于B选项，依题意An+1=An所以X∼B3,35【解答过程】由于每人每次只能选择A,B两种套餐中的一种，所以An依题意，An+1=A又n=1时，A1所以数列An−25是首项为所以An当n>30时，Bn所以X∼B3,35故选：ABC.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·重庆沙坪坝·重庆模拟预测）已知随机变量ξ∼B5,p，且Eξ=109，则【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.【解答过程】解：因为随机变量ξ∼B5,p所以Eξ=5p=10所以Dξ故答案为：708114．（4分）（2023·高三课时练习）设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)=7【解题思路】由题意可得P(ξ≥1)=1−P(ξ=0)=59,由此解出p值,根据η~B(3,p),代入所求的概率的值,根据【解答过程】∵随机变量ξ~B(2,p),且P(ξ≥1)=5∴P(ξ≥1)=1−P(ξ=0)=1−C解得p=13,∴P(η≥2)=1−P(η=0)−P(η=1)=1−C故答案为：72715．（4分）（2023·高三课时练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)=32【解题思路】根据题意结合古典概型求得m=5，进而求X的分布列和期望.【解答过程】设袋中有m个黑球，则白球有10−m，由题意可得：Cm2C102故X的可能取值有0,1,2,3，则有：PX=0可得X的分布列为：X0123P1551故EX故答案为：3216．（4分）（2022·全国·高三专题练习）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为p(0<p<1)，若当p=p0时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则p0=【解题思路】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得f(p)=(1−p)3(2p−p2【解答过程】至少射击4次合格通过的概率为f(p)=(1−p)所以f'(p)=(1−p)2(5故f(p)在(0,1−155)当p=1−155时f(p)得最大值，故故答案为：1−15四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高三专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（1）X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．（2）X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．（3）有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3．（4）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0)．【解题思路】（1）由条件可知X1∼Bn,13，写出二项分布列；（2）根据古典概型求概率；（3）因为是有放回，所以每此抽取，抽出次品的概率是MN【解答过程】【解】（1）X1的分布列为X1012…nPCnCC…CX1服从二项分布，即X1～Bn,（2）X2的分布列为X223456789101112P136236345654321（3）X3的分布列为X3012…nP1−MCC…MNX3服从二项分布，即X3～Bn,(4)X4的分布列为X401…k…nPCN−MC…C…CX4服从超几何分布．18．（6分）（2023秋·河北唐山·高三期末）2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为12，13，(1)求顾客获得两个奖品的概率；(2)若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为X，求X的分布列与数学期望.【解题思路】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.（2）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.【解答过程】（1）顾客获得两个奖品的概率为：12（2）1个顾客没有获奖的概率为12所以X∼B3,58，则XPX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列为：X0123P27135225125所以EX19．（8分）（2023·全国·模拟预测）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，竞赛成绩的频率分布表如下：竞赛成绩50,6060,7070,8080,9090,100频率0.080.240.360.200.12(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)已知样本中竞赛成绩在50,60的男生有2人，从样本中竞赛成绩在50,60的学生中随机抽取3人进行调查，记抽取的男生人数为X，求X的分布列及期望.【解题思路】（1）利用每组区间的中点值乘以该组的概率，加总和即可得到平均数的估计值；（2）根据频率分布表可求得样本中竞赛成绩在50,60的总人数，进而确定X所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，进而得到分布列；根据数学期望公式可计算求得期望值.【解答过程】（1）平均数为55×0.08+65×0.24+75×0.36+85×0.20+95×0.12=75.4.（2）由题意知：样本中竞赛成绩在50,60的共有100×0.08=8人，其中有男生2人，则X所有可能的取值为0,1,2，∴PX=0=C63∴X的分布列为X012P5153∴数学期望EX20．（8分）（2022·全国·高三专题练习）高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间（x小时/周）00<x≤0.50.5<x≤1x>1人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用PX=k表示这10名学生中恰有kk∈N,0≤k≤10名学生数学阅读时间在0,0.5小时的概率，求PX=k【解题思路】(1)根据表中数据，即可知10人有4人阅读时间大于0.5，由组合即可求解概率；(2)将频率视为概率则k~B10,25，利用二项分布概率公式及不等式法求P(X=k)【解答过程】（1）抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人，故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为C（2）周阅读时间在0,0.5小时的频率为25，故概率为2则k~B10,25由P(k)≥P(k+1)P(k)≥P(k−1)得：C10解得175≤k≤225，又21．（8分）（2022·全国·高二专题练习）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在3,4（单位：kg）的概率是多少？②若抽取的5户中购买量在3,6（单位：kg）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在3,6（单位：kg）的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k【解题思路】（1）事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在[3，4)”发生的概率为p=1①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在[3，4)”为A，利用独立重复实验的概率求解即可．②随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．（2）每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p=0.35，判断X~B(10,0.35)，通过若k户的可能性最大，列出不等式组，求解k即可．【解答过程】（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在3,4”发生的概率为p=1①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在3,4”为A，则PA②随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2.则Pξ=0=C33ξ012