2023年中考数学模型训练对角互补模型

对角互补模型

资料编号：202305061640

模型介绍

对角互补模型特指在四边形中，存在一对对角互补的模型，常见的有90。-90。

对角互补模型、120。-60。对角互补模型和2a-(180。-20)对角互补模型三种.

对角互补模型分为对角互补全等模型和对角互补相似模型两种.

对角互补全等模型

这种模型常添加的辅助线是过顶点做双垂线，构造两个全等三角形.

(1)90。-90。对角互补全等模型

如图1所示，已知/4。8="8=90。,。。平分24。3,有下面的结论：

①CD-CE;②OD+OE=亚OC;③S四边形+SAOCE=耳•

(2)120°-60。对角互补全等模型

如图2所示，已知ZAOB=2NDCE=120Poe平分NA08,有下面的结论：

2

①8=CE;②OD+OE=OC;③S四边形WCE=SA0CD+SWCE=^-OC.

(3)2。-(180。-2a)对角互补全等模型

如图3所示，已知4408=2々,/。。石=180。-2々,0。平分440民有下面的结

论：

①CD=CE;®OD+OE=2OCcosa;

A'

G

图3

对于90。-90°对角互补全等模型，常添加如下的辅助线:

对于120。-60。对角互补全等模型，常添加如下的辅助线:

对于2。-（180。-2夕）对角互补全等模型，常添加如下的辅助线:

对角互补相似模型

常见的是90。-90°对角互补相似模型.

如图10所示，已知/405=/。。石=90。,/80。=0,则上=8-2(1。,或者

O=tana.图11是常添加的辅助线.

CD

结论：如图12,在RtAABC中,NACB=90。,点。是的中点，若NEOE=90。,

则器甯

zk

AOBA()B

图12图13

图13是证明该结论时添加的辅助名

模型证明及模型举例

A

对模型的证明以例题的形式展开.

例1.如图14,已知NAQB=N£>CE=£

。。平分NA08,证明下面的结论：

①CD=CE;@OD+OE=y[2OC-

③S四边形00CE=SXOCD+SXOCE=2℃•

o\B

M图14

证明:作CM±于点M,CN±OA于点N.

：.Zl=Z2=90°

A

OC平分NAOB,CMLOB,CNX.OA

：.CN=CM

在四边形OOCE中

ADOE+NDCE=90°+90°=l80P

，NODC+NCEM=180P

,/NODC+NCDN=180°

:.Z.CDN=ZCEM图15

在△CON和△CEM中

Z1=Z2

V<NCDN=ZCEM

CN=CM

.,.△CON丝△CEM(AAS)

，CD=CE,结论①得证；

•；Z1=AMON=Z.OMC=90°

...四边形ON"是矩形

,:CN=CM

：.四边形ONCM是正方形

:.OM=ON

•.•△CDN之△CEM

:.DN=EM

'：OD+OE^OD+OM+EM

，OD+OE=OD+OM+DN=ON+OM=2OM

在RtACOM中

VcosZCOM=-=cos45°=也

OC2

/.OC=叵OM

：.OD+OE=42-42OM=V2OC，结论②得证;

•.•△CON之△CEM

S四边形。。CE=S&OCD+S&OCE=S>OCD+^OCM+^CEM

=SkOCD+SbOCM+S8CDN

=S正方形ONCM

(5Y

=OM2=—OC

I2J

=-oc2

2

点评

(1)在证明LCDN出ACEM时，如图16所示，也可以证明乙DCN=ZECM,证

明如下：

,?Zl=AMON=ZOMC=90°

...四边形ONCM是矩形

,AMCN=90。

：.ZDOV+ZDCM=90°

■:ZDCE=ZECM+ZDCM=90P

:.ZDCN=ZECM；

(2)过点。作CELOC交03于点尸，如图17所示，也可以证明三个结论.

,?ZA08=NDCE=90。

,N3+NOEC=180°

Z4+ZOEC=180°

/.Z3=Z4

Zl+NOCE=ZDCE=90°,Z2+4OCE=Z.OCF=90°

Z1=Z2

OC平分ZAO8

?.ACOF=45°

，ZCFO=90。—45°=45°=ZCOF

：.CO=CF

在△COO和△CEP中

Z1=Z2

<Z3=Z4

CO=CF

：.^CDO^/\CEF(AAS)

/.C0=CE,结论①得证；

■:4CDO经ACEF

：.OD=FE

：.OD+OE=FE+OE=OF

在RtACOF中

..oc-V2

.cosZCOF==cos4A5o=——

OF2

:.OF=V20C

,OD+OE=41OC,结论②得证；

■:ACDO/ACEF

・

,•Oqt^CDO-―4sACEF

,"S四边形ODCE=SAOCD+SbOCE~SbCEF+$AOCE=^&COF=-oc2；

2

(3)如图18所示，对于对角互补四边形，

则有:

ZABM=ZADC,AADN=ZABC.

即:对角互补四边形的外角,等于相邻内角

的对角.

该结论常用于证明两角相等，为三角形全等或相似提供条件.

例2.如图19,已知NAO8=2NDC£=120P,0C平分NAOB,证明下面的结论:

2

①CD=CE;②OD+OE=OC;®SmoDCE=SSOCD+Ss0CE=^OC.

证明:作CM±OB于点M,CN±OA于点N.

：./CME=4CND=9/

'：ZAOB=2ZDCE=120P

,ZAOB+NDCE=120°+60°=180°

，NOZX?+N1=180P

NOZX:+N2=180°

，Z1=Z2

■:OC平分ZAOB,CMLOB,CNLOA

：.CN=CM

在△CEM和△CON中

Z1=Z2

<NCME=NCDN

CM=CN

：.4CEMQ丛CDN(AAS)

，CD=CE,结论①得证；

,:4CEM咨/\CDN

：.EM=DN

：.OD+OE=OD+OM+EM=OD+DN+OM=OM+ON

在RtACOM和RtACON中

co=co

CM=CN

.,.RtACOM^RtACO^(HL)

OM=ON

:.OD+OE=2OM

在RtACOM中

,/ZOCM=90°-60°=30°

:.OC=2OM

，OD+OE=OC,结论②得证;

,/△CEM注△CDN,RtACOM咨RtACON

..S四边形0OCE=SXOCD+SAOCE=SAOCD+SOCM+&CEM

~^&OCD+S&OCM+SxcDN

一-q%CON十+0sAOCM

=2SxocM

在RtACOM中

CMJ3

VsinZOCM=-^-=sin60°=—

OC2

/?

:.CM=—OC

2

SmoDCE=2SAOCM=2-^-OMCM=：℃・乎℃=乎"2,结论③得证.

点评也可以这样添加辅助线：作NOCr=60。，交。8边于点尸△COE是等边三

角形.

例3.如图21,已知ZAOB=ZDCE=90°,ZBOC=a.

求证:CE=CD-tana.

证明:分别作CM±OB,CNLOA.

：.NCND=NCME=90。

'：4CND=4cMO=ZAOB=90°

，四边形ONCM是矩形

CN=OM,ZNCM=90°

Z1+ZDCM=90°,Z2+NDCM=90°

Z1=Z2

：.ACEMs^CDN

.CECM

"CD-C7V

在RtACOM中

...CM

・tana=-----

CN

CE

...=.tana

CD

:.CE-CDtana.

例4.如图22,在RtAABC'^,ZACB=

点。是A8的中点,ZEOF=90°.

、丁OEBC

求r证：---=---.

OFAC

证明:分别作OGYAC,OH±BC,连结OC.图22

图23

:."GE=NOHF=9伊

'：ZOGC=ZOHF=ZACB=90°

，四边形OGC"是矩形

:.OH=GC,ZGOH=90°

"：ZGOE+ZGOF=90°,ZHOF+ZGOF=90°

:.ZGOE^ZHOF

:.△OGEs^OHF

.OEOGOG/\

••===tan/OCA

OFOHGC

在RtAABC中

•・•点。是A5的中点

:.OA=OC=-AB

2

二ZOCA^ZA

----=tan/.OCA-tanA

OF

.OE_BC

"oF-7c-

例5.如图24,矩形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连结P。,过点P作

PE_LPD,交直线A3于点E,AB=473,AD=4.

(1)线段PD与PE的数量关系为：

(2)连结。瓦若PD=3V5,求OE的长.

解：⑴PD=V3PE;

提示：在RtAABC中

AD_4_V3

tanZPAE=—

AB而一而一7

NPAE=30°

,?ZDAE+ZDPE=90°+90。=180°

，A、D、P、E四点共圆

，"DE=ZPAE=30°

在RtAPDE中

tanZPDE=—=tan30°=—

PD3

:.PD=V3PE;

(2)由(1)可知:NPOE=30°

RtAPDE中

,?cosNPDE=—=地=cos30°=—

DEDE2

:.DE=6.

点评第（1）问也可以这样求解：

如图25所示,分别作PG±AD,PH±AB

则四边形AGP”为矩形

:.PH=AG图25

易证:△PDGSAPE”

.PDPGPG

tanZDAC

'PE-?/7-AG

在RtAACD中

CDAB

tanND4c巫M

~AD~AD

.PD

,•-------V3

PE

，PD=y/3PE.

上面通过点P作双垂线，构造出了对角互补相似模型.

例6.如图26,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形

ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点匕另一边交CB的延长线于点G.

(1)观察猜想:线段比与线段EG的数量关系是;

(2)探究证明:如图27,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABC。的对角线AC

上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明;若不成立，请

说明理由；

(3)拓展延伸：如图28,将(2)中的正方形改为矩形，且使三角板的一边经过点

B,其他条件不变，若AB=a,BC=b,^—的值.

解：(1)EF=EG;

(2)成立.

理由如下:作EM±于点M,EN_LCD于点N,

则NEMG=NENF=90。,四边形CMEN是矩形

，AMEN=90。

•四边形ABC。是正方形

4c平分N3CD

•:EM±BC,ENLCD

EM=EN

'：Z1+NMEF=NGEF=90°,Z2+/MEF=/MEN=90°

,Z1=Z2

在△EMG和△ENF中

N1=N2

EM=EN

NEMG=NENF

:.丛EMG9XENF(ASA)

，EG=EF-

(3)作EM_LBC于点M£N，CD于点N,

则ZEMG=NENF=90。,四边形CMEN是矩形

，AMEN=90°,EM=CN

'：Z1+/MEF=NGEF=90°,Z2+NMEF=AMEN=90°

Z1=Z2

:.AEMGSAENF

.EFENEN“八

，•--------tan^.A.CD

EGEMCN

在RtAACD中

BCb

tanNACD=----

CDABa

.EFb

••—.

EGa

例7.【阅读】

通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数

量关系，这是“数形结合”思想的典型应用.

M.

图33

【理解】(1)如图31,NM4N=120PMe平分NM4N,8,A〃,CB_LAN.

求证：A6+AO=AC.

【拓展】(2)如图32,其他条件不变，将图31中的NOC8绕点C逆时针旋转,CD

交MA的延长线于点O,CB交射线AN于点8,写出线段A。、AB.AC之间的数

量关系，并就图32的情形说明理由.

【应用】(3)如图33,△ABC为等边三角形，AB=4,P为BC边的中

点,NMPN=120P，将/MPN绕点、P旋转使射线PM交直线AC于点M,射线PN

交直线AB于点N,当AM=8时，请直接写出AN的长.

(1)证明：'.工。平分ZM4N

/.ADAC=ZBAC=-AMAN=60°

2

■:CD1AM,CBLAN

：.ZACO=ZAC8=30°

:.AB=AD=-AC

2

：.AB+AD=AC',

(2)解：AB^AC+AD

理由如下:作CE_LAM,CE_LAN

，Nl=N2=90。

由(1)可知:AE=AF='4C

2

NECF=ZDCB=60。

：.NDCE+NDCF=ZBCF+NDCF

：.ZDCE=NBCF

'：AC平分ZMAN,CE±AM,CF±AN

：.CE=CF

在△OCE和△BCE中

21=Z2

,?\CE^CF

NDCE=NBCF

.•.△DCE咨ABCF(ASA)

，DE=BF

,:AB=AF+BF

：.AB=AE+DE=AE+AE+AO=2AE+AO=AC+AD.

方法二：在AN上截取AE=AC,连结CE,如图35所示.

；ZCAE=^ZMAN=60°,AE^AC

...△ACE是等边三角形A)

：.AC=EC=AE,ZAEC=ZACE=6^°\//

/.NM4C=ZAEC=60°V/

:.ZCAD=ZCEB=120PV

Z1+ZDCE=60°,Z2+ZDCE=60°

Z1=Z2

在△ACO和△ECB中

21=Z2

'：\AC=EC

NCAD=NCEB

：.^ACD^^ECB(ASA)

:.AD=EB

'：AB=AE+EB

:.AB=AC+AD.

(3)14或2.c

提示:分为两种情况：EL

①当点M在AB下方时，如图36所示.

作PE_LAC，尸产J.A3

,Zl=Z2=90°

•.'△ABC为等边三角形,

P为BC边的中点

ZBAC=ZABC=60°AP平分ZBAC

NEPF=360°-90°-90°-60°=l20°

,：AP平分ABAC,PELAC,PFVAB

:.PE=PF

'：NMPE+NMPF=NEPF=120°,NNPF+NMPF=4MPN=120°

，ZMPE=NNPF

在△r加和△PKV中

Z1=Z2

VJpE=PF

NMPE=NNPF

：.APEMQAPFN(ASA)

ME=NF

在RtAPCE中,；ZC=60°

CFCF1

.*.cosC=—=—=cos60°=-,C£=l

PC22

AE=AC—CE=4—1=3,同理求得A户=31

，ME=NF=AE+AM=3+8=11/

：.AN=AF+NF=3+\\=14;//

②当点M在AB上方时，如图37所示.