不等式及其性质(教师版)

1初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2.理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大.它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小表示左边的量比右边的量小表示左边的量比右边的量大即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≤”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量“≥”读法读作“不等于”读作“小于”读作“大于”读作“小于或等于”读作“大于或等于”“≠”“<ℽ“>ℽ(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立.类型一、不等式的概念例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式.（1）4＜5；（2）x2+1＞0；（3）x＜2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a≥4a-2.1.（2017春•城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃,最低气温为18℃,已知某一天的气温为t℃,则下面表示气温之间的不等关系正确的是()2.（2017春•未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-2初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组13y-4＜1；⑤2m≥n；⑥2x-3，其中不等式有()⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有()4.（2017春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是()A．两种客车总的载客量不少于500人B．两种客车总的载客量不超过500人C．两种客车总的载客量不足500人D．两种客车总的载客量恰好等于500人5.已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空.A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零10不大于2”可表示为a2-10<12；③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表x只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，3(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；3初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组③未知数的最高次数为1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向.5-B．2x＞1-x2Cx变式练习22017春•平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是()1x4.若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的5.下列不等式中，是一元一次不等式的有个.要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变.不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”,错的打“×”).（2）如果﹣5x＞20，那么x4；【答案与解析】4初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组改变.例4.（2017•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是()【思路点拨】根据不等式的性质分析判断.【答案】D.【解析】D、若a＞b，则﹣a<﹣b，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1方向要改变.3m3解：∵将“mx＜3”变形为“x＞-”，m【巩固练习】一、选择题有()2．下列不等式表示正确的是().A．a不是负数表示为a＞0B．x不大于5可表示为x＞5C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0A．2个B．3个C．4个D．5个5初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是()A．a+3＞b+3B．2a＞2bC．-a＜-bD．a-b＜05．若5．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是.A.a>cB.a<cC.a<b6．下列变形中，错误的是(D.b<cB．若23二、填空题8．用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为.9．在-l，1223是不等式-x＞0的解.10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空11．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空.(1)2aa+b(2)--12.k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是使用形如a≤x≤b的类似式子填空.)三、解答题①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变.）；②当a=-3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是；③当a=1，b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是；④根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系；6初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组⑤用a、b的其他值检验你的猜想.15．已知x＜y，比较下列各对数的大小.(1)8x-3和8y-3；(2)-x+1和-y+1；(3)x-2和【答案与解析】一、选择题【解析】从不等式a＜b入手，由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式a＜b的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a＜2b，故选项B不成立；由不等式的性质3，不等式a质1，不等式a＜b的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b＜0．故应选D.二、填空题【解析】在a＜b的两边同时乘以﹣3，得3a3b，两边同12【解析】一一代入验证.＞；【解析】利用不等式的性质进行判断。三、解答题7初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组a2+b2=34，2ab=30，2+b2＞2ab；②当a=-3，b=5时，a2+b2=34，2ab=-30，2+b2＞2ab；a2+b2=2，2ab=2，2+b2=2ab；），2+b2-2ab≥0，2+b2≥2ab.⑤设a=2，b=2，则a2+b2=2ab=8，上述结论正确；设a=5，b=3，则a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b2＞2ab，∴-x+1>-y+1.∴x-2＜y-1.类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是().8初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的.【答案】D.【解析】每一个糖果的重量小于克．故A选项错；两个糖果的重量小于=10克故B选项错；故D选项对.x4=313合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式.【变式】设“【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，【答案】C.类型二、不等式的基本性质类型二、不等式的基本性质ba【答案】B.22得c9初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.【变式1】a、b是有理数，下列各式中成立的是().C．若a≠b，则｜a|≠|b|D．若｜a|≠|b|，则a≠b【答案】D.【答案】x<﹣1.解：∵点P（1﹣m，m）在第一象限，∴不等式（m﹣1）x＞1﹣m，∴（m﹣1）xm﹣1不等式两边同时除以m﹣1，得：x<﹣1，3.设a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若M=b+caN=ba+b,P=,c∴M==−1−,∴>0∴−1−a<−1<−1−c<−1−b【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了4.（2016春唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围.【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解.【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2.又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y1.又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，ⅆ①【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x<﹣1，y＞1，求x+y的取值范围.【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解.【答案与解析】解：∵x﹣y=﹣3，又∵x<﹣1，∴y﹣3<﹣1，∴1＜y＜2，ⅆ①同理得﹣2＜x<﹣1…②除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变.初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组【巩固练习】一、选择题A．4个B．3个C．2个D．1个2.若a+b＞0，且b＜0，则a，b，-a，-b的大小关系为.A．-a＜-b＜b＜aB．-a＜b＜-b＜aC．-a＜b＜a＜-bD．b＜-a＜-b＜aA．1个B．2个C．3个D．0个14．若0＜x＜1，则x，-，x2的大小关系是().x2其中不等式正确的是.a、b、c、<<<①62016春•丰台区期末）下列不等式变形正确的是()二、填空题7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为xm，则用不等式表示图中标志的意义为.2(2)若m＜0，ma＜mb，则ab.10．已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是.112016春•济南校级期末）下列判断中，正确的序号为.初二下册第二章一元一次不等式及一元一次不等式组12．如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是.三、解答题(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之