《自动控制理论》课件第五章-线性系统的频域分析

第五章 线性系统的频域分析1频率特性法是分析线性系统的工程实用方法。频率响应—系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性—系统的频率响应与正弦输入信号之间的关系。系统的频率特性反映系统的稳态性能、稳定性、暂态性能。用频域法分析线性系统的优点：１．可方便、直观地分析多个参数变化对系统性能的影响，并能大致指出改善系统性能的途径。

２．可用实验方法确定稳定系统的频率特性。频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。40给系统输入一个幅值不变频给稳定的系统输入结论

同频率的正弦，Ar=1

ω=0.5

ω=1不幅率不断增大的正弦，曲线如下:一个正弦，其稳态输出是与输入值随ω而变，相角也是ω的函数。ω=2

ω=2.5

ω=42第一节 频率特性１．频率特性的定义频率响应与正弦输入信号的复数比．ＲＣ电路的频率特性（惯性环节）ＲＣ电路的传递函数为3设输入其拉氏变换为则输出 的拉氏变换为求拉氏反变换，得其中暂态分量稳态分量4ＲＣ电路的频率响应为ＲＣ电路的频率特性为式中为幅频特性5为相频特性（１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性．（２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移．（３）已知系统的传递函数，令 ，可得系统的频率特性。（４）频率特性包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质．6２．频率特性的图形表示（１）幅相频率特性图又称极坐标图，乃魁斯特图．用描点法绘制例１．绘制惯性环节 的幅相频率特性，其中解：7描点后可得惯性环节的幅相频率特性图列表8（2）对数频率特性图（伯德图）由对数幅频特性和相频特性两个图组成，横坐标是对数坐标。的伯德图，例２ 绘制惯性环节其中惯性环节的对数幅频特性为（单位分贝，记为dB）相频特性为9伯德图中的对数幅频特性用近似曲线方法绘制。（在半对数坐标系中是直线方程，斜率为-20dB/dec,dec表示10倍频程）a.当

« 时，（在半对数坐标系中是和横轴重合的水平线）b.当

»

时，-20dB/dec10称为惯性环节的转折频率，水平线和斜率为－20dB/dec的直线在该处连接。11惯性环节 近似曲线和精确曲线的最大误差发生在 处，为相频特性可用描点方法绘制，其特点是曲线关于 奇对称。1213第二节 典型环节的频率特性熟练掌握各种典型环节的频率特性，对于绘制反馈控制系统的开环频率特性很有帮助。因为系统可以看成就是由这样一些典型环节组成的。一.比例环节比例环节的传函为常数Ｋ，它的特点是其输出能够无失真和无滞后地复现输入信号．对数幅频特性为一直线14二．惯性环节15三．积分环节传递函数它的输出量是输入量对时间的积分．幅相频率特性上式表明，积分环节的幅频特性与频率而相频特性恒为

．成反比，16转折点17四．微分环节１．理想微分环节18２．比例微分19五．振荡环节—时间常数—阻尼比，只讨论欠阻尼情况，因为过阻尼可分解成两个惯性环节—自然振荡角频率2021在低频段（

«

），．在高频段（

»

），高频段渐进线是一条斜率为－40dB/dec的直线．交接频率为 ．在转折频率附近，实际幅频特性与渐近线之间存在较大的误差。误差的大小取决于 值。越小，误差越大。当 时，在幅频特性上出现峰值．振荡环节的对数幅频特性，可以在渐近线的基础上，根据书上误差校正曲线进行修正．222324六．滞后环节相位滞后角与成正比。越大，相位滞后随ω的增长越快．25第三节系统开环频率特性的绘制控制系统是由典型环节组成的，熟悉了典型环节的特性，就不难绘制控制系统的开环频率特性了．一．各型别系统开环幅相频率特性的特点１．0型系统26幅相频率特性特点：（１）（２），曲线起始于正实轴的（Ｋ，０）点，曲线沿－(n－m)×90°的方向趋近于坐标原点．其中n为传递函数分母阶次，m为分子阶次．27２．Ⅰ型系统幅相频率特性如图。，是特点：（１）

时，一条平行于虚轴，趋向无穷远的直线．，（２）曲线沿－(n－m)×90°的方向趋近于坐标原点．28３．Ⅱ型系统，是一（１）

，条和实轴平行伸向无穷远的直线．，（２）曲线沿－(n－m)×90°的方向趋近于坐标原点．幅相频率特性如图。特点：29二．系统伯德图的绘制设开环系统由n个典型环节串联组成可见，当开环系统由若干典型环节串联组成时，其对数幅频特性和相频特性分列为各典型环节的对

数幅频特性和相频特性之和．因此绘制系统开环对

数频率特性的方法之一，就是画出各环节的对数频率特性，然后相加．30例5-33132例5-41.为避免差错，必须将 化成如上标准形式，即典型环节频率特性的乘积。写出幅频特性、对数幅频特性和相频特性表达式332.分析组成系统的典型环节，并按转折频率从大到小的顺序列出．比例环节：４，20lg4=12dB积分环节：34惯性环节：一阶微分环节：振荡环节：３．选定伯德图各坐标轴的比例尺，和频率范围，一般取最低频率为最小转折频率的1/10左右，最高频率为最大转折频率的１０倍左右，注意，轴是对数刻度，最低频率不可能取作０．在 取最低频率为0.1，最高频率为100．从低频到高频画出对数幅频特性的渐近线．35①低频渐近线是斜率为-20vdB/dec的直线，其中v为积分环节的个数，在 处，渐近线通过20lgK这一点此处，v=1,20lg4=12dB,通过作斜率为-20dB/dec的直线．②在最小转折频率 处，渐近线斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，这是惯性环节 起作用的结果．③当频率高于转折频率 时，一阶微分环节将起作用，渐近线斜率从-40dB/dec变为-20dB/dec.36④考虑振荡环节的作用，在 处，渐近线的斜率将有-40dB/dec的改变，形成斜率为-60dB/dec的渐近线．５．必要时，按误差校正曲线，对渐近线进行修正，得到精确的对数幅频特性。６．根据各环节的相频特性，可以绘制系统的相频特性．37在分析和设计系统时，往往对对数幅频特性曲线与ω轴交点频率—称剪切频率附近的相频特性比较感兴趣．因此也可以在 附近取几个频率点，代入 的表达式，用解析的方法求出相频特性的几个点．低频段和高频段均可按 的变化趋势画出．如此例有3839三．最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统—系统传递函数的极点，零点都位于左半Ｓ平面．非最小相位系统—在右半Ｓ平面存在极点，零点．最小相位系统的特点：

１．不含有滞后环节，或不稳定的环节

２．对于具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角最小．

３．幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，因此只要知道其对数幅频特性，就可以画出其相频特性，也可以写出其传递函数。而非最小相位系统的幅频特性和相频特性之间不存在这种唯一对应关系．40例５－５有二个系统，开环传递函数分别为比较它们对数频率特性．解： 中含有滞后环节，为非最小相位系统．41最小相位系统对数幅频特性和相频特性的关系：

１．低频段对数幅频特性的斜率为-20υdB/dec时，相频特性趋于－90°×υ２．高频段对数幅频特性的斜率-20（n－m）dB/dec时，相频特性趋近于—

90°×

（n－m）42第四节 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性一．Ngquist稳定判据Ngquist稳定判据的数学基础是复变函数论中的映射定理，又称幅角定理．闭环系统稳定的充要条件是：系统的全部特征根（或极点）位于左半Ｓ平面．Ngquist稳定判据：闭环系统稳定充分和必要条件是，当

从 变化到 时，系统的开环频率特性按逆时针方向包围 点Ｐ周，Ｐ为系统位于右半Ｓ平面的开环极点数目．43应用的两种情况１．

不含有积分环节时例５－５解：系统稳定Ｐ＝０44含有积分环节时b.c.根据映射定理，Ｓ沿小半圆从 变化到时，在 平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从经过０转到例５－６Ｐ＝０，v=1,顺时针转过π弧度系统稳定45例５－７顺时针Ｐ＝０，V=2，从顺时针包围点两周，，系统不稳定，并有两个闭环极点在右半Ｓ面．46二．根据Bode图判断系统的稳定性Ngquist图和Bode图的对应的关系１．

单位圆与０分贝线对应，单位圆外,２．ＧＨ平面上的负实轴与 的－180°线对应．采用Bode图的Ngquist判据：

闭环系统稳定的充要条件是，当由０变到 时，在 的频段内， 曲线穿越 线的次数（正穿越与负穿越次数之差）为 ，Ｐ为Ｓ右半平面的开环极点个数．47若开环系统稳定（即最小相位系统），Ｐ＝０，则闭环系统稳定的充要条件是 曲线正、负穿越线的次数等于零．例５－６用伯德图判别系统的稳定性解：①作系统伯德图②因为在频段内，相频特性的不穿越 线．按照乃氏稳定判据系统是稳定的．48三．系统的稳定裕量至此为止我们讨论系统的稳定性问题只涉及定性的概念，根据稳定判据判别系统稳定或不稳定。现在要进一步讨论系统能够的相对稳定性问题．稳定裕量就是表征系统稳定程度的量．它是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。的轨迹越接近于包围 点，系统的稳定程度越差．因此，系统开环频率特性靠近点的程度可以用来衡量系统的稳定程度。系统的稳定裕量用相角裕度和增益裕度来表示．49剪切频率—对应于的频率，记为相角裕量—在剪切频率 处，使系统达到临界稳定状态所要附加的相角滞后量．的频率为使系统稳定，相角裕量必须为正值．增益裕度

—在相角特性 等于处，开环幅频特性的倒数若系统增益Ｋ增大到 ，则系统达到临界稳定状态。或50稳定的系统，为正．515253考虑到系统中元件参数的变化可能对稳定性带来不利影响，系统必须具有适当的相角裕量和增益裕量．在设计系统时，相角裕量常取

30°～

60°，增益裕量应大于６分贝。此时，系统将具有较满意的暂态响应特性。最小相位系统幅频特性与相频特性存在唯一对应关系，故可只计算相角裕量。为保证系统有足够的相角裕量，要求开环对数幅频特性在剪切频率处的斜率为-20dB/dec，并且有相当的中频段长度.例５－７求系统的稳定裕度解：（１）作对数幅频特性渐近线（２）求剪切频率二个三角形54（３）求相角裕量（４）作相频特性对应的55取几点（５）求增益裕量量得处的值即系统稳定，且最小相位系统的相角裕度和增益裕度是对应的。5657例5－8

已知系统的开环传递函数求系统的相角裕度和增益裕度。，用MATLAB可绘制系统Bode图、计算稳定裕度。系统的相角裕度

=

51.85

o，增益裕度GM

=

67.45dB，相角剪切频率

=

3.92rad/s，增益剪切频率

=

242.97rad/s。5859第五节 闭环频率特性及频域性能指标一．系统的闭环频率特性及频域性能指标通常系统的闭环幅频特性如图所示60性能指标为—谐振峰—谐振频率—带宽频率（或截止频率），是下降到时幅值的 所对应的频率．a.反映了系统的相对稳定性。时，相当于阻尼比为．此时，可以得到比较满意的暂态响应，当时，系统的阶跃响应将出现几次振荡．61越大，暂态响应越快２．

反映了暂态响应的速度。（指越短）．对于欠阻尼系统，

与 值比较接近．３．系统的带宽 与响应速度成正比。带宽宽，复现输入信号的能力就强．但对高