2.2.1不等式及其性质课件-高一上学期数学人教B版

第二章等式与不等式

2.2不等式

2.2.1不等式及其性质基础知识情境与问题你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1

(单位:km/h，下同)应该满足100≤v1≤120;右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足__________________.60≤v2≤100在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。在上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”，事实上，任意给定两个实数a，b，那么

a＜b或a=b怎样理解两个实数之间的大小呢?我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x)。另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小，如图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出b>1>0>a.此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离。由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a－b与0的相对大小就可以了，即初中的时候，我们就已经归纳出了不等式的三个性质：性质1如果a>b，那么a+c>b+c.性质2如果a>b，c>0，那么ac>bc.性质3如果a>b，c<0，那么ac<bc.事实上，如图所示，a>b是指点A

在点B

的右侧，a+c和b+c表示点A和点B在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点A’和B’的相对位置，与A和B的相对位置是一样的，因此a+c>b+c。性质1可以用如下方式证明：因为(a＋c)－(b＋c)=a＋c－b－c=a－b，又因为a>b，所以a－b>0，从而(a＋c)－(b＋c)>0，因此a＋c>b＋c.性质2可以用类似的方法证明：因为ac－bc=

(a－b)c.又因为a>b，所以a－b>0，而c>0，因此(a－b)c>0,因此ac－bc>0，即ac>bc.尝试与发现用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：(1)a>b是a+c>b+c

的_____________条件；(2)如果c>0，则a>b是ac>bc

的_________________条件;(3)如果c<0，则a>b是ac<bc

的__________________条件.充要充要充要在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质。性质4如果a>b，b>c，那么a>c.直观上，如图所示，点A在点B的右侧，点B在点C的右侧，因此点A必定在点C的右侧。证明：因为a－c=(a－b)+(b－c),又因为a>b，所以a－b>0；且b>c，所以b－c>0，因此(a－b)+(b－c)>0，从而a－c>0，即a>c.性质4通常称为不等关系的传递性。我们前面在判断x²>－1等类似命题的真假时就用过不等关系的传递性。

这只要利用a－b=－(b－a)就可以证明，请自行尝试。另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母。不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a<b”与“a＝b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者a<b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a<b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确。典例精析例1比较x2－x和x－2的大小解：因为(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，又因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2+1≥1>0，从而(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2.例1的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握。需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法。在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等。从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法，下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论。

我们把a>b和c>d(或a＜b

和c＜d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式。推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。很明显，推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。

可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立。这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法。利用不等式性质应注意哪些问题？提示：在使用不等式时，一定要弄清不等式(组)成立的前提条件。不可强化或弱化成立的条件。如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都需要注意。典例精析例2(1)已知a>b，c<d，求证：a－c>b－d;

典例精析

基础自测1．已知－1<a<0，那么－a，－a3，a2的大小关系是(

)A．a2>－a3>－a

B．－a>a2>－a3C．－a3>－a>a2

D．a2>－a>－a3解析：∵－1<a<0，∴1＋a>0,0<－a<1，∴－a－a2＝－a(1＋a)>0，a2－(－a3)＝a2(1＋a)>0，∴－a>a2>－a3。故选B。B

2．给出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋b2≥ab.其中恒成立的个数是(

)A．0

B．1

C．2

D．3D

3．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等关系正确的是_________(填序号)．(1)a＋1>b－3；(2)ac>bc；(3)a2>b2；(4)a－b>0.4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是_________________.5．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为_______________.解析：∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.(1)(4)

a>－b>b>－a

m3>m2－m＋1

典例剖析作差法比较大小比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2＋3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小。思路探究：在比较两个代数式的大小时，可采用作差法，再通过因式分解或者配方法判断差的符号，当不能直接得到正或负的结论时，还要考虑通过分类讨论来确定．解析：(1)∵(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵a>0，b>0，且a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.归纳提升：比较两个代数式大小的步骤：(1)作差：对要比较大小的两个代数式作差。(2)变形：对差进行变形。(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。(4)作出结论。这种比较大小的方法称为作差法。其思维过程是作差→变形→判断符号→作出结论。对点训练典例剖析利用不等式的性质求范围(1)已知－6<a<8，2<b<3，则2a＋b的取值范围是_____________，a－b的取值范围是___________。(2)已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。思路探究：(1)求a－b的取值范围时，应先求出－b的范围，再利用不等式的性质求解．(2)用f(1)和f(2)表示出a，c.(－10,19)

(－9,6)

解析：(1)∵－6<a<8，∴－12<2a<16，∴－10<2a＋b<19，∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6.归纳提升：利用不等式的性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答。(2)将所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件。(3)结合不等式的传递性进行求解。对点训练典例剖析不等式的证明1．利用不等式性质证明不等式2．利用比较法证明不等式 设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.思路探究：要证明3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，即证3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)≥0即可。解析：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.归纳提升：1.简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证。2．对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质