2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题2统计案例大题考法2线性回归方程

大题考法2线性回归方程(2023·广东模拟)已知甲、乙两地区2016年至2022年这七年某产业收入(亿元)的数据如下图所示．(1)如果从甲、乙两地的这七年收入中各随机抽取一年的收入，求抽得的甲地收入大于乙地收入的概率；(2)利用统计模型估计该产业2023年乙地收入会比甲地收入多多少亿元．附：回归系数、回归方程的截距计算公式如下：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解：(1)记从甲、乙两地的这七年收入中各随机抽取一年的收入为事件A，记抽得的甲地收入大于乙地收入为事件B，则事件A有7×7＝49(种)，事件B有14种，(65.4，65.0)，(67.1，65.0)，(68.2，65.0)，(69.8，65.0)，(69.8，68.7)，(73.2，65.0)，(73.2，68.7)，(73.2，70.7)，(73.2，72.6)，(75.8，65.0)，(75.8，68.7)，(75.8，70.7)，(75.8，72.6)，(75.8，74.6)；故所求的概率为P＝eq\f(14,49)＝eq\f(2,7).(2)由图中数据，计算eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,7)×(62.1＋65.4＋67.1＋68.2＋69.8＋73.2＋75.8)＝68.8，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－6.7)×(－3)＋(－3.4)×(－2)＋(－1.7)×(－1)＋0＋1×1＋4.4×2＋7×3＝59.4，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\o(b,\s\up6(^))甲＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,7,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(59.4,28)≈2.121，eq\o(a,\s\up6(^))甲＝eq\o(y,\s\up6(－))甲－eq\o(b,\s\up6(^))甲eq\o(x,\s\up6(－))＝68.8－2.121×4≈60.32；所以甲地y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))甲＝2.12x＋60.32，x＝8(即2023年)时，eq\o(y,\s\up6(^))甲＝2.12×8＋60.32＝77.28；计算eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,7)×(65＋68.7＋70.7＋72.6＋74.6＋78.4＋81.7)＝73.1，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－8.1)×(－3)＋(－4.4)×(－2)＋(－2.4)×(－1)＋0＋1×1.5＋5.3×2＋8.6×3＝73.4，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\o(b,\s\up6(^))乙＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,7,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(73.4,28)≈2.621，eq\o(a,\s\up6(^))乙＝eq\o(y,\s\up6(－))乙－eq\o(b,\s\up6(^))乙eq\o(x,\s\up6(－))＝73.1－2.621×4≈62.62；所以乙地y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))乙＝2.62x＋62.62，x＝8(即2023年)时，eq\o(b,\s\up6(^))乙＝2.62×8＋62.62＝83.58；所以eq\o(y,\s\up6(^))甲－eq\o(y,\s\up6(^))乙＝83.58－77.28＝6.3，利用统计模型估计该产业2023年乙地收入会比甲地收入多6.3亿元．1．相关系数r的绝对值越大，两个变量的相关性越强．2．求线性回归方程时注意给定公式的变形eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，准确计算是关键．(2023·广东模拟)某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得到了销量y(单位：百万盒)与单价x(单位：元/盒)的如下数据：x66.26.46.66.8y5045454035(1)根据以上数据，求y关于x的经验回归方程；(2)在所有顾客中随机抽取部分顾客(人数很多)进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中“体验非常好”的人数为随机变量η，求η的分布列和均值．参考公式：回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).参考数据：eq\i\su(i＝1,5,)xiyi＝1369,eq\i\su(i＝1,5,)xeq\o\al(2,i)＝205.2.解：(1)根据表格数据可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(6＋6.2＋6.4＋6.6＋6.8,5)＝6.4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(50＋45＋45＋40＋35,5)＝43，根据附注公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)eq\f(1369－5×6.4×43,205.2－5×6.42)＝－17.5，于是eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝43－(－17.5)×6.4＝155，故经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－17.5x＋155.(2)依题意，η可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，由于顾客人数很多，可近似认为η服从二项分布，即η～B(8，eq\f(1,2))，P(η＝k)＝Ceq\o\al(k,8)(eq\f(1,2))k·(eq\f(1,2))8－k＝eq\f(Ceq\o\al(k,8),28)，其中k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8}．故P(η＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,8),28)＝eq\f(1,256)，P(η＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8),28)＝eq\f(8,256)＝eq\f(1,32)，P(η＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8),28)＝eq\f(7,64)，P(η＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),28)＝eq\f(7,32)，P(η＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(4,8),28)＝eq\f(35,128)，P(η＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(5,8),28)＝eq\f(7,32)，P(η＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(6,8),28)＝eq\f(7,64)，P(η＝7)＝eq\f(Ceq\o\al(7,8