3.2.1单调性（第一课时）教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版

3.2.1《单调性（第一课时）》教学设计教学内容分析函数的单调性是继函数概念之后研究的第一个基本性质，它反应了函数值随着自变量的变化规律。学生首次尝试用符号语言刻画函数的性质，相对于自然语言和图形语言更抽象、更难理解。学生的认知经历了从直观感受到抽象概括的过程，是认知水平的一次历史性飞跃。用严谨的数学符号定义函数的性质，是对函数研究的深化与发展，也为以后研究函数其它的性质打下了基础，提供了方法和依据。二、学生学情分析学生在前面学习了函数的表示，具备了作一些简单函数图像的方法。了解到函数值会随着自变量的增大而增大（或减小）的规律，有一定观察、归纳的能力，积累了一些研究函数问题的经验。但逻辑思维水平和抽象概括能力的欠缺，会导致学生产生认知障碍，从感性到理性的转变是一个巨大的挑战，会让部分学生感觉无所适从。教师在教学过程中要降低起点和难度，通过问题环节的设置搭建思维阶梯，逐步渗透数学符号。教学目标知识与能力①理解函数单调性的概念②会用数学符号刻画函数的单调性③初步掌握函数单调性的判断和证明方法过程与方法：经历直观感受、定性描述到定量刻画的过程，体验数学的严谨性。通过自主探究、合作交流引发学生思考，培养数形结合、分类讨论等数学思想方法情感态度与价值：养成用发展变化的眼光看待问题的习惯，同时让学生体会数学的逻辑性和艺术美。四、教学重点和难点1、教学重点：单调性的概念与判断2、教学难点：用符号语言刻画函数的单调性五、教法与学法1、教法：问题引导、启发式教学2、学法：自主探究、合作交流六、教学过程（一）课前回顾函数有哪几种表示方法，并说出他们各自的优点。（学生回答、老师点评）【设计意图：引出刻画函数性质的图形语言，函数图像可以形象直观地展示函数值随着自变量的变化规律】新课引入活动1、齐唱北山之歌，以时间作为x轴，声波作为y轴建立了平面直角坐标系，得到了声波的函数图象。【设计意图：用校歌激发学生对学校的热爱，体现数学的育人价值，同时让学生感受音乐感性美和数学理性美之间的联系。】活动2、请观察以下各个函数的图象，从中你能发现函数图象的哪些特点？学生回答：图象的升降变化，对称性，最高点或最低点等教师追问：从左往右看，图象有什么变化趋势？当自变量x增大时，函数值y有什么变化趋势？【设计意图：让学生直观感受单调性的图形特征，明确图像的升降变化的实质就是函数值随着自变量的变化趋势，为“形”到“数”的过渡作铺垫，引出课题】生成概念活动3、结合函数图像，用自己的语言谈谈对单调性的理解问题1：如何用数学符号刻画y=f(x)在区间I上“上升”这个特征呢？（教师引导学生探究）“x增大”如何表示？“y增大”如何表示？“x增大”如何表示？“y增大”如何表示？图象语言：从左至右呈上升趋势文字语言：当x增大时，y也在增大.符号语言：？【设计意图：让学生感受到单调性是函数的局部性质，初步引入数学符号】问题2：在给定区间I内取两点，当x1<x2时,满足f(问题3：以下哪种方案能说明函数y=f(x)在区间I上单调递增？方案一：取n个点满足“上升”趋势；方案二：取无数个点满足“上升”趋势；方案三：所有的点满足“上升”趋势.结论：y=f(x)在区间I上单调递增的符号语言：任意x1，x2∈I，当x1<x2时,都有f(x【设计意图：突出自变量取值的任意性，两个、多个、无数个都不能代表全部，让学生理解如何取值才具有一般性，利用学生的思维节点进行更深层次的思考。】增函数的定义：一般地，函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果x1，x2∈I，当x1<x2时,都有f(x特别地，若函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.活动4、你能类比单调递增和增函数的定义，给出单调递减和减函数的定义吗？（学生分组讨论、合作探究、教师给与点评）【设计意图：突出学生的主体性、调动学生学习的积极性和主动性，通过类比、归纳，得出减函数的定义】减函数的定义：一般地，函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果x1，x2∈I，当x1<x2时,都有f(x特别地，若函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。活动5、用三种不同的语言，刻画二次函数fxff图像特征文字语言符号语言结论【设计意图：从简单的函数入手，让学生体会刻画函数单调性的三种不同语言。】（四）概念辨析（分组合作，组内讨论，派代表发言，教师评价）练习1请判断以下说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”.（1）已知定义在R上的函数fx=（2）若定义在R上的函数f(x)满足f(2)<f(3)，则函数f(x)在[2,3]上单调递增.（）（3）若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则在(1,3)上均为增函数.（）（4）因为函数fx=1x在区间(∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，所以f上是减函数（）【设计意图：进一步巩固对概念的理解，强调任意性和单调区间之间不能用“∪”】（五）典例解析例1、已知函数f(x)=kx+b(k≠0)（学生叙述、教师板演）（1）你能直接说出它的单调性吗？（2）根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.【设计意图：规范学生用数学符号证明函数单调性的过程，初步培养分类讨论的数学思想方法】证明函数在区间I上单调性的基本步骤：第一步，任取两个自变量的值x1，x2∈I，fx1−第二步，将fx1−f(x2)分解为若干个可以直接确定符号的式子，确定fx第三步，若fx1−f(x2))<0，则函数在区间I上单调递增，若fx物理学中的波意尔定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强P将减小，P与V成反比，试写出这个物理情景对应的函数关系式，并对此函数的单调性证明.（学生板演、教师点评）【设计意图：巩固用定义法证明单调性的一般步骤，检验学生的学习掌握情况，同时让学生感受到数学与物理的联系。】当堂检测练习、根据定义证明函数fx=x+【设计意图：对单调性的证明进行巩固加深，让学生产生学习数学的成就感，培养逻辑思维能力和数学表达能力。】课堂总结1、函数单调性的概念;2、判断函数单调性的方法和一般步骤;3、研究函数单调性的思想方法有哪些？;4、蕴含了哪些数学核心素养？【设计意图：关注学生的学习情况，反思收获和体验，总结数学方法与技能】布置作业1、书面作业：课本86页习题3.2第2、3、8题.2、拓展作业：（1）课本86页习题3.2第9题；（2）做出函数fx3、探究作业：1.完成课本78页例2的证明；2.找一找函数的单调性在其他学科中的应用.【设计意图：因材施教，满足不同层次学生的需求。逐步提升学生思维，培养学生独立思考、自主专研的精神。将所学知识与方法进行再认识和升华，进一步促进认知结构内化】教学反思与评价教学反思本节课围绕概念教学的核心内容展开，落实立德树人，充分体现了数学的德育功能。教学过程由浅入深、层层递进。利用环环相扣的问题引发学生思考，突破各个学习关键。在概念背景中培养直观想象能力，在生成概念和方法的过程中培养抽