2022年黑龙江省双鸭山市尖山区高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设等比数列｛4｝的前〃项和为s“，贝11“4+%<2a2”是"<0”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

2.若函数/（%）=%2+2》一加85（%+1）+〃+3加-7有且仅有一个零点，则实数机的值为（）

A.7B.二7LC.-4D.2

22

3.已知函数“X）是R上的偶函数，g（x）是R的奇函数，且g（x）=/（x-l）,则“2019）的值为（）

A.2B.0C.-2D.±2

4.如图，在正四棱柱—中，=E,歹分别为AB8c的中点，异面直线A片与所

成角的余弦值为加，贝（）（）

A.直线4E与直线q/异面，且根=正B.直线4E与直线GF共面，且机=也

33

C.直线A|E与直线a尸异面，且mD.直线4E与直线GP共面，且根=3

33

5.下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为［0,+8）的是（）

A.y=|lg（x+l）|B.、,=jC.y=2*D.y=ln|H

6.点A民C是单位圆。上不同的三点，线段0。与线段交于圆内一点M,若

OC=mOA+nOB,(m〉(),〃>0),/〃+〃=2,则ZAOB的最小值为(

7.我们熟悉的卡通形象“哆啦4梦”的长宽比为正：1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和

建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台

到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度

差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（）

A.400米B.48（）米

C.520米D.600米

8.如图，AABC内接于圆。，是圆。的直径，DC=BE,DC"BE,DC上CB,DCLCA,AB=2EB=2，则

三棱锥E-ABC体积的最大值为（）

2

D.

4323

（x-2）（A-e）+3,（A>ln2）^当时，/（x）的取值范围为（e,e+2],则实数m的

9.已知函数/（x）=・

3-2x,(x<In2)

取值范围是（）

1-e1—e

A.B.(-oo,1JC.—,1D.[In2,1]

10.将函数〃x）=sin2.i-的图象向左平移。个单位长度，得到的函数为偶函数，则/的值为（）

7171冗

B.D.

12~67

一八sin（br+a）cos（kjr+山小一八”〜人口,、

11.已知A=―---------+—-----------4ksZ）,则A的值构成的集合是（）

sinacosa

A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D,{1,-1,0,2,-2）

22

12.已知双曲线「-二=l（a>0,6>0）的左焦点为尸，直线/经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线/与双曲

a-b~

线的左支交于不同的两点A,B,若/=2丽，则该双曲线的离心率为（）.

A.-B.—C.D.73

323

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与8。相交于。.剪去MOB,将剩余部分沿OC,8折叠,

使。A、OB重合,则以48）、C、D、。为顶点的四面体的外接球的体积为.

=1（力>。>0）的左、右焦点为月，F2,尸（2,起）为双曲线C上一点，且制=3,

若线段尸耳与双曲线C交于另一点4,则APAg的面积为,

15.如图在三棱柱ABC—A4C中，明，底面ABC,AB=AC=6BC=2BB】=2C.,点尸为线段A局上一

动点，则£P+8P的最小值为.

16.已知函数/（x）=4sinx+gx3在％=o处的切线与直线心一了一6=0平行，则〃为,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，四边形A5CQ是边长为3的菱形，上，平面48。,43,4。,4///。£。x=34尸.

E,

(1)求证：AC，平面BOE；

(2)若仍与平面ABC。所成角为60。，求二面角尸—的正弦值.

18.(12分)已知函数/(x)=lnx—/nx-=2%2(-eR).

(1)讨论函数/(x)的极值;

(2)记关于X的方程/(x)+疗f=0的两根分别为〃应(〃<“)，求证：lnp+lnq>2.

22

19.（12分）已知椭圆E:5+与=1Ca>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(。,0),(0,3的直线的距离为

a2b2

—C.

2

(I)求椭圆E的离心率；

(II)如图，AB是圆M:(x+2)、(y—1)一=1的一条直径，若椭圆E经过A,B两点，求椭圆E的方程.

(I)若/(x)在区间仁,+可上单调递增，求a的值;

(H)若aeZ〃x)>0恒成立，求”的最大值.(参考数据：)=1.6)

21.(12分)在AABC中，设。、b、c分别为角A、B、C的对边，记AABC的面积为S,且25=通•而.

(1)求角A的大小；

4

(2)若c=7,cosB=—,求。的值.

丫221

22.(10分)已知椭圆C:4+方=1(。>力>0)与工轴负半轴交于4(一2,0),离心率e=/.

(1)求椭圆。的方程;

（2）设直线/：y=Ax+m与椭圆C交于/&,乂）川（孙%）两点，连接4MAN并延长交直线x=4于

/、/\1111

£（“3，％），尸（巧,乂）两点，若7~+三=不+^7，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是,

请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

首先根据等比数列分别求出满足4+4<2%,S2,i<0的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.

【详解】

{%}为等比数列，

若％+%<2%成立，有4（</--2q+1）<。，

因为才―2夕+120恒成立，

故可以推出4<0且gwl,

若S2“T<0成立,

当4=1时，有4<0,

当时，有~^<0,因为一一〉0恒成立，所以有q<o,

\-q"q

故可以推出4<0,qwR,

所以“q+4<2a2”是“52„_（<0”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.

2.D

【解析】

推导出函数y=/(x)的图象关于直线x=-1对称，由题意得出/(-1)=0,进而可求得实数〃？的值，并对加的值进

行检验，即可得出结果.

【详解】

•••/(X)=(X+1)2-加COS(X+1)+机2+3加一8,

贝！J/(-l+x)=(-l+x+l)2—/wcos(-l+x+l)+m：!+3/w-8=x2-mcos%+m2+3m-8,

/(-I-%)=(-l-%+l)2-mcos(-l-x+l)+m2+3m-8=x2-mcos%+m2+3，〃一8,

.-./(-l+x)=/(-l-x),所以，函数y=/(x)的图象关于直线x=_l对称.

若函数y=/(x)的零点不为％=-1,则该函数的零点必成对出现，不合题意.

所以，/(-1)=0,即m2+2祖_8=0,解得m=-1或2.

①当帆=T时，令/(x)=(x+l)--4cos(x+l)-4=0,得4cos(x+l)=4-(x+l『，作出函数y=4cos(x+l)与

函数y=4—(x+l『的图象如下图所示：

此时，函数y=4cos(x+l)与函数y=4—(x+l『的图象有三个交点，不合乎题意；

②当机=2时，vcos(x+1)<1,/(x)=(x+1)2-2cos(x+1)+2>0,当且仅当x=—1时，等号成立，则函数

y=/(x)有且只有一个零点.

综上所述，m-2.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出/(-1)=0,在求出参数

后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

3.B

【解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于g(x)与/(X-1)关系，转换成关于“X)的关系式，通过变形求解出了(X)的周期，

进而算出了(2019).

【详解】

g(x)为R上的奇函数，g(0)=/(-1)=0,g(-x)=-g(x)

."./(-l)=0,/(-x-l)=-/(x-l),「J(-x)=-/(%-2)

而函数是R上的偶函数，.•J(x)=〃—尤)，・・./(x)=—”x-2)

；J(x-2)=-〃%-4),/(x)=/(x-4)

故/(x)为周期函数，且周期为4

.-./(2019)=/(-1)=0

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.

4.B

【解析】

连接所，4G，CQ,DF,由正四棱柱的特征可知E/P4G，再由平面的基本性质可知，直线A|E与直线G尸共

面.，同理易得由异面直线所成的角的定义可知，异面直线A片与GF所成角为ZDGF，然后再利用

余弦定理求解.

【详解】

如图所示：

A

连接炉，4G，C】D,DF,由正方体的特征得EFPAG，

所以直线AE与直线G尸共面.

由正四棱柱的特征得Ag〃G。，

所以异面直线Ag与C7所成角为NOGF.

设/^二④，则AB=及44=2,则。口二不，C、F=,C[D=&,

由余弦定理'得"=侬""=热港=当

故选：B

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.

5.B

【解析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.

【详解】

对于A,y=|1g(x+i)|图象如下图所示:

则函数y=|ig(x+i)|在定义域上不单调，A错误;

对于8,>=*2=«的图象如下图所示:

y

0\x

则y=«在定义域上单调递增，且值域为［0,+8),8正确;

对于C,y=2'的图象如下图所示：

则函数y=2•'单调递增，但值域为(0,+力)，C错误;

对于。，y=In可的图象如下图所示：

则函数y=InN在定义域上不单调，。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.

6.D

【解析】

由题意得1=租2+〃2+2f?mcosZAOB，再利用基本不等式即可求解.

【详解】

将OC=mOA+nOB平方得1=»?+"+2mncosZAOB)

l1-m2-n2l-(//z+n)2+2mn3]_

cosZAOB=—+l<-+l=

2mn2mn2mn2X(E)22

（当且仅当根=〃=1时等号成立），

0<ZAOB<九,

.•.4。8的最小值为27考r，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题.

7.B

【解析】

根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实

际高度.

【详解】

设第一展望台到塔底的高度为x米，塔的实际高度为）,米，几何关系如下图所示：

yToo

x

由题意可得纳宁=血，解得x=100（夜+1）；

且满足一2—=0，

x+100

故解得塔高y=（x+100）0=200（0+1卜480米，即塔高约为480米.

故选：B

【点睛】

本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.

8.B

【解析】

根据已知证明平面ABC,只要设AC=x,则BC=14-X2（0<X<2>从而可得体积

1

VE_ABC=tx•"-x=i旧匚刁,利用基本不等式可得最大值.

【详解】

因为DC=BE,DCUBE,所以四边形OC8E为平行四边形.又因为DC±CB,DC±CA,CBnC4=C,CBu平面

ABC,C4u平面ABC,

所以。C_L平面ABC,所以BE1平面ABC.在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

设AC=x,则BC=j4-%2(0<%<2>

所以SMBc=；AC-BC=gx,J二2,所

以瞑-A8c=%x-J匚3=qjx2(4—又因为f(4—三J,当且仅当

.、<24_2Y

X2(4-X2)<^ArArJ,即x=&时等号成立，

所以(腺-由)而=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为X,

用建立体积V与边长》的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值.

9.C

【解析】

求导分析函数在x21n2时的单调性、极值，可得x21n2时，/(x)满足题意，再在x<ln2时，求解/(x)We+2的

x的范围，综合可得结果.

【详解】

当xiln2时，/'(x)=-(x-l)(er-2),

令尸(力>0,则ln2<x<l；/'(x)<0,则x>l,

函数/(x)在(ln2,l)单调递增，在(1,物)单调递减.

函数/(力在x=1处取得极大值为/(1)=e+2,

二x»ln2时，/(X)的取值范围为(-8,e+2],

：・ln2<m<l

又当x<ln2时，令/(x)=3-2xWe+2,则无即9«x<ln2,

1—e..

:.----<m<ln2

2

1—e

综上所述，加的取值范围为”-，1.

故选C.

【点睛】

本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.

10.D

【解析】

利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】

将将函数/=sin2x的图象向左平移9个单位长度，

可得函数g（x）=sin[2（x+夕）]=sin（2x+2（p）

jrJTK7T

又由函数g（x）为偶函数，所以2。=,+版■MeZ,解得0=1+5-,左€2,

JTTT

因为04夕＜一,当k=0时，（p='一）故选D.

24

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用

三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

11.C

【解析】

对人分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.

【详解】

攵为偶数时，4=空工+空q=2；攵为奇数时，A=—*-上工区=-2,则A的值构成的集合为亿-2}.

sinacosasinacosa

【点睛】

本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.

12.A

【解析】

直线/的方程为x=c,令a=l和双曲线方程联立，再由而=2而得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.

a

【详解】

由题意可知直线/的方程为X=2y-C,不妨设a=\.

a

则x=by-c,S.b2=c2-l

2

将x=by-c代入双曲线方程尤2一方v1中，得到位4—1)y2—2^3b+/=0

设4（西,方）,8（%,3）

mu2b3cb4

则时

2b3c

由AR=2Fe，可得）'i=-2%，故｛.

-24上

[%人1

则8%2=i_//,解得

贝!Ic-J"n+1=

3

所以双曲线离心率e=£=叵

a3

故选：A

【点睛】

此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.8后

【解析】

将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.

【详解】

由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示

CD=4，OA=OC=OD=2V2.故正方体体对角线长为S曾+01f=2#，

所以外接球半径为R=#，其体积为:万K=8后.

故答案为：8瓜兀.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正(长)方体中,

是一道中档题.

【解析】

由已知得|Pa=3归闾即忸£『=9俨闾2,归周2=(2一02+2,可解得仁由网2,夜)在双曲线。上,代入即可求得

双曲线方程,然后求得直线PF｝的方程与双曲线方程联立求得点A坐标，借助S骋AF[=SAPFR.S^FR，即可解得所求.

【详解】

由已知得附=3|明，又附『=(2+4+2,附『=(2—)2+2,所以(2+c)?+2=9[(2-4+2],解得

3-2=142(9(9

—Z--7=]ci~=3ci~=2

c=3或。=2,由网2,、0在双曲线C上，所以<a2b~或，a2b2,所以｛2或2(舍去)，因

2-2/。=6b2=2

a2+Z?2=9a+。=4ii

22

此双曲线C的方程为三一2L=1.又耳(-3.0),所以线段PF1的方程为y元+3),与双曲线C的方程联立消去

36

f7⑸

x整理得8y2-10a>+4=0,所以%二手，必=血，所以点A坐标为一7，丁，所以

I44J

S皿==1x6x^-1x6xv=V,

【点睛】

本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，考查求三角形面积，考查学生的计算能力，难度较难.

15.y/14

【解析】

把G绕着A耳进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可求得GP+8P的最小值.

【详解】

将A4gG以4以为轴旋转至与面人484在一个平面，展开图如图所示，若B,C,,尸三点共线时QP+最小为

BCi，M8C；为直角三角形，BCijAB?+AC；

故答案为：y/14

【点睛】

本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力,

属于中档题.

16.4

【解析】

根据题意得出〃=r(o),由此可得出实数〃的值.

【详解】

；/(x)=4sinx+；x3,.•./'(X)=4COSX+X2,直线“一丁一6=0的斜率为〃,

由于函数/(x)=4sinx+：V在x=0处的切线与直线心一y一6=0平行，

贝！)〃=/'(0)=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算

能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)皂羽

【解析】

(1)由已知线面垂直得OE，AC,结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直；

(2)由已知知D4,Z)C,OE两两互相垂直.以分别为x轴，.V轴，c轴建立空间直角坐标系。孙z如图所示,

由已知线面垂直知鸵与平面A8CD所成角为NZ58E=60°,这样可计算出。石,。尸的长，写出各点坐标，求出平面

的法向量，由法向量夹角可得二面角.

【详解】

证明：(1)因为平面ABC。，ACu平面ABC。，所以。E_LAC.

因为四边形ABC。是菱形，所以AC_LB£>.

又因为BDcDE=D，BDu平面3OE,DEu平面BDE,

所以AC，平面BOE.

解：(2)据题设知，D4,£>C,DE两两互相垂直.以ZM,£»C,OE分别为x轴，,轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz如图

DEl

因为鹿与平面ABCO所成角为60。，即NZ58E=60。，所以一=百

DB

又AO=3,O£=34£,所以DE=3瓜AF=®

所以A(3,0,0),8(3,3,0),F(3,0，CE(0,0,3#),C(0,3,0)

所以丽=(0,-3,伺，丽=卜,0,-2伺

一/、-3y+#z=0—

设平面BEF的一个法向量机=(x,y,z),贝叫令2=«，则根=

'[3x-2V6z=0

LM11

因为AC_L平面BO石，所以至为平面3£出的一个法向量，且C4=(3,—3,0)

一加•CA3x4+(-3)x2+Ox>/1-3

而“Icos<m,CA>=I_”_'j....................=-------------------------------------------------

HICA|^42+22+(V6)2.^32+(-3)2+0213，

sin〈加国>=2.

13

所以二面角尸—BE-。的正弦值为

13

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，考查用向量法求二面角.立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系,

用空间向量法求空间角，这样可减少思维量，把问题转化为计算.

18.(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)对函数求导，对参数，”讨论，得函数单调区间，进而求出极值；

(2)〃应是方程/")+〃22%2=0的两根，代入方程，化简换元，构造新函数利用函数单调性求最值可解.

【详解】

(1)依题意，/'(幻，-加-2后=-―2=(1+询(1―2制；

XXX

若加=0,则八x)=L>0,则函数/(x)在(0,+8)上单调递增，

此时函数/(X)既无极大值，也无极小值；

若根>。，贝！J1+如>0,令/'(X)=。，解得x=，一,

2m

故当xe(0,L)时，f'(x)>Q,/(x)单调递增；

2m

当xe(—1,+8)时，f'(x)<Q,/(x)单调递减，

2m

此时函数有极大值/(1一)=In」一一m--——m2(—)2=ln-—―无极小值；

2m2m2m2m2m4

若invO,贝！11一2mx>0,令fr(x)=0,解得x=---,

m

故当xe(0,—,)时，/'(x)>0,/(x)单调递增；

m

当xe(—工,+8)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

m

此时函数/(x)有极大值J[-■=ln(-■)-//22(-■-)2=ln(一■-),无极小值；

mjmmmm

(2)依题意，lnx—/m:=0,贝！Jlnp=mp,lnq=mq,

故Inq-Inp=m(q-p),Inp+lnq=m{p+q)；

要证：lnp+ln4〉2,即证"z(p+9)>2,

\nq-\np,、一,q2(q-n)

即证：一-——Hp+q)>2,即证InZ〉,

q-ppp+q

设,'（A）,只需证：S等%〉1）,

设g(/)=ln‘一甘'则g⑺=编>°'

故g。）在（l,y）上单调递增，故g«）>g（l）=o,

即InfJ"故lnp+lnq〉2.

t+\

【点睛】

本题考查函数极值及利用导数证明二元不等式.

证明二元不等式常用方法是转化为证明一元不等式，再转化为函数最值问题.利用导数证明不等式/（X）>g（x）的基本

方法:

⑴若与g（x）的最值易求出，可直接转化为证明/U）min>g（x）g*；

⑵若/（X）与g（x）的最值不易求出，可构造函数〃（x）=/（x）—g（x）,然后根据函数〃（%）的单调性或最值，证明

h（x）>0

£722

19.(I)①；(II)—+^-1.

123

【解析】

be1

试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得1=—,又有d=-c,联立可求离心率；

a2

（2）由（1）设椭圆方程，再设直线A3方程，与椭圆方程联立，求得令|A却=而，可得b,即得椭圆方程.

试题解析：（I）过点（c,O）,（O,。）的直线方程为云+cy-bc=O,

,bebe

则原点。到直线的距离d=——-=—

扬+。2a

由d=gc,得4=给=242一天,解得离心率e=£=@

2a2

（U）由⑴知，椭圆E的方程为f+4y2=4ZA

依题意，圆心M（—2,1）是线段AB的中点，且|AB|=JI5.

易知，AB不与'轴垂直.

设其直线方程为y=A(x+2)+l,代入(1)得

(1+4左2)为2+8左(2%+I)X+4(2Z+1)2—482=0.

设A(石，y),5(%,%)，则%+”―8：(2：广),_4(2^+1)_-4^>

1+4H1-1+以2

由斗+々=-4,得-也竺？)=-4,解得々=1.

-1+4公2

从而芭马=8-2b2.

于是\AB\=J二1-^1-^|=|5(%+工2)2一4内々=，。(从-2).

i|AB|=V10,得｛10(从_2)=回,解得〃=3.

r2V2

故椭圆E的方程为土+匕=1.

123

20.(I)a=2；(II)3.

【解析】

(I)先求导，得/'(x)=lnx+x+l-a,已知导函数单调递增，又/(X)在区间已+②)上单调递增，故

./"]=】啖-畀120,令g(a)=lng*+l,求得g，(a)=t，讨论得g(a)4g⑵=0,而g(a”0,故g(a)=0,

进而得解；

(II)可通过必要性探路，当x=2时，由〃2)=21n2+2-a>0知q<21n2+2v4,又由于aeZ,则%”=3,当

2

«=3,/(^)=xlnA-+y-3(A--l),f'(x)=lnx+x-2,结合零点存在定理可判断必存在％e(1,1.6)使得尸(%)=0,

得ln%=2-%,/(x)min=/(^)=x0Inx0+^--3(^-1),化简得/(x)的=3—品一不，再由二次函数性质即可求证；

【详解】

(I)/(X)的定义域为(0,+8),f\x)=\nx+x+l-a.

易知/'(x)单调递增，由题意有广(£)=ln£-^|+120.

令g(a)=l吗4+1,贝Ug'(a)=£^.

令g，(a)=O得a=2.

所以当0<a<2时，g'(a)>0,g(a)单调递增；当a>2时，g'(a)<0,g⑷单调递减.

所以g(“)4g(2)=0,而又有g(a)20,因此g(a)=0,所以a=2.

(II)由/(2)=21n2+2-a>。知q<21n2+2<4,又由于“eZ,贝(JanaxuS.

下面证明a=3符合条件.

若a=3,“X)=xlnx+,-3(x-1).所以/'(x)=lnx+x-2.

易知了'(X)单调递增，而(⑴=-1<0,/,(1.6)«0.5+1.6-2=0.1>0,

因此必存在与«1,1.6)使得/(%)=0,即In%=2-%.

且当为€(0,玉))时，/'(x)<0,/(x)单调递减；

当xe(Xo，+8)时，/'(x)>0,/(x)单调递增；

2

=X

则/(x)min=fM0lnX0+^--3(X0-l)

=%(2-*0)+寸-3(%-1)=3^--x0>3—--1.6=0,12>0.

综上，。的最大值为3.

【点睛】

本题考查导数的计算，利用导数研究函数的增减性和最值，属于中档题

兀

21.(1)-；(2)a=5

4

【解析】

(1)由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得6csinA=6