3.2双曲线 讲义 高二上学期数学人教A版选择性 学生

课题：双曲线知识点11．双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹．（（为常数）．这两个定点叫双曲线的焦点．【（1）距离之差的绝对值．（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同】2．双曲线的标准方程：（焦点在x轴上）和（焦点在y轴上）（a＞0，b＞0）．这里，其中||=2c．要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同．标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）图形3．双曲线的内外部：（1）点在双曲线的内部．（2）点在双曲线的外部．（3）（，其中||=2c，焦点位置看谁的系数为正数）焦点在x轴上：（a＞0，b＞0）；焦点在y轴上：（a＞0，b＞0）；；）PPPPHHF2xF1oy双曲线第二定义：当动点M（x，y）到一定点F（c，0）的距离和它到一定直线的距离之比是常数时，这个动点M（x，y）的轨迹是双曲线．其中定点F（c，0）是双曲线的一个焦点，定直线叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率．双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径．知识点31．双曲线的简单几何性质：－=1（a＞0，b＞0）（1）范围：|x|≥a，y∈R；（2）对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称；（3）顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0）（4）渐近线：①若双曲线方程为渐近线方程；②若渐近线方程为双曲线可设为；③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）；=4\*GB3④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；=5\*GB3⑤与双曲线共焦点的双曲线系方程是双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1（－a,0），A2（a,0）A1（0，－a），A2（0，a）渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈（1，＋∞），其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）2．弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝．【注1】1．（1）当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；（2）当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；（3）当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；（4）当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上．3．求双曲线的标准方程，应注意两个问题：（1）正确判断焦点的位置；（2）设出标准方程后，运用待定系数法求解．【注2】1．双曲线的轨迹类型是；2．双曲线标准方程的求解方法是”待定系数法”，“先定型，后计算”．【注3】1．与双曲线共渐进线（）的双曲线系方程是2．等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b）（1）形式：（）（2）离心率（3）两渐近线互相垂直，为y=；3．等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项．4．共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线）【注4】1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（1，eq\r(2)）；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝eq\r(2)；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞eq\r(2)．2．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系：双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq\r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b5．渐近线与离心率：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的斜率为eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,a2))＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1)．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．典型例题例1在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（

）A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支例2设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（

）A．5 B．1 C．3 D．1或5例3已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（

）A．28 B．36 C．44 D．48例4设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B． C． D．30例5设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（

）A．6 B．9 C．12 D．14例6双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（）A．2或12 B．2或18 C．18 D．2例7设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（）A．2 B． C．4 D．例8是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9例9已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（

）A． B． C． D．例10已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（

）A．3 B．1 C． D．例11已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（）A．B．C．或D．或例12已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线上的一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．例13过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条例14若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．例15双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．例16双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3例17已知，是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（）A．1 B．2 C．3 D．4例18设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．例19已知双曲线的左､右焦点分别为，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．例20（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，，是双曲线上一点，若，则该双曲线的离心率可以是（）A． B． C． D．2例21已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．例22直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1例23已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3例24已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．例25若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______．例26分别求满足下列条件的曲线方程（1）以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；（2）过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．（3）焦点在轴上，虚轴长为，离心率为；（4）顶点间的距离为，渐近线方程为．（5），，焦点在x轴上；（6）焦点为､，经过点．例27过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线．（1）求证：与双曲线有两个不同的交点；（2）求线段的中点的坐标和．举一反三1．若点P是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（）．A． B． C． D．3．已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A．B．C．D．4．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为（）A．B．C．或D．或5．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A．B．C．D．6．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．7．点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率（

）A． B． C． D．8．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（

）A． B． C． D．9．已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（

）A．2 B． C． D．10．（多选）若三个数1，，9成等比数列，则圆锥曲线的离心率可以是（）A． B． C． D．11．设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．12．若双曲线的离心率，则（）A．3 B．12 C．18 D．2713．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．14．已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．15．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（）A． B． C． D．216．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．17．已知分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点且满足，则此双曲线离心率的取值范围（）A． B． C． D．18．已知点分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A． B．或 C．2 D．319．设双曲线上有两点，，中点，则直线的方程为________________．20．已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．21．过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.22．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.23．已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为．设分别为双曲线的左、右焦点．若，则．24．已知双曲线，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆．则M的横坐标为，若F1到圆M上点的最大距离为，则△F1PF2的面积为．25．已知双曲线x2y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则∣PF1∣+∣PF2∣的值为．26．与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为______．27．（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为_____．（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为_____．（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为_____．28．已知双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．29．焦点在x轴上，经过点P（4，－2）和点Q（2，2）的双曲线的标准方程为________．30．实轴在x轴上，实轴长为12，一条渐近线的方程为的双曲线方程为______．31．已知，则圆锥曲线的离心率等于______．32．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则双曲线的离心率是______．课后练习1．“k<2”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知双曲线的左右焦点，，是双曲线上一点，，则（）A．1或13 B．1 C．13 D．93．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A．9 B．5 C．8 D．44．已知，分别是双曲线的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且．则的面积为（）A．8 B． C．16 D．5．已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（）A．4 B．4或6 C．3 D．3或76．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为11，则点到的距离为（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或217．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（）A． B． C． D．8．双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．9．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．10．双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．11．在中，，．若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，点在轴上，为等边三角形，且线段的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C． D．13．直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（

）A．B．C．D．14．若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．15．过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．16．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．17．直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）