【数学】三角函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2三角函数的概念第五章

三角函数5.2.1三角函数的概念探索新知停顿

问题1如何研究具体的函数类型，我们研究对数函数的路径是什么?背景概念图象和性质应用回顾：在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ACB在Rt△ABC中，它们是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数.对边邻边斜边特殊角的三角函数值探索新知上述定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，如:停顿师生互动，探索新知

问题2如图：圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转。如何借助角α的大小变化刻画点P的位置变化呢？

先研究单位圆上点P的变化情况。﹒探索新知

一般地，任意给定一个角

∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.

所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角

的函数.

以原点O为圆心，以单位长度（r=1）为半径的圆称为单位圆。yox1M探索新知探索新知任意角三角函数的定义

注意：正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.设

是一个任意角，

∈R

，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y).

﹒

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数

余弦函数

正切函数

探索新知根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）思考三角函数定义域

R

R﹒探索新知思考：初中我们学习的锐角三角函数与任意角三角函数的定义有什么区别和联系？锐角三角函数

任意角三角函数探索新知P解：如图，在直角坐标系中，作

，易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为

，所以

典型例题例2

如图,设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y),点P与原点的距离为r.求证：α结论：任意角α的三角函数值仅与α有关，与点P在角的终边上的位置无关.∽

典型例题③

叫做的正切，即任意角的三角函数第二定义xyMP(x,y)

变式：已知角α的终边过点P(-12a,5a)（a≠0）,求角α的三角函数值。那么①叫做的正弦，即

②

叫做的余弦，即探索新知设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离α0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°α的弧度sinαcosαtanα特殊角的三角函数值--

---探索新知-前面我们学习了三角函数的定义，根据已有的学习经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？由三角函数的定义以及任意角α是的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现三角函数值的符号有什么规律吗？探索新知三角函数y=sinxy=cosxy=tanx定义域象限角三角函数值符号探究：根据任意角的三角函数的定义，确定正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域，再确定这三种三角函数的值在各个象限的符号．

象限角函数值取正：一全二正弦，三切四余弦.

答案：√，×，×.

答案：C.典型例题

证明：先证充分性．因为①式sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；又因为②式tanθ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．例3.求证：角θ为第三象限角的充要条件是

因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．典型例题

再证必要性．因为①式sinθ＜0成立，由定义①②式都成立．例3求证：角θ为第三象限角的充要条件是

典型例题练习：(1)若，试指出所在的象限；(2)若在第三象限，判断

的符号.第三象限典型例题探究2：现在我们尝试从三角函数的定义出发，讨论一下什么时候三角函数取值相等？由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此，我们可以得到一组公式：公式一

探索新知（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．

（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．（2）你认为诱导公式一有什么作用？追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？探索新知【例