2023年高考数学第37讲 绕来绕去向量法

第37讲绕来绕去向量法，牵来牵去巧解题

一、知识聚焦

向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对

象，作为代数对象，向量可以运算；作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切

线等几何对象，向量有长度，可以刻画长度、面积，体积等几何度量问题，向量由大小和方

向这两个要素确定，大小反映了向量在“数”方面的特征，方向反映了向量在“形”方面的

特征，因此是数形集于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现，向量具有很强的灵

活性，使高中数学各知识点之间的距离大大地缩短了，从而成为沟通数学各分支（平面几何、

解析几何、立体几何、三角函数、不等式等）的桥梁和纽带，给传统的数学带来了无限生机

和活力，向量法蕴涵着浓厚的数学思想，处处闪烁着数学美的光辉.

向量作为数学语言是简洁的，同时又具有丰富的表现能力.几个向量首尾衔接构成一个

圈，即它们的和等于零向量,在解题过程中利用这个等式或与它等价的等式，就叫做回路法，

回路解题是向量解题特有的方法，向量回路法解题的要点是：结合条件，灵活选择回路，将

我们所关心的两个向量列出比例式，利用共线线段成比例性质和向量基本定理，将向量分解

成共线形式，问题就迎刃而解了，其中回路的选择往往是关键，我们把它比喻为绕来绕去向

量法，其余只是代数运算而已，向量解题并不排斥和坐标法合作，从而形成了向量运算与向

量坐标运算两大解题系统，在解题中各有妙用，向量法是联系中学数学很多知识点的纽带,

具有强劲的亲和力，许多知识与方法在向量这里结集，解题方法当然多种多样，解题时不必

过分拘束于单纯的向量方法，可结合图形性质，多种方法并用，而向量法解题也确实能够做

到把多种解题方法集于一身，我比喻为牵来牵去巧解题.

二、精讲与训练

核心例题1⑴在AA5C中，AM:AB=1:3,4V:AC=1:4,8N与CM交于点

E,AB-a,AC-b,用a,匕表示AB.

⑵如图37—1所示，在A4BC中，。为边BC中点，经过AD中点E的直线

分别交线段

于点M,N,若AB=AC=,贝1Jm+n=；该直

线将原三角形分成两部分，则AAAW与四边形BCNM面积之比的最小值

BD

[B37-I

解题策略第Q）问中的M,E,C共线与N,E,B共线与第⑵问中的£,N共线是解

题的核心条件，抓住这一条件结合题设其他向量共线条件，解之并不因难.必须指出的是证

明三点共线，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量

共线且有公共点时，才能得到三点共线，因此还必频加强对向量基本定理的理解，即

0A=；108+〃0C(/1,〃GR),若AB,C三点共线，则4+〃=1；若。与人不共线，且

而=血则X=〃=0.解答此类题还要注意待定系数法和方程思想的运用.

解：⑴如图37-2所示，由已知得AM=gA3,AN=；AC,设=,

1(1A

AE=AM+2(AC-AM)=-+/IAC--AB

3I3)

整理得=(g-(JAB+AAC.

同理，设NE=tNB,twR,则

111(1

AE^AN+NE=-AC+tNB=-AC+t(<AB-AN)=-AC+t\AB--AC

整理得AE|———|/4C+/AB.

(44)

A=——

由A8与4c是不共线向量3解得.；

j__£

2t=—.

4~4IH

32-3-2-

AE=—AB+—AC,^AE=—a+—b.

11111111

⑵在AABC中，；O为BC边的中点，石为AO的中点，

11

/.AE=—AD=—(AB+AC).

11

AB=mAM,AC=nAN,:.AE=AMME=—AB-^-ME=-(ABAC),

m4

工]48+，4。.同理/7七=!48+(』-L]4。.

：.ME=\-

(4mJ44Un)

ME与NE共线，，存在实数;l,使ME=2NE(/l<0),

fl1\11fl1A

即-----\AB+-AC=^—AB+-----AC

\4m)4414

_L__L_4

4m4'442

解得/.m+n=-----+-=-4--.--

421-A2-1

44n

cAM-A/VsinA.....

S^MNN=2=4MSN=J_

mn

SMBClABACsinA

2

//"+〃丫1

又m+〃=4,.,.m%,=4,当且仅当〃z=〃=2时取等号，此时——有最小

\L)mn

值?

变式训练(1)已知A8是直线/上任意两点，。是/外的一点，对任意一点P,存在实数

s,f使0P关于基底｛0A,08｝的分解式为OP=sOA+tOB,当且仅当s,t

满足什么条件，点P在直线/上？

⑵已知平面向量与。8的夹角。e|,y,且I。4|=|O8|=3,若0P=

12

-OA+-OB,贝ijIOP|的取值范围是.

33-

核心例题2(1)如图37-3所示，在等腰佛形ABCD中，已知

AB//DC,AB=2,BC=1,ZABC=60.动点E和尸分别在线段BC

和。C上，且BE=2BC,DF=LDC,

则AEAF的最小值为一

94

⑵如图37-4所示，已知在等腰心AA3C中，ZC=90\AC=2,两顶点

A,C分别在x轴，y轴正半轴（含原点。）上运动，P,Q分别是

的中点，求丝丝的取值范围.

IOQI

解题策略平面向量的表示形式有两种形态，对应的向量法解题也有两种基本方法，

即向量运算及向量的坐标运算，其中坐标表示是实数化的重要方法.第（1）问对应的就是两种

不同的解法.第⑵问涉及向量的投影问题：对于一个定向量、一个动向：（对于其中一

个向量的方向和模都确定，另一个向量的方向和模都是不确定的），可以通过作“投影”使

得变化的向量夹角和模合并统一成为一条直线上的投影大小.对于两个动向量的题型，按"定”

与“动”的相对性，先固定一个向量，按“一定一动”向量的问题处理.

解：（1）解法一：如图37—3所示，DF=^DC,DC=^AB,

I1-921-92

:.CF=DF-DC=—DC-DC=——DC=——AB.

9A9A18/1

AE=AB+BE=AB+ABC,

1-9；1+94

AF=AB+BC+CF=AB+BC+------AB=--------AB+BC,

18A182

"£”=(.+海。.(富48+8。=债A/+Q+/贵+

_1+9/119+92171729

x4+x2xlxcos120°+4=—4H----1-——>2

18A18229218T?

21929

当且仅当；7T=彳/1,即4=7时，AEAF的最小值为一.

9A231o

解法二：建立如图37-5所示平面直角坐标系.则

£.

40,0),8(2,0),。,D

2'V

加=（冷）-（界）=（1'。＞

BC

£(2-^2,

DF=-DC=(—,0),.'.F(-+—,

9A92292

I2129

AE-AF=(2--A,

2+豆’189A2189A218

212

当且仅当-=-2,即2=彳时等号成立，符合题意.

9A23

29

AE-AE的最小值为百.

18

OPOQ

⑵解法一：（投影法）表示。P在。。上的投影.设NQ4C=6,则

\OQ\

A(2cos6,0),

C(0,2sin8)从而得P(cos8,sine)可算得

B(2sin2sin4-2cos0),

从而Q(sin。+cos0,sin6+cos0),发现点。在直线y=x上运动,

点P在以。为圆心，1为半径的5圆弧上运动，如图37—6所示.

当点尸在点E时，投影最大为1,当点P在点。或点尸时，投影最小

为方'

二丝丝」乌11

1021L2J

解法二：(三角换元法)设ZOAC=0,则

A(2cos6,()),C((),2sin9),P(cos仇sin0),

可算得5(2sin6,2sin8+2cos0),从而Q(sin0+cos0,sin0+cos0\

OPOQl+2sin6cos。1+sin20Jl+sin265/21

--------=~•———=-----------Q----j

\0Q\j2+4sin6cose72+2sin2^^[2，

解法三：(动静转换法)如图37-7所示，固定三角形，让点。变动，易知点。在以

AC为直径的半圆上运动，则°P0Q^OP\cos0=cos0.

\0Q\

变式训练(1)如图37-8所示，已知。(0,0),41,0),8(0,-1),尸是曲线丁=忘7上一

个动点，

则。P-BA的取值范围是

(2)如图37-9所示，给定两个长度为1的平面向量Q4和。8,且

<04,08>120°,

点。在以。为圆心的圆弧AB上变动，若0C=x0A+）,08,其中x,yeR,

求x+y的最大值.

S37-S图37-，

核心例题3点。为锐角A4BC的外心，若0C=xQA+），08（其中x,yeR）,且

则x+y的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,2]C.(-1,0)D.[-2,-1)

解题策略本例是的变式训练（2）的拓展，由扇形拓展为整圆，求x+y的最大值变为求

x+y的取值范围，可以联系中学数学的许多知识点和解法，说明解向量题不应过分拘束于

单纯的向量方法，可以从多个方向发起攻击，供读者赏析.

解法一：（向量坐标法，转化为三角函数求值域）

如图37-10所示建立平面直角坐标系，不妨设三角形外接圆的半经为1.

M37-I0

ZCOA=2ZB,ZAOB=2ZC=—,

3

A(cos2B,sin2B),B(cos2A,-sin2A),C(l,0),

,口f九cos23+ycos2A=l,

代入。。=%。4+丁。鳍<,解得

xsin2B-ysin2A=0,

x=—迪sin2A,y=—幽sin25.

33

从而

x+y=一^^(sin2A+sin28)=-~~~[sin2A+sin笑4%-2A2cos(2A+?).

3

（jrjr（2乃47r1

又AA5C为锐角三角形，则乙4c二二,从而2A+工£—,＜，故

-2,,x+y<-1.故选D.

解法二：（由数量积求得结果代入x+y,转化为三角函数求值域）

设的外接圆半径为/?,乙COA二24B、/AOB二22、乙BOC二2乙A.

3

21

由OCOA=xOA+丁0804得(：0528=1——y.

2

-21

由OC-OB=xOB-OA+y08得cos2A=--x+y

故x+y=2(cos2A+cos23)=2cos[2A+1]以下同解法一.

解法三(基本不等式法)由。。=xOA+yOB,平方后可得l=x2+y2-xy,

配方可得(x+y>-3盯=1,故(x+y)?=1+3孙，l+=(x+y)2

4

,.，x<0,y<0,故l<(x+y)2,,4,即一2<x+y<-l,故迭D.

解法四（三角换元法）同解法三得1=/+/-xy,配方可得x-2I+V2=L

x