2023届安徽名校高考适应性考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知£=（1,2）,b~（jn,m+3）,c=（zn-2,-1）»若£//B，则="=（）

A.-7B.-3C.3D.7

2.函数_/。）=21_以2+］在（o,+纥）内有且只有一个零点，则。的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

3.已知菱形ABCD的边长为2,ZABC=60°,则丽.前=（）

A.4B.6C.2#>D.4百

4.函数/~（x）=：在一彳，彳上的图象大致为（）

2+222

5.已知i是虚数单位，若z=l+ai,zW=2,则实数。=（）

A.—6或6B.・1或1C.1D.72

6.2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成

一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A.96B.84C.120D.360

7.在AABC中，。，dc分别为NAN&NC所对的边，若函数/(力=+法2+(/+/一。。)先

+1有极值点，则E8的范围是()

8.己知全集为实数集K,集合A={XH+2X-8>0},B={x\log2X<l},贝IJ(«A)CB等于()

A.[-4,2]B.[-4,2)C.(-4,2)D.(0,2)

'x+2y>2

9.已知实数x,y满足约束条件<,若z=2x—y的最大值为2,则实数A的值为()

y+1>hc

5

A.1B.-C.2

3

10.若直线y=-2x的倾斜角为a,则sin2a的值为()

444

A.-B.——C.±-

555

11.已知集合"={*|-1<XV2},2V={x|x(x+3)<0},则/

A.[-3,2)B.(-3,2)C.(-1,0]D.(-1,0)

12.下列函数中，图象关于〉'轴对称的为()

x

A./(%)=B./(x)=j7+2x+j7-2x,xe[-l,2]

6+1

C.7(x)=sin8xD./(x)=«+：

x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知分别为AABC内角A,3,C的对边，a=&,sinA=X^"=6,则AABC的面积为.

3

14.已知x=0是函数f(x)=x(ax-tanx)的极大值点，则。的取值范围是.

15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀

率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论：

①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；

②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；

③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是

16.成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布X〜N(100,02),且P(86<X4100)=0.15,若

该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)过点1>(-4,0)的动直线/与抛物线C：f=2py(p>0)相交于D,E两点，已知当I的斜率为；时，而=4PD-

(1)求抛物线C的方程；

(2)设OE的中垂线在)'轴上的截距为伍求。的取值范围.

18.(12分)设厂为抛物线C:/=4x的焦点，P,。为抛物线C上的两个动点，。为坐标原点.

(I)若点/在线段PQ上，求|PQ|的最小值；

(D)当OP_LPQ时，求点Q纵坐标的取值范围.

X=cosa

19.(12分)在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为.八以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

y=sin0.

jr

设点A在曲线G：Psin6=l上,点3在曲线6;：。=一/(。>0)上，且AAOB为正三角形.

(1)求点A，B的极坐标；

(2)若点P为曲线G上的动点，M为线段AP的中点，求的最大值.

20.(12分)椭圆C：m+/=1<«>^>0)的离心率为母，它的四个顶点构成的四边形面积为2起.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设p是直线％=/上任意一点，过点作圆/+>2=/的两条切线，切点分别为加，N,求证：直线MN恒

过一个定点.

21.(12分)已知数列｛4｝满足”,用=2q,+2"M+l(〃eN)«,=1,等差数列｛"｝满足勿+2〃=2〃1+45=2,3广・)，

(1)分别求出伍,,｝,｛2｝的通项公式；

｛____41g2____｝

(2)设数列｛4｝的前〃项和为S“，数列t|,，L1+S“+J的前〃项和为&证明：T<\.

n

1

22.(10分)已知函数/(x)=,以9-+(l-〃)x-lnxM£R.

(1)讨论/(X)的单调性;

>

(2)若ac(—oo/)，设g(x)=xe*—x-lnx+a,证明：Vx,G(0,2],3x2G(0,+OO),ffi/(x1)-(g(x2)>2-ln2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由平行求出参数〃?，再由数量积的坐标运算计算.

【详解】

由£/而，得2加一(，〃+3)=。，则m=3,

b=(3,6),c—(1,-1),所以石.0=3—6=-3.

故选：B.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.

2.A

【解析】

求出/'。)=6/-2⑪，对a分类讨论，求出(0,+8)单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.

【详解】

/(%)=6x2—2ax=6x(x-三)，

若aS。,xe(0,+oo)J'(x)>0,

/(x)在(0,+8)单调递增，且/(0)=1>0,

/(此在((),+a)不存在零点；

若a>0,xe(0,-1),f'(x)<0,xe(0,e),f'(x)>0,

/(x)=2x3-ar2+l在(0,+力)内有且只有一个零点，

l/(导=_\"+]=0,..4=3

故选:A.

【点睛】

本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.

3.B

【解析】

根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果.

【详解】

如图所示，

B

菱形形ABCD的边长为2,ZABC=6Q°,

ANC=120。，BZ)2=22+22-2X2X2XCOS1200=12»

，BD=26，且ZBDC=30°,

AlH）Cb=\lib\x\CD\xcos30。=2下）义2义£~=6,

故选B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题..

4.C

【解析】

根据函数的奇偶性及函数在0<x<5时的符号，即可求解.

【详解】

rCOSX

由/（—X）=-TV—=-f（x）可知函数为奇函数・

2+2

所以函数图象关于原点对称，排除选项A,B；

-7T

当0cxe—时，cosx>0,

2

•••/（幻=辛连>°，排除选项。，

2+2

故选：c.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

5.B

【解析】

由题意得，zW=(l+s)(l-出)=1+/,然后求解即可

【详解】

z=\+ai,zz=(l+az)(l-加)=1+/.又zl=2，\+a2-2>a=+1.

【点睛】

本题考查复数的运算，属于基础题

6.B

【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共4A：=96个，其中含有2个10的排列数共A；=12个,

所以产生的不同的6位数的个数为96-12=84.故选B.

7.D

【解析】

试题分析：由已知可得f\x)=x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有两个不等实根

n△=4b2-4(«2+c2-ac)>Q^>a2+c2-b2<ac=^>cosB=a———<^-=>Be

考点：1、余弦定理；2、函数的极值.

【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑

思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为

f\x)=x2+2bx+(a2+c2-ac)=0有两个不等实根，从而可得

A=—4(a?+c2-ac^>0a2+c2-b2<acncosB=":一"<gn8w(方，兀).

8.D

【解析】

求解一元二次不等式化简4,求解对数不等式化简8,然后利用补集与交集的运算得答案.

【详解】

解：由f+2x-8>0,得xV・4或x>2,

:.A={x\x2+2x-8>0}={x|xV-4或x>2},

由/ogixvl,x>0,得0VxV2,

/.B-{x\logix<1}={x|0<x<2},

则4A={x|TWxW2},

.-.（M）n5=（o,2）.

故选：D.

【点睛】

本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.

9.B

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解%即可.

【详解】

（72、（42k-C

可行域如图中阴影部分所示，B\--+1,C7r,要使得z能取到最大值，则上>1,当1W2

时，x在点8处取得最大值，即2（1］一+1）=2,得k=|；当攵〉2时，z在点C处取得最大值，即

2岛卜舒内得

故选:B.

【点睛】

本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想，分类讨论是解题的关键,属于中档题.

10.B

【解析】

根据题意可得：tana=-2,所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,

将tana=-2代入计算即可求出值.

【详解】

由于直线y=-2x的倾斜角为。，所以tana=-2,

.一c.2sintzcost/2tan«-2x24

则sin2a=2sinacosa=——5------5—=——；-----=----$——=——

sin-a+cos-atan-a+1(-2)+15

故答案选B

【点睛】

本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是

解本题的关键.

11.C

【解析】

先化简N={xb(x+3)<0}={x|-3<x<0},再根据M={x|-1VXV2},求两集合的交集.

【详解】

因为N={x|x(x+3)<0}={x|-3Sr<0},

又因为M={M-1VXV2},

所以MCW={x|-1〈烂0}.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12.D

【解析】

图象关于y轴对称的函数为偶函数，用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.

【详解】

图象关于轴对称的函数为偶函数；

—XX

/(一幻=

A中，XGR,=-/W,故/(x)=为奇函数;

J(-X)-+1yJx2+1

6中，f(x)=17+2x+17-2x的定义域为[-1,2],

不关于原点对称，故为非奇非偶函数;

C中，由正弦函数性质可知，/(x)=sin8》为奇函数;

+

。中，xeR且XH0,/(-%)=—f-=/(%),故/(幻=''+：*为偶函数.

(一幻X

故选：D.

【点睛】

本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法：

⑴定义法：对于函数/(x)的定义域内任意一个x都有/(x)=—/(-x),则函数是奇函数；都有/(x)=f(-x),

则函数/(x)是偶函数

(2)图象法：函数是奇(偶)函数O函数图象关于原点(y轴)对称.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0

【解析】

根据题意，利用余弦定理求得c=2,再运用三角形的面积公式即可求得结果.

【详解】

解：由于q=sinA=——>h->/6>

3

a<b,二A<3，cosA=>

3

由余弦定理得X5=少士生左，解得c=2,

32bc

,r

'•^.ABC的面积S=一x2x>/6x———y/2,.

23

故答案为：0.

【点睛】

本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.

14.(fl]

【解析】

方法一：令g(x)=ox—tanx,则/(x)=x•g(x),g\x)=a--^~,当aWl,%€(-工,工)时，g'(x)<0,g(x)单

cos~x22

TTTT

调递减，.'.xe(——,0)时,g(x)>g(0)=0,/(x)=/g(x)<。，且。'(x)『3+g(x)>0,力在(-2,0)上

22

TTjr

单调递增，龙6①,1)时，g(x)<g(0)=0,/(x)=x-g(x)<0,且/(x)=xg'(x)+g(x)<0,/(x)在(。，^)上单调

■JT1

递减，...AO是函数/(X)的极大值点，.••awl满足题意；当时，存在.€%)使得cost=笈，即g⑺=0,

ITT

又g<x)=。一一二在(0,大)上单调递减，・・・X£(O/)时，g'Q)=。，g(%)>g(O)=O,所以/a)=x・g(x)>/(0)=0,

cosx2

这与x=0是函数/(x)的极大值点矛盾.综上，a<\.

方法二：依据极值的定义，要使x=0是函数f(x)的极大值点，由/(0)=0知须在x=0的左侧附近，f(x)<Q,即

ar-tanx>0；在x=0的右侧附近，/(%)<0,即依一tanx<0.易知，。=1时，>=依与y=tanx相切于原点，

所以根据卜=6与y=1211%的图象关系，可得awl.

15.(2X3)

【解析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；

因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女

生成绩的优秀率，故②正确；

因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关

系，故③正确.

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.

16.2800.

【解析】

根据正态分布密度曲线性质，结合尸(86<XW100)=0.15求得P(X〉114)=g—0.15=0.35,即可得解.

【详解】

根据正态分布X〜N(l()(),cr2),且尸(86<X<100)=0.15,

所以P(X>114)=；-0.15=0.35

故该市有8000人参考，则估计成都市该次统考中成绩X大于114分的人数为8000x0.35=2800.

故答案为：2800.

【点睛】

此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析，根据曲线的对称性求解概率，根据总人数求解成绩大于114的人数.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.（1）x=4yt（2）b>2

【解析】

（1）根据题意，求出直线方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理，结合PE=44，即可求出抛物线C的方程；

（2）设/:y=左（x+4）,£）£的中点为（x0,%）,把直线I方程与抛物线方程联立，利用判别式求出k的取值范围，利用

韦达定理求出与,进而求出OE的中垂线方程，即可求得在》轴上的截距〃的表达式,然后根据攵的取值范围求解即可.

【详解】

（1）由题意可知，直线I的方程为y=；（%+4）,

与抛物线方程C:/=2py（p>0）方程联立可得，

2y2_（8+p）y+8=0,

设。（外,〉1）,£：（々,%）,由韦达定理可得，

因为丽=4而,。£=（%2+4,%），「。=（工］+4，X）,

所以%=4M，解得y1=1,%=4,p=2,

所以抛物线C的方程为l=4y;

（2）设/:丁=%（%+4）,。石的中点为（毛,%）,

"2A

x~=4y

由〈./八，消去丁可得W-4Ax-16Z=0,

>=攵（工+4）

所以判别式△=1622+64%>0,解得左〈~4或%>0,

由韦达定理可得,%=迤产=2左,%=左（公+4）=2公+43

所以。石的中垂线方程为y-2k--^k=~{x-2k\

K

令x=0则万=丁=2/+4%+2=2（左+1）2,

因为左<-4或女〉0,所以h>2即为所求.

【点睛】

本题考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用;考查学生分析问题、解决问题的能力和运

算求解能力;属于中档题.

18.(I)4(n)(-OO,-8]U[8,-H»)

【解析】

(1)由抛物线的性质，当PQ，X轴时，归。|最小;(2)设点P(芭,X),Q(X2,%)，分别代入抛物线方程和OPPQ=0

得到三个方程，消去玉,々，得到关于M的一元二次方程，利用判别式即可求出内的范围.

【详解】

解：(D由抛物线的标准方程，P=2,根据抛物线的性质，当轴时，|尸。最小，最小值为2。，即为4.

(2)由题意，设点P(玉,y),Q(x2,y2),其中

则％=4%,①y2—4x2,②

因为。PLPQ,而=(冷％),而=(.—x，%—X)，

所以0。/。=%](X2一%)+%(%一%)=°•③

由①®③,得Q)+%y+16=0,

由yeR,且必"，得△=¥-642(),

解不等式，得点。纵坐标为的范围为(…，-8]U[8,+s).

【点睛】

本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能

力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.

19.(1)A[.2,q),-(2)；+省.

【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；

(2)设点M的直角坐标为(x,y),则点P的直角坐标为(2》-6,2旷-1).将此代入曲线G的方程，可得点M在以

(G11

Q为圆心，一为半径的圆上，所以的最大值为|8。|+—，即得解.

(22)22

【详解】

TT

(1)因为点3在曲线。3：。=一苒(。>°)上，AAOB为正三角形，

6

7T

所以点A在曲线。=9(2>0)上.

又因为点A在曲线。2：。0m6=1上,

所以点A的极坐标是2,高,

从而，点3的极坐标是2,一7

(2)由(1)可知，点A的直角坐标为(6,1)，B的直角坐标为(百，-1)

设点M的直角坐标为(x,y),则点尸的直角坐标为(2x-6,2)，-1).

牝1A

将此代入曲线G的方程，有22

y=g+”，

(氏iA1

即点M在以。彳不为圆心，弓为半径的圆上.

“=楞-'+6=6，

所以16Ml的最大值为|8Q|+g=g+百.

【点睛】

本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划

归，数学运算的能力，属于中档题.

2

20.(1)y+y2=l；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程;

（2）设点尸（2,%）,M（x，y）,M/，%），由PMLOM，PN_LQV,结合斜率公式化简得出2-2%一y%=0,

2-2x2-y2yo=O,即"（%2，%）满足2-2%-»0=0,由％的任意性，得出直线MN恒过一个定点

（1,0）.

【详解】

a2=b2+c2

（1）依题意得，g2a-28=2&,解得，？&

2h-=c

cV2

a2

即椭圆C：y+y2=l；

（2）设点尸（2,%）,A/（x，x）,N（x2,y2）

其中x；+y；=2,考+y；=2

由WW,PN_L°N得，］=7%_i

x2-2x2

即x；+y：_2M-y}yQ=0,xf+y1-2x2-y2y（）=0

注意到X：+y；=2,%2+y2=2

于是2_2X]_y%=0,2-2x2-y2y0=0

因此“（h,y）,"（工2，%）满足2-2》一y0=0

由方的任意性知，x=l，y=0,即直线MN恒过一个定点（1,0）.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.

n

21.（1）att=n-2-1,bn=2n（2）证明见解析

【解析】

(1)因为4M=2a“+2"+'+l("eN),所以%+1=24+2"“+2("eN。),

所以^+即守一空=1，又因为6=1，

所以数列｛*｝为等差数列，且公差为1,首项为1,

则1=1+(〃-1)x1=",BPan=«-2"-1.

设｛2｝的公差为d,则2一2一1=2Z>„_,-2/Z+4-Z?,,.]=bn_,-2n+4=d,

所以%=2〃-4+d(〃=2,3,…)，则4=2(n+l)-4+d(〃eN*)，

所以=[2(〃+l)_4+”]_(2〃_4+d)=2,因此/4=2(〃+l)-4+2=2〃，

综上，a„=n-2"-\,bn=2n.

(2)设数列｛〃-2"｝的前”项和为M“，贝！=1x2+2x22+3x23+4x2"+…+〃x2",

2M„=1X22+2X23+3X24+4X25+...+??X2,,+I,

=lx2+lx22+lx23+lx24+...+lx2,,-nx2,,+l=(1-n)-2,,+l-2,

M„=(n-l)-2n+1+2,所以5“=(〃_1)-2e+2_〃,

c=____41g2____4|g2211

设"%+Jg〃i+S5±1贝UC"=2("+l)lg2"+2=5+])(.+2)=2(Q-"+2)'

n

所以(=2*(：_：+；_；+•••+-^-)=2x(1——^—)=1--1-<1.

2334n+\〃+22