人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题8.4 一元线性回归模型及其应用（重难点题型检测）（教师版）

专题8.4一元线性回归模型及其应用（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·天津津南·天津市模拟预测）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：x1,y1、x2,y2、A．由样本数据得到的线性回归方程y=bB．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，RD．若变量y和x之间的相关系数r=−0.9362，则变量y与x之间具有线性相关关系【解题思路】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数R2【解答过程】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程y=bx+对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对；对于C选项，用相关指数R2来刻画回归效果，R对于D选项，若变量y和x之间的相关系数r=−0.9362，r>0.75，则变量y与x故选：C.2．（3分）（2023春·河南·高三阶段练习）经济学专业的学生们为研究流通费率y和销售额x（单位：千万元）的关系，对同类型10家企业的相关数据xi,y由此散点图，在2千万元至1亿元之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为流通费率y和销售额x的回归方程类型的是（

）A．y=ax+b B．y=aC．y=aex【解题思路】根据散点图的变化趋势，分析各选项中方程表示的曲线的特点，看是否合乎题意，即可得答案.【解答过程】根据散点图，可以知道各点基本上是沿着一条具有递减趋势的曲线分布，并且变化趋势较平缓，A中y=ax+b表示直线，变化趋势是定的，不合题意；B中y=axC中y=aeD中y=aln故选：D．3．（3分）（2023春·湖南长沙·高三阶段练习）据一组样本数据x1,y1,x2,y2,⋅⋅⋅,xnA．去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快B．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点3,5C．去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为yD．去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点2,2.7的残差为0.1【解题思路】根据直线l的斜率大小判断A；求出y判断B；再求出经验回归方程判断C；计算残差判断D作答.【解答过程】对于A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线l的斜率变小，则y的估计值增加速度变慢，A错误；对于B，由y=1.2x+0.4及x=3得：y=4，因为去除的两个样本点1.2,0.5并且1.2+4.82=3,0.5+7.5因此重新求得的回归方程对应直线一定过点(3,4)，B错误；对于C，设去除后重新求得的经验回归直线l的方程为y=1.1x+a，由选项B知，4=1.1×3+a所以重新求得的回归方程为y=1.1x+0.7对于D，由选项C知，y=1.1x+0.7，当x=2时，y=1.1×2+0.7=2.9，则因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点2,2.7的残差为−0.2，D错误.故选：C.4．（3分）（2023·吉林通化·校考一模）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：苗木长度x（cm）384858687888售价y（元）16.818.820.822.82425.8若苗木长度x（cm）与售价y（元）之间存在线性相关关系，其回归方程为y=bx+8.9A．148cm B．150cm C．152cm D．154cm【解题思路】根据表格中的数据求出样本点中心，根据回归直线经过样本点中心求出b，再将y=38.9【解答过程】因为x=38+48+58+68+78+886y=16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.86所以样本点中心为(63,21.5)，又回归直线y=bx+8.9所以21.5=63b+8.9，所以所以回归方程为y=0.2x+8.9当y=38.9元时，x=150则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为150厘米.故选：B.5．（3分）（2022春·河南郑州·高二阶段练习）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：x（月份）12345y（万盒）56568若x，y线性相关，线性回归方程为y=0.7x+a，则以下判断正确的是（

）A．x增加1个单位长度，则B．x减少1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度C．当x=6时，y的预测值为8.1万盒D．线性回归直线y=0.7x+a【解题思路】首先求得平均数x,y，代入【解答过程】x=15代入线性回归方程y=0.7x+a中得6=0.7×3+a故线性回归方程为y=0.7x+3.9对于A：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x增加1个单位长度，则y可能增加0.7个单位长度，A错误；对于B：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x减少1个单位长度，则y可能减少0.7个单位长度，B错误；对于C：当x=6时，y=0.7×6+3.9=8.1对于D：线性回归直线必经过点x,故选：C.6．（3分）（2023·河南·高三阶段练习）下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型y=e1+ata∈R对y与第t个月123繁殖数量yeeeA．e3百只 B．e3.5百只 C．e4【解题思路】将回归模型两边取自然对数lny=1+at，并令u=lny，由此构建一个u与t的回归直线模型，根据回归直线必过中心点t【解答过程】由题意，y=e1+at两边取自然对数得令u=lny，则u=lny∵回归直线必过样本点的中心，∴2=2a+1，得a=12，∴u=1+t当t=6时，y=e故选：C.7．（3分）（2022春·湖南益阳·高二期末）设两个相关变量x和y分别满足xi=i，yi=2i−1，i=1，2，…，6，若相关变量x和y可拟合为非线性回归方程y=A．32 B．63 C．64 D．128【解题思路】先通过换元把非线性回归方程y=2bx+a转化为线性回归直线方程z=b【解答过程】令zi=logx=16所以b=i=16所以z=x−1，即y所以当x=7时，y=故选：C.8．（3分）（2022·高二单元测试）某企业推出了一款新食品，为了解每单位该食品中所含某种营养成分x（单位：克）与顾客的满意率y的关系，通过调查研究发现可选择函数模型y=1100ekx+c来拟合营养成分含量x/克12345ln(100y)4.344.364.444.454.51可求得y关于x的回归方程为（

）A．y=1100C．y=e0.043x+4.291【解题思路】根据题意可将函数模型y=1100ekx+c化简后两边同时取对数可得ln(100y)=kx+c【解答过程】解析：由y=1100ekx+c得由表中数据可知x=1+2+3+4+55=3，对于A，y=1100e0.043x+4.291化简变形可得100y=e0.043x+4.291，两边同时取对数可得对于B，y=1100e0.043x−4.291化简变形可得100y=e0.043x−4.291，两边同时取对数可得，对于C，y=e0.043x+4.291，两边同时取对数可得lny=0.043x+4.291对于D，y=e0.043x−4.291，两边同时取对数可得lny=0.043x−4.291故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·山东东营·高三阶段练习）已知变量y与x具有线性相关关系，统计得到6组数据如下表：x247101522y8.19.41214.418.524若y关于x的线性回归方程为y=0.8x+a，则（A．变量y与x之间正相关 B．yC．a=6.8 D．当x=12时，y【解题思路】根据回归方程可判断选项A，由得到的6组数据可计算样本点中心，可判断B，再根据回归直线过样本点中心可判断C，进而可判断D.【解答过程】由y关于x的线性回归方程为y=0.8x+a，可知变量y与由表中数据可知xy=因此样本点中心为(10,14.4)，将其代入回归方程y=0.8x+a可得因此，y关于x的线性回归方程为y=0.8x+6.4，将x=12代入回归方程可得，y即当x=12时，y的估计值为16；所以D错误；故选：AB.10．（4分）（2023秋·江苏无锡·高三期末）已知由样本数据xi,yii=1,2,3,⋯,10组成的一个样本，得到经验回归方程为y=2x−0.4，且x=2，去除两个样本点−2,1A．相关变量x，y具有正相关关系B．新的经验回归方程为yC．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小D．样本4,8.9的残差为−0.1【解题思路】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC，再由残差的概念判断D.【解答过程】i=110xi=20，x新平均数y新平均数18×10×3.6=4.5，∴4.5=3×2.5+b，新的线性回归方程y=3x+b，x，新的线性回归方程：y=3x−3由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；x=4，y=9，8.9−9=−0.1故选：ABD．11．（4分）（2023·全国·高三专题练习）自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为y1=−4.0x+68.5，决定系数为R12=0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为yA．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关B．由方程y1C．由方程y1=−4.0x+68.5可知，样本点11,22.6D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2【解题思路】根据散点图即可得出A项；根据回归方程的含义可判断B项；根据残差计算公式求出残差，可判断C项；根据实际大气压强不能为负，可判断D项.【解答过程】对于A项，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A项正确；对于B项，回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B项错误；对于C项，当x=11时，y1=−4.0×11+68.5=24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点11,22.6的残差为对于D项，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程y2故选：ACD.12．（4分）（2023·重庆渝中·高三阶段练习）小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名y=6，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：y=b1x+a1，y=b2x+a2，对应的相关系数分别为rx12345y10m6n2（附：b=i=1nxA．r1<r2 B．s【解题思路】根据表格中的数据和最小二乘法、相关系数的计算公式分别计算当m=6、m=8时的b,a、相关系数(r)和方差(【解答过程】当m=6时，x=1+2+3+4+55则i=15xii=15xii=1=(1−3)(10−6)+(2−3)(6−6)+(3−3)(6−6)+(4−3)(6−6)+(5−3)(2−6)=−16，i=1=(1−3)所以b1得a1r1s1同理，当m=8时，b2=−2,a所以r1故选：BD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）变量X与Y相对应的5组数据和变量U与V相对应的5组数据统计如表：X1011.311.812.513Y12345U1011.311.812.513V54321用b1表示变量Y与X之间的回归系数，b2表示变量V与U之间的回归系数，则b1与b2的大小关系是b1>【解题思路】根据回归系数几何意义得b1【解答过程】因为Y与X之间正增长，所以b因为V与U之间负增长，所以b因此b1故答案为：b114．（4分）（2023·全国·模拟预测）某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同-一种农作物，每一块试验田的施肥量x（单位：kg）与产量y（单位：kg）之间有如下关系：施肥量x/kg2040506080产量y/kg600800120010001400已知y与x满足线性回归方程y=13x+a，则当施肥量为80kg时，残差为【解题思路】根据回归直线方程的特点，计算样本中心值，即可求得a，得回归方程后进行估计可得，当x=80时，估计值，从而可得残差的数值.【解答过程】由题意得x=20+40+50+60+805=50，y=600+800+1200+1000+14005则当x=80时，y=13×80+350=1390，故残差为1400−1390=10故答案为：10.15．（4分）（2022·高二课时练习）2022年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如下表所示：月份2022年1月2022年2月2022年3月2022年4月2022年5月月份编号x12345销量y/千部37104a196216若y与x线性相关，且求得线性回归方程为y=45x+5a=147；②y与x正相关；③y与x的相关系数为负数；④7月份该手机商城的5G手机销量约为36.5万部．其中正确的是①②．（把正确的序号填在横线上）【解题思路】将月份编号的平均数代入线性回归方程，则可计算出销量的平均数，利用总销量可得a值；由回归方程中的x的系数为正可知，y与x正相关；将x=7代入，可得7月份该手机商城的5G手机销量．【解答过程】由表中数据，计算得x=1+2+3+4+55=3于是得37+104+a+196+216=140×5，解得a=147，则①正确，由回归方程中的x的系数为正可知，y与x正相关，且其相关系数r>0，则②正确，③错误，7月份时，x=7，y=32（万部），则④故答案为：①②.16．（4分）（2023·高二单元测试）在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人数，用x表示天数，y表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示：x1234567y611213466101196根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数y关于天数x的回归方程适合用y=c⋅dy=3.31×100.25参考数据：设vi=lgyi，参考公式：对于一组数据u1,v1，u2,v2，…【解题思路】由题可得lgy=【解答过程】由y=c⋅dx，可得设v=lgy，则因为x=1+2+3+4+5+6+77i=17所以lgdlgc所以lgy=v=0.52+0.25x所以y=10故答案为：y=3.31×10四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·山东·高二阶段练习）某大学一男生统计了本宿舍7名舍友的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）的数据，见下表：姓名吕聪梁力李泽文张天哲王硕武勇商宝清身高161175169178173168180体重52625470665773(1)若根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为y=1.15x+a，求(2)为判断（1）中回归方程的拟合效果，请求出相关指数R2参考公式及数据：R2=1−i=1【解题思路】（1）利用回归直线方程过样本点的中心，根据表格，分别求出x，y，代入回归方程即可求解.（2）根据表中数据，分别求出i=17yi【解答过程】(1)由题知，x=y=将172,62代入回归方程，得a=(2)i=17因为y=1.15x−135.8，所以yi=17所以R2故相关指数R2的值约为0.8718．（6分）（2023·四川南充·四川省模拟预测）南中数学教研室对高二学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表所示：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y(3)根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为11的学生的判断力．(参考公式：b=【解题思路】（1）根据表格直接画出散点图即可；（2）根据公式分别计算出b,（3）根据（2）中的回归方程，将x=11代入计算，即可得到结果.【解答过程】（1）散点图如下：（2）i=44x=i=44∴b则a=故线性回归方程为y（3）由（2）中线性回归方程可知，当x=11时，y=0.7×11−2.3=5.4，所以预测记忆力为11的同学的判断力约为5.4.19．（8分）（2022春·陕西西安·高二期中）2021年2月25日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告“经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，……，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.”从已经脱贫的家庭中随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得i=110xi=80，i=110(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附.线性回归方程y=bx+a中，b=i=1nxi【解题思路】（1）结合已知数据，根据公式计算即可；（2）根据（1）中的回归方程计算x=7的情况即可【解答过程】（1）解：由题知x=110所以，由已知数据得b=a=所以，家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=0.3x−0.4（2）解：因为家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=0.3x−0.4所以，该居民区某家庭月收入为7千元，即x=7时，y=0.3×7−0.4=1.7千元，所以，根据回归方程，可预测该家庭的月储蓄1.7千元.20．（8分）（2023秋·四川绵阳·高二期末）如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图：(1)依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?（若r>0.75(2)若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.相关公式：r=回归方程y=bx+a中，【解题思路】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与0.75比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）先求出回归方程，求出当x=20时的值，即为预测值．【解答过程】（1）x=1+2+3+4+55因为i=15xi−x所以r=i=1所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.（2）∵b=x=15∴a=8−1.9×3=2.3∴y关于x的线性回归方程为y=1.9x+2.3将x=20代入线性回归方程可得，y=1.9×20+2.3=40.3∴当年产量为20（吨）时，污水排放量为40.3（吨）.21．（8分）（2023·全国·高三专题练习）为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求回归直线方程；(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；(3)进行残差分析.【解题思路】（1）代入回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（2）根据公