2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版课时分层作业66　用样本估计总体

课时分层作业（六十六）用样本估计总

体

[4组在基础中考查学科功底]

一'选择题

1.（2021.武汉市四月质检）一组数据由10个数组成，将其中一个数4改为1,

另一个数6改为9,其余数不变，得到新的10个数，则新的10个数的方差相比

原先10个数的方差的增加值为（）

A.2B.3C.4D.5

B[因为4+6=1+9,所以新的10个数的平均数与原先10个数的平均数

相等，设平均数为三，则新的10个数的方差相比原先10个数的方差的增加值

（1—X）2+（9—X）2—[（4—X）2+（6—X）2]3（）

为------------------------话------------------------=行=3,故选B.]

2.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,

17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为A众数为c,则有（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

D[将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,

则平均数0=^（10+12+14X2+15X2+16+17X3）=14.7,中位数8=15,众

数c=17,显然aVbVc.故选D.]

3.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的

长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其

频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是

（）

A.32.5mmB.33mmC.33.5mmD.34mm

A［棉花纤维的长度在30mm以下的比例为

（0.014-0.01+0.04+0.06+0.05）X5=0.85=85%,

在35mm以下的比例为85%+10%=95%,

因此，90%分位数一定位于［30,35）内，

0.90-0.85

由30+5X=32.5,可以估计棉花纤维的长度的样本数据的90%

0.95-0.85

分位数是32.5mm.故选A.］

4.（2021•成都三模）某市环境保护局公布了该市两个景区2014年至2020

年各年的全年空气质量优良天数的数据.现根据这组数据绘制了如图所示的折线

图，则由该折线图得出的下列结论中正确的是（）

A.景区A这七年的空气质量优良天数的极差为98

B.景区B这七年的空气质量优良天数的中位数为283

C.分别记景区A,B这七年的空气质量优良天数的众数为机1,"22,则〃”>加2

D.分别记景区A,8这七年的空气质量优良天数的标准差为SI,S2,贝Usi>S2

D［对于A,景区A这七年的空气质量优良天数的极差为313—203=110,

故本选项结论不正确；

对于B,景区3这七年的空气质量优良天数的中位数为266,故本选项结论

不正确；

对于C,由折线图可知：〃21=254,〃22=262,显然如<〃22,故本选项结论不

正确；

对于D,由折线图可知：景区A这七年的空气质量优良天数的数据波动要比

景区8这七年的空气质量优良天数据波动大，因此S1>S2,所以本选项结论正确，

故选D.］

5.（2021•成都市一诊）甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机

2

床每天生产出的次品数分别是:

71,分别表示甲、乙两组数据的平均数，a分别表示甲、乙两组数

据的方差，则下列选项正确的是（）

A.X1=X2，$1>52B.X1>X2,S\>S2

C.%1V尤2,51>52D.X\>X2,sfVs：

0+1+0+2+2+0+3+1+2+43一

B[由题表中数据，得xi=V*2=

2+2+1+14-1+2+14-14-04-16——

亍所以Xl>X2.又由题表中数据知，甲组数

据比乙组数据的波动幅度大，所以故选B.]

6.（2021•山西阶段检测）设样本数据XI,XI,X3,…，尤19,X20的均值和方差

分别为2和8,若y=2加+”（根为非零常数，i=l,2,3,…，19,20）,则yi,

>2,券，…，>19,»）的均值和标准差分别为（）

A.2+〃z,32B.4+〃z,4y/2

C.2+"?,4"^2D.4+m,32

B「由题知，样本数据九1,X2,…，X20的均值x=2,方差£=8,由平均

数和方差的性质可得yi,”，…，”o的均值y=2x+，"=4+〃?，方差《=22X8

=32,故标准差s.、=4加.故选B.]

二'填空题

7.为做好疫情防控工作，各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是

某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（单位：℃）,

则该组数据的第80百分位数为.

36.6[将6名同学某日上午的体温记录从小到大排列为：36.1,36.3,36.4,

36.5,36.6,36.7,因为80%义6=4.8,所以该组数据的第80百分位数为366]

8.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用

寿命（单位：年）跟踪调查结果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙：3,3,4,7,9,10,11,12.

三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广

告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲

,乙________,丙.

众数平均数中位数[甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据

的特征.甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数x=

4+6X3+8+9+12+137+9

丙：该组数据的中位数是

8=8;~1~=8.]

9.甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60kg,方差为200,

乙队体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为

1：4,则甲、乙两队全部队员的平均体重为,方差为.

68kg296[由题意可知三,=60,甲队队员在所有队员中所占权重为存,

1___1

=T+4=5

x乙=70,乙队队员在所有队员中所占权重为

44

WC=T+4=5,

则甲、乙两队全部队员的平均体重为

———14

=

x—w甲xv+wcxc^X60+^X70=68(kg),

甲、乙两队全部队员的体重的方差为

s2=w”S1+(X申-X)2]+w匕[4+(X匕—X)2]

=1[200+(60-68)2]+1[300+(70-68)2]=296.]

三'解答题

10.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100

个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布

表.

y的分组[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

4

企业数22453147

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的

企业比例；

(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表).(精确到0.01)

附：加心8.602.

［解］(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率

14+7

不低于40%的企业频率为一而=0.21.

2

产值负增长的企业频率为向=0.02.

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业

比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.

(2)7=-^jX(-0.10X2+0.10X244-0.30X53+0.50X14+0.70X7)=0.30,

15—

一=而若〃yy

=看X［(—0.40)2X2+(—0.20)2X24+。2义53+0.202X14+0.402X7］=

0.0296,

5=^0.0296=0.02X774^0.17.

所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.

11.(2021.海南期末)某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在

生产线上抽取了100个零件并称出它们的重量(单位：克).重量按照［495,505),

［505,515),…，［535,545］分组,得到频率分布直方图如图所示.

(1)估计该工厂生产的零件重量的平均数；(每组数据用该组的中点值作代表)

(2)估计该工厂生产的零件重量的80%分位数；

5

(3)按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于525克的

零件中抽取6个零件，再从这6个零件中任取2个，求这2个零件的重量均在

［525,535)内的概率.

［解］(1)由题意得：(0.005+0.015+0.02+0.035+0X10=1,解得，=0.025.

则各个小组的频率分别为0.15,0.2,0.35,0.25,0.05.估计该工厂生产的零件重

量的平均数约为500X0.15+510X0.2+520X0.35+530X0.25+540X0.05=

518.5.

(2)设80%分位数为x,

•.,前三组频率和为0.7,前四组频率和为0.95,

.•.xW［525,535),

••.0.7+(x-525)X0.025=0.8,解得x=529,

该工厂生产的零件重量的80%分位数为529.

(3)由条件知：6个零件中，重量在［525,535)内的零件个数为5,分别记为

A,B,C,D,E-,重量在［535,545］

内的零件个数为1,记为工

从中随机抽取2个，样本空间为0={(A,3),(A,O，(A,D),(A，E),(A,f),

(B,C),(B,D),(B,E),(B,f),(C,D),(C,E),(C,./),(D,E),(D,./),

@•/)}，

."(0)=15.

设“这2个零件的重量均在［525,535)内”为事件M,

则M={(A,8),(A,C),(A,O),(A,E),(C,D),

(C,E),(D,E)},

：.n(M)=W,

n(M)102

P(M)=

［8组在综合中考查关键能力］

1.已知样本如，X2,…，X”的平均数为x,样本yi,”，…，的平均数为

y(xWy).若样本尤1,X2,…，Xn,y\,yz,加的平均数z=or+(l-•aW，其中

0<a<；,则〃，/〃(〃，“zGN*)的大小关系为()

6

A.n=mB.n2mC.n<mD.n>m

C［由题意得z=.；my）

=士工+（1一扁）乃所以〃=士.

n+mIn+m尸n+m

1n1

因为0<a<x,所以0<__r-<r.

2n+m2

又〃，mGN',所以2〃<〃+/w,所以〃<机.］

2.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有

发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.过

去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，

甲地：总体平均数为3,中位数为4；

乙地：总体平均数为1,总体方差大于0；

丙地：总体平均数为2,总体方差为3；

丁地：中位数为2,众数为3.

则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

C［对于甲地，总体平均数为3,中位数为4.平均数与中位数，不能限制极

端值的出现，因而可能会出现超过7人的情况，所以甲地不符合要求.对于乙地，

总体平均数为1,总体方差大于0.没有给出方差具体的大小，如果方差很大，有

可能出现超过7人的情况，所以乙地不符合要求.对于丁地，中位数为2,众数

为3.中位数与众数不能限制极端值的大小，因而可能出现超过7人的情况，所以

丁地不符合要求.对于丙地，根据方差公式$2=吉［（XI—X）2+（X2—X）2H---F（X1O

—1—

—X）2］.若出现大于7的数值令Xl=〃2,则$2=而［（〃2—2）2+（*2—X）2-|F

（XIO-7）21>3,与总体方差为3矛盾，因而不会出现超过7人的情况.综上可知，

丙地符合要求.故选C.］

3.（2021.厦门期末）某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4,为

了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分

配的分层随机抽样方法，抽取了样本容量为〃的样本，得到频数分布表和频率分

7

布直方图.方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的

样本，计算得到男生样本的均值为170,方差为16,女生样本的均值为160,方

差为20.

身高俾

[145,155)[155,165)[165,175)[175,185)[185,195]

位：cm)

频数4

mPq6

频率/组跑I

0.040b----ir----1

0.036k---］-4---：-4---：

0.032k-］—4——：——i——：

0.028卜T——十——卜A——：

0.020卜-十——卜——：——士——：

0.016卜-十一卜——：——十——：

0.012k—b-L--

。•哨•+…卜一

145155165175185195身高/cm

(1)根据图表信息，求〃，q并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的

身高均值；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表)

(2)计算方案二中总样本的均值及方差；

(3)计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体

均值的估计合适吗？为什么？

［解］(1)因为身高在区间［185，195］的频率为0.008X10=0.08,频数为4,

4

所以样本容量为〃=万位=50,w=0.008X10X50=4,p=0.04X10X50=

20,

<7=50-4-20-6-4=16,

所以身高在［165,175)的频率为为=0.32,小矩形的高为0.032,所以身高

在［175,185)的频率为2=0.12,小矩形的高为0.012,由此补全频率分布直方

图：

频率/组距I

0.040^---1-----r-----1——

0.036卜…卜——卜

0.032P--1---——：

0.028b-----4...............f--：

0.024卜一卜——卜......I----：

0.020k---］---4...............1----：

0.016卜——卜——卜------T----：

0.012k---l-4------------r---：

0.008------\----\------------------；

。•券H…十一H-T.

145155165175185195身高/cm

由频率分布直方图可知：样本的身高均值为：

8

(150X0.008+160X0.04+170X0.032+180X0.012+190X0.008)X10=

167.2,

所以由样本估计总体可知，估计该校高中生的身高均值为1672

(2)把男生样本记为：XI,X2,X3,…，X25,其均值为X,方差为S.3把女生

样本记为：yi,",>25,其均值为y,方差为V，

总体样本均值记为5，方差记为$2,

圻以一_25-,25-_25X170+25X160_

所以z-25+25%+25+25y一50一165，

又因为£(Xi-X)=-25x=0,

尸1

同理可得：£2(为一y)(y—z)=0,

尸

所以/=布Z(尤LZ)+三(乃一Z)=时£(汨一X+X—Z)24-X(yj

V

i=lj=lz-=lj=\

-y+y—z)2]

=&25$+(三一》)]+25_sj+

=^{25(16+(170-165)2]+25[20+(160-165)2]}=43.

(3)两种方案总样本均值的差为167.2—165=2.2,

所以用方案二总体样本均值作为总体均值的估计不合适，原因是没有进行等

比例的分层随机抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此代表性较差.

[C组在创新中考直理性思维]

1.(2021・百强名校大联考)一组数据XI,X2,X3,…，%的平均数为工，现定

|十卜3—X|+…+上一X|

义这组数据的平均差D=.如图是

n

9

甲、乙两组数据的频率分布折线图:

甲组数据频率分布折线图乙组数据频率分布折线图

根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差6的大小关系是()

A.D\<DiB.D\—Z)2

C.D1>D2D.无法确定