传感器原理及工程应用课件

第1章感測器與檢測技術的理論基礎1.1測量概論1.2測量數據的估計和處理返回主目錄第1章傳感與檢測技術的理論基礎

1.1測量概論在科學技術高度發達的現代社會中,人類已進入瞬息萬變的資訊時代。人們在從事工業生產和科學實驗等活動中,主要依靠對資訊資源的開發、獲取、傳輸和處理。感測器處於研究對象與測控系統的介面位置,是感知、獲取與檢測資訊的窗口,一切科學實驗和生產過程,特別是自動檢測和自動控制系統要獲取的資訊,都要通過感測器將其轉換為容易傳輸與處理的電信號。

在工程實踐和科學實驗中提出的檢測任務是正確及時地掌握各種資訊,大多數情況下是要獲取被測對象資訊的大小,即被測量的大小。這樣，資訊採集的主要含義就是測量#,取得測量數據。

“測量系統”這一概念是傳感技術發展到一定階段的產物。在工程中,需要有感測器與多臺儀錶組合在一起,才能完成信號的檢測,這樣便形成了測量系統。尤其是隨著電腦技術及資訊處理技術的發展,測量系統所涉及的內容也不斷得以充實。為了更好地掌握感測器,需要對測量的基本概念#,測量系統的特性#,測量誤差及數據處理等方面的理論及工程方法進行學習和研究,只有瞭解和掌握了這些基本理論,才能更有效地完成檢測任務。

一、測量測量是以確定量值為目的的一系列操作。所以測量也就是將被測量與同種性質的標準量進行比較,確定被測量對標準量的倍數。它可由下式表示:或（1-1）（1-2）

式中：x——被測量值;u——標準量,即測量單位;n——比值（純數）,含有測量誤差。

由測量所獲得的被測的量值叫測量結果。測量結果可用一定的數值表示,也可以用一條曲線或某種圖形表示。但無論其表現形式如何,測量結果應包括兩部分：比值和測量單位。確切地講,測量結果還應包括誤差部分。被測量值和比值等都是測量過程的資訊,這些資訊依託於物質才能在空間和時間上進行傳遞。參數承載了資訊而成為信號。選擇其中適當的參數作為測量信號,例如熱電偶溫度感測器的工作參數是熱電偶的電勢,差壓流量感測器中的孔板工作參數是差壓ΔP。測量過程就是感測器從被測對象獲取被測量的資訊,建立起測量信號,經過變換、傳輸、處理,從而獲得被測量的量值。

二、測量方法實現被測量與標準量比較得出比值的方法,稱為測量方法。針對不同測量任務進行具體分析以找出切實可行的測量方法,對測量工作是十分重要的。對於測量方法,從不同角度,有不同的分類方法。根據獲得測量值的方法可分為直接測量、間接測量和組合測量;根據測量的精度因素情況可分為等精度測量與非等精度測量;根據測量方式可分為偏差式測量、零位法測量與微差法測量;根據被測量變化快慢可分為靜態測量與動態測量;根據測量敏感元件是否與被測介質接觸可分為接觸測量與非接觸測量;根據測量系統是否向被測對象施加能量可分為主動式測量與被動式測量等。

1．直接測量、間接測量與組合測量

在使用儀錶或感測器進行測量時,對儀錶讀數不需要經過任何運算就能直接表示測量所需要的結果的測量方法稱為直接測量。例如,用磁電式電流錶測量電路的某一支路電流,用彈簧管壓力錶測量壓力等,都屬於直接測量。直接測量的優點是測量過程簡單而又迅速,缺點是測量精度不高。在使用儀錶或感測器進行測量時,首先對與測量有確定函數關係的幾個量進行測量,將被測量代入函數關係式,經過計算得到所需要的結果,這種測量稱為間接測量。間接測量測量手續較多,花費時間較長,一般用在直接測量不方便或者缺乏直接測量手段的場合。

若被測量必須經過求解聯立方程組,才能得到最後結果,則稱這樣的測量為組合測量。組合測量是一種特殊的精密測量方法,操作手續複雜,花費時間長,多用於科學實驗或特殊場合。2．等精度測量與不等精度測量

用相同儀錶與測量方法對同一被測量進行多次重複測量,稱為等精度測量。用不同精度的儀錶或不同的測量方法,或在環境條件相差很大時對同一被測量進行多次重複測量稱為非等精度測量。

3．偏差式測量、零位式測量與微差式測量

用儀錶指針的位移（即偏差）決定被測量的量值,這種測量方法稱為偏差式測量。應用這種方法測量時,儀錶刻度事先用標準器具標定。在測量時,輸入被測量,按照儀錶指針在尺規上的示值,決定被測量的數值。這種方法測量過程比較簡單、迅速,但測量結果精度較低。用指零儀錶的零位指示檢測測量系統的平衡狀態,在測量系統平衡時,用已知的標準量決定被測量的量值,這種測量方法稱為零位式測量。在測量時,已知標準量直接與被測量相比較,已知量應連續可調,指零儀錶指零時,被測量與已知標準量相等。例如天平、電位差計等。零位式測量的優點是可以獲得比較高的測量精度,但測量過程比較複雜,費時較長,不適用於測量迅速變化的信號。

微差式測量是綜合了偏差式測量與零位式測量的優點而提出的一種測量方法。它將被測量與已知的標準量相比較,取得差值後,再用偏差法測得此差值。應用這種方法測量時,不需要調整標準量,而只需測量兩者的差值。設:N為標準量,x為被測量,Δ為二者之差,則x=N+Δ。由於N是標準量,其誤差很小,且ΔN,因此可選用高靈敏度的偏差式儀錶測量Δ,即使測量Δ的精度較低,但因Δx,故總的測量精度仍很高。微差式測量的優點是反應快,而且測量精度高,特別適用於線上控制參數的測量。圖1–1測量系統原理結構框圖

三、測量系統

1.測量系統構成

測量系統是感測器與測量儀錶、變換裝置等的有機組合。圖1-1表示測量系統原理結構框圖。

系統中的感測器是感受被測量的大小並輸出相對應的可用輸出信號的器件或裝置。數據傳輸環節用來傳輸數據。當測量系統的幾個功能環節獨立地分隔開的時候,則必須由一個地方向另一個地方傳輸數據,數據傳輸環節就是完成這種傳輸功能。數據處理環節是將感測器輸出信號進行處理和變換。如對信號進行放大、運算、線性化、數-模或模-數轉換,變成另一種參數的信號或變成某種標準化的統一信號等,使其輸出信號便於顯示、記錄,既可用於自動控制系統,也可與電腦系統聯接,以便對測量信號進行資訊處理。

數據顯示環節將被測量資訊變成人感官能接受的形式,以完成監視、控制或分析的目的。測量結果可以採用模擬顯示,也可採用數字顯示,也可以由記錄裝置進行自動記錄或由印表機將數據列印出來。

2．開環測量系統與閉環測量系統（1）開環測量系統開環測量系統全部資訊變換只沿著一個方向進行,如圖1-2所示。其中x為輸入量,y為輸出量,k1、k2、k3為各個環節的傳遞係數。輸入、輸出關係為

y=k1k2k3x(1-3）圖1-2開環測量系統框圖

採用開環方式構成的測量系統,結構較簡單,但各環節特性的變化都會造成測量誤差。（2）閉環測量系統-閉環測量系統有兩個通道,一為正向通道,二為回饋通道,其結構如圖1-3所示。圖1–3閉環測量系統框圖

其中Δx為正向通道的輸入量,β為回饋環節的傳遞係數,正向通道的總傳遞係數k=k2k3。由圖1-3可知:

xf=βy

y=kΔx=k(x1-xf)=kx1-kβy當k>>1時，則

顯然,這時整個系統的輸入輸出關係由回饋環節的特性決定,放大器等環節特性的變化不會造成測量誤差,或者說造成的誤差很小。根據以上分析可知,在構成測量系統時,應將開環系統與閉環系統巧妙地組合在一起加以應用,才能達到所期望的目的。

四、測量誤差測量的目的是希望通過測量獲取被測量的真實值。但由於種種原因,例如,感測器本身性能不十分優良,測量方法不十分完善,外界干擾的影響等,都會造成被測參數的測量值與真實值不一致,兩者不一致程度用測量誤差表示。

測量誤差就是測量值與真實值之間的差值。它反映了測量品質的好壞。測量的可靠性至關重要,不同場合對測量結果可靠性的要求也不同。例如,在量值傳遞、經濟核算、產品檢驗等場合應保證測量結果有足夠的準確度。當測量值用作控制信號時,則要注意測量的穩定性和可靠性。因此,測量結果的準確程度應與測量的目的與要求相聯系、相適應,那種不惜工本、不顧場合,一味追求越准越好的作法是不可取的,要有技術與經濟兼顧的意識。

1．測量誤差的表示方法

測量誤差的表示方法有多種,含義各異。（1）絕對誤差絕對誤差可用下式定義:Δ=x-L(1-6）式中:Δ——絕對誤差;x——測量值;L——真實值。對測量值進行修正時,要用到絕對誤差。修正值是與絕對誤差大小相等、符號相反的值,實際值等於測量值加上修正值。

採用絕對誤差表示測量誤差,不能很好說明測量品質的好壞。例如,在溫度測量時,絕對誤差Δ=1℃,對體溫測量來說是不允許的,而對測量鋼水溫度來說卻是一個極好的測量結果。（2）相對誤差相對誤差的定義由下式給出:δ=×100%(1-7）式中:δ——相對誤差,一般用百分數給出;Δ——絕對誤差;L——真實值。由於被測量的真實值L無法知道,實際測量時用測量值x代替真實值L進行計算,這個相對誤差稱為標稱相對誤差,即

（3）引用誤差引用誤差是儀錶中通用的一種誤差表示方法。它是相對儀錶滿量程的一種誤差,一般也用百分數表示，即

γ=(1-9）式中:γ——引用誤差;Δ——絕對誤差。儀錶精度等級是根據引用誤差來確定的。例如,0.5級表的引用誤差的最大值不超過±0.5%，1.0級表的引用誤差的最大值不超過±1%。在使用儀錶和感測器時,經常也會遇到基本誤差和附加誤差兩個概念。

（4）基本誤差基本誤差是指儀錶在規定的標準條件下所具有的誤差。例如,儀錶是在電源電壓(220±5)V、電網頻率(50±2)Hz、環境溫度(20±5)℃、濕度65%±5%的條件下標定的。如果這臺儀錶在這個條件下工作,則儀錶所具有的誤差為基本誤差。測量儀錶的精度等級就是由基本誤差決定的。（5）附加誤差附加誤差是指當儀錶的使用條件偏離額定條件下出現的誤差。例如,溫度附加誤差、頻率附加誤差、電源電壓波動附加誤差等。

2．誤差的性質

根據測量數據中的誤差所呈現的規律,將誤差分為三種,即系統誤差、隨機誤差和粗大誤差。這種分類方法便於測量數據處理。（1）系統誤差對同一被測量進行多次重複測量時,如果誤差按照一定的規律出現,則把這種誤差稱為系統誤差。例如,標準量值的不准確及儀錶刻度的不准確而引起的誤差。（2）隨機誤差對同一被測量進行多次重複測量時,絕對值和符號不可預知地隨機變化,但就誤差的總體而言,具有一定的統計規律性的誤差稱為隨機誤差。

引起隨機誤差的原因是很多難以掌握或暫時未能掌握的微小因素,一般無法控制。對於隨機誤差不能用簡單的修正值來修正,只能用概率和數理統計的方法去計算它出現的可能性的大小。（3）粗大誤差明顯偏離測量結果的誤差稱為粗大誤差,又稱疏忽誤差。這類誤差是由於測量者疏忽大意或環境條件的突然變化而引起的。對於粗大誤差,首先應設法判斷是否存在,然後將其剔除。1.2測量數據的估計和處理

從工程測量實踐可知,測量數據中含有系統誤差和隨機誤差,有時還會含有粗大誤差。它們的性質不同,對測量結果的影響及處理方法也不同。在測量中,對測量數據進行處理時,首先判斷測量數據中是否含有粗大誤差,如有,則必須加以剔除。再看數據中是否存在系統誤差,對系統誤差可設法消除或加以修正。對排除了系統誤差和粗大誤差的測量數據,則利用隨機誤差性質進行處理。總之,對於不同情況的測量數據,首先要加以分析研究,判斷情況,分別處理,再經綜合整理以得出合乎科學性的結果。

一、隨機誤差的統計處理在測量中,當系統誤差已設法消除或減小到可以忽略的程度時,如果測量數據仍有不穩定的現象,說明存在隨機誤差。在等精度測量情況下,得n個測量值x1,x2,…,xn,設只含有隨機誤差δ1,δ2，…，δn。這組測量值或隨機誤差都是隨機事件,可以用概率數理統計的方法來研究。隨機誤差的處理任務是從亂數據中求出最接近真值的值（或稱真值的最佳估計值）,對數據精密度的高低（或稱可信賴的程度）進行評定並給出測量結果。

1．隨機誤差的正態分佈曲線

測量實踐表明,多數測量的隨機誤差具有以下特徵:①絕對值小的隨機誤差出現的概率大於絕對值大的隨機誤差出現的概率。②隨機誤差的絕對值不會超出一定界限。③測量次數n很大時,絕對值相等#,符號相反的隨機誤差出現的概率相等。由特徵③不難推出,當n→∞時,隨機誤差的代數和趨近於零。隨機誤差的上述三個特徵,說明其分佈實際上是單一峰值的和有界限的,且當測量次數無窮增加時,這類誤差還具有對稱性（即抵償性）。

在大多數情況下,當測量次數足夠多時,測量過程中產生的誤差服從正態分佈規律。分佈密度函數為（1-10）（1-11)y——概率密度;x——測量值（隨機變數）;σ——均方根偏差（標準誤差）;L——真值（隨機變數x的數學期望）;δ——隨機誤差（隨機變數）,δ=x-L。

正態分佈方程式的關係曲線為一條鐘形的曲線(如圖1-4所示),說明隨機變數在x=L或δ=0處的附近區域內具有最大概率。

圖1–4#正態分佈曲線

2．正態分佈的隨機誤差的數字特徵在實際測量時,真值L不可能得到。但如果隨機誤差服從正態分佈,則算術平均值處隨機誤差的概率密度最大。對被測量進行等精度的n次測量,得n個測量值x1,x2,…,xn,它們的算術平均值為

(1-12）算術平均值是諸測量值中最可信賴的,它可以作為等精度多次測量的結果。

上述的算術平均值是反映隨機誤差的分佈中心,而均方根偏差則反映隨機誤差的分佈範圍。均方根偏差愈大,測量數據的分散範圍也愈大，所以均方根偏差σ可以描述測量數據和測量結果的精度。圖1-5為不同σ下正態分佈曲線。由圖可見：σ愈小,分佈曲線愈陡峭,說明隨機變數的分散性小,測量精度高；反之,σ愈大,分佈曲線愈平坦,隨機變數的分散性也大,則精度也低。均方根偏差σ可由下式求取:

(1-13)

圖1–5不同σ下正態分佈曲線xi——第i次測量值。在實際測量時,由於真值L是無法確切知道的,用測量值的算術平均值-代替之,各測量值與算術平均值差值稱為殘餘誤差,即

vi=xi-(1-14）用殘餘誤差計算的均方根偏差稱為均方根偏差的估計值σs,即

(1-15)

通常在有限次測量時,算術平均值不可能等於被測量的真值L,它也是隨機變動的。設對被測量進行m組的“多次測量”,各組所得的算術平均值1,1,…,m,圍繞真值L有一定的分散性,也是隨機變數。算術平均值的精度可由算術平均值的均方根偏差來評定。它與σs的關係如下:故（1-17）在任意誤差區間（a,b）出現的概率為

P(a≤v<b)=σ是正態分佈的特徵參數,誤差區間通常表示成σ的倍數,如tσ。由於隨機誤差分佈對稱性的特點,常取對稱的區間,即

Pa=P(-tσ≤v≤+tσ)=（1-18）式中:t——置信係數；

Pa

——置信概率；

±tσ——誤差限。表1-1給出幾個典型的t值及其相應的概率。

表1-1t值及其相應的概率

t0.674511.9622.5834Pa0.50.68270.950.95450.990.99730.99994

隨機誤差在±tσ範圍內出現的概率為P,則超出的概率稱為顯著度,用α表示：

α=1-Pa

Pa與α關係見圖1-6。

圖1–6Pa與α關係

從表1-1可知,當t=±1時,Pa=0.6827,即測量結果中隨機誤差出現在-σ～+σ範圍內的概率為68.27%,而|v|>σ的概率為31.73%。出現在-3σ～+3σ範圍內的概率是99.73%,因此可以認為絕對值大於3σ的誤差是不可能出現的,通常把這個誤差稱為極限誤差σlim。按照上面分析,測量結果可表示為或（1-19）

例1-1有一組測量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求測量結果.表1-2測量值列表

解:將測量值列於表1-2。序號測量值xi殘餘誤差vi1237.4-0.120.0142237.2-0.320.103237.90.380.144237.1-0.420.185237.10.580.346237.5-0.020.007237.4-0.120.0148237.60.080.00649237.60.080.006410237.4-0.120.014

測量結果為

x=237.52±0.09(Pa=0.6827)或x=237.52±3×0.09=237.52±0.27(Pa=0.9973)

二、系統誤差的通用處理方法

1.從誤差根源上消除系統誤差系統誤差是在一定的測量條件下,測量值中含有固定不變或按一定規律變化的誤差。系統誤差不具有抵償性,重複測量也難以發現,在工程測量中應特別注意該項誤差。由於系統誤差的特殊性,在處理方法上與隨機誤差完全不同。有效地找出系統誤差的根源並減小或消除的關鍵是如何查找誤差根源,這就需要對測量設備、測量對象和測量系統作全面分析,明確其中有無產生明顯系統誤差的因素,並採取相應措施予以修正或消除。由於具體條件不同,在分析查找誤差根源時並無一成不變的方法,這與測量者的經驗、水準以及測量技術的發展密切相關。但我們可以從以下幾個方面進行分析考慮。

①所用感測器、測量儀錶或組成元件是否準確可靠。比如感測器或儀錶靈敏度不足,儀錶刻度不准確,變換器、放大器等性能不太優良,由這些引起的誤差是常見的誤差。②測量方法是否完善。如用電壓表測量電壓,電壓表的內阻對測量結果有影響。③感測器或儀錶安裝、調整或放置是否正確合理。例如:沒有調好儀錶水準位置,安裝時儀錶指針偏心等都會引起誤差。④感測器或儀錶工作場所的環境條件是否符合規定條件。例如環境、溫度、濕度、氣壓等的變化也會引起誤差。⑤測量者的操作是否正確。例如讀數時的視差、視力疲勞等都會引起系統誤差。

2.系統誤差的發現與判別發現系統誤差一般比較困難,下麵只介紹幾種發現系統誤差的一般方法。（1）實驗對比法這種方法是通過改變產生系統誤差的條件從而進行不同條件的測量,以發現系統誤差。這種方法適用於發現固定的系統誤差。例如,一臺測量儀錶本身存在固定的系統誤差,即使進行多次測量也不能發現,只有用精度更高一級的測量儀錶測量,才能發現這臺測量儀錶的系統誤差。2）殘餘誤差觀察法這種方法是根據測量值的殘餘誤差的大小和符號的變化規律,直接由誤差數據或誤差曲線圖形判斷有無變化的系統誤差。圖1-7中把殘餘誤差按測量值先後順序排列,圖（a）的殘餘誤差排列後有遞減的變值系統誤差;圖（b）則可能有週期性系統誤差。（3）準則檢查法已有多種準則供人們檢驗測量數據中是否含有系統誤差。不過這些準則都有一定的適用範圍。如馬利科夫判據是將殘餘誤差前後各半分兩組,若“Σvi前”與“Σvi後”之差明顯不為零,則可能含有線性系統誤差。圖1–7殘餘誤差變化規律

（3）準則檢查法已有多種準則供人們檢驗測量數據中是否含有系統誤差。不過這些準則都有一定的適用範圍。如馬利科夫判據是將殘餘誤差前後各半分兩組,若“Σvi前”與“Σvi後”之差明顯不為零,則可能含有線性系統誤差。阿貝檢驗法則檢查殘餘誤差是否偏離正態分佈,若偏離,則可能存在變化的系統誤差。將測量值的殘餘誤差按測量順序排列，且設A=v21+v22+…+v2n,B=(v1-v2)2+(v2-v3)2+…+(vn-1-vn)2+(vn-v1)2。若則可能含有變化的系統誤差。

3.系統誤差的消除

（1）在測量結果中進行修正對於已知的系統誤差,可以用修正值對測量結果進行修正;對於變值系統誤差,設法找出誤差的變化規律,用修正公式或修正曲線對測量結果進行修正;對未知系統誤差,則按隨機誤差進行處理。（2）消除系統誤差的根源在測量之前,仔細檢查儀表,正確調整和安裝;防止外界干擾影響;選好觀測位置，消除視差;選擇環境條件比較穩定時進行讀數等。（3）在測量系統中採用補償措施找出系統誤差的規律,在測量過程中自動消除系統誤差。如用熱電偶測量溫度時,熱電偶參考端溫度變化會引起系統誤差,消除此誤差的辦法之一是在熱電偶回路中加一個冷端補償器,從而進行自動補償。

（4）即時回饋修正由於自動化測量技術及微機的應用,可用即時回饋修正的辦法來消除複雜的變化系統誤差。當查明某種誤差因素的變化對測量結果有明顯的複雜影響時,應盡可能找出其影響測量結果的函數關係或近似的函數關係。在測量過程中,用感測器將這些誤差因素的變化轉換成某種物理量形式（一般為電量）,及時按照其函數關係,通過電腦算出影響測量結果的誤差值,對測量結果作即時的自動修正。

三、粗大誤差

如前所述,在對重複測量所得一組測量值進行數據處理之前,首先應將具有粗大誤差的可疑數據找出來加以剔除。人們絕對不能憑主觀意願對數據任意進行取捨,而是要有一定的根據。原則就是要看這個可疑值的誤差是否仍處於隨機誤差的範圍之內,是則留,不是則棄。因此要對測量數據進行必要的檢驗。下麵就常用的幾種準則介紹如下:

1.3σ準則前面已講到,通常把等於3σ的誤差稱為極限誤差。3σ準則就是如果一組測量數據中某個測量值的殘餘誤差的絕對值|vi|>3σ時,則該測量值為可疑值（壞值）,應剔除。

2.肖維勒準則肖維勒準則以正態分佈為前提,假設多次重複測量所得n個測量值中,某個測量值的殘餘誤差|vi|>Zcσ,則剔除此數據。實用中Zc<3,所以在一定程度上彌補了3σ準則的不足。肖維勒準則中的Zc值見表1-3。

3.格拉布斯準則某個測量值的殘餘誤差的絕對值|vi|＞Gσ,則判斷此值中含有粗大誤差,應予剔除。此即格拉布斯準則。G值與重複測量次數n和置信概率Pa有關,見表1-4。

以上準則是以數據按正態分佈為前提的,當偏離正態分佈,特別是測量次數很少時,則判斷的可靠性就差。因此,對粗大誤差除用剔除準則外,更重要的是要提高工作人員的技術水準和工作責任心。另外,要保證測量條件穩定,防止因環境條件劇烈變化而產生的突變影響。

四、不等精度測量的權與誤差前面講述的內容是等精度測量的問題。即多次重複測量得的各個測量值具有相同的精度,可用同一個均方根偏差σ值來表徵,或者說具有相同的可信賴程度。

嚴格地說來,絕對的等精度測量是很難保證的,但對條件差別不大的測量,一般都當作等精度測量對待,某些條件的變化,如測量時溫度的波動等,只作為誤差來考慮。因此,在一般測量實踐中,基本上都屬等精度測量。但在科學實驗或高精度測量中,為了提高測量的可靠性和精度,往往在不同的測量條件下,用不同的測量儀錶#,不同的測量方法#,不同的測量次數以及不同的測量者進行測量與對比,則認為它們是不等精度的測量。

1.“權”的概念在不等精度測量時,對同一被測量進行m組測量,得到m組測量列（進行多次測量的一組數據稱為一測量列）的測量結果及其誤差,它們不能同等看待。精度高的測量列具有較高的可靠性,將這種可靠性的大小稱為“權”。

“權”可理解為各組測量結果相對的可信賴程度。測量次數多,測量方法完善,測量儀錶精度高,測量的環境條件好,測量人員的水準高,則測量結果可靠,其權也大。權是相比較而存在的。權用符號p表示,有兩種計算方法:①用各組測量列的測量次數n的比值表示,並取測量次數較小的測量列的權為1,則有

p1∶p2∶…∶pm=n1∶n2∶…∶nm(1-20）②用各組測量列的誤差平方的倒數的比值表示,並取誤差較大的測量列的權為1,

則有

p1∶p2∶…∶pm=(1-21）∶∶…∶2.加權算術平均值加權算術平均值不同於一般的算術平均值,應考慮各測量列的權的情況。若對同一被測量進行m組不等精度測量,得到m個測量列的算術平均值1,2,…,m,相應各組的權分別為p1,p2,…,pm,則加權平均值可用下式表示：

3．加權算術平均值p的標準誤差σp當進一步計算加權算術平均值p的標準誤差時,也要考慮各測量列的權的情況,標準誤差σp

可由下式計算:（1-23）

五、測量數據處理中的幾個問題

1.測量誤差的合成一個測量系統或一個感測器都是由若干部分組成。設各環節為x1,x2,…,xn,系統總的輸入輸出關係為y=f(x1,x2,…,xn),而各部分又都存在測量誤差。各局部誤差對整個測量系統或感測器測量誤差的影響就是誤差的合成問題。若已知各環節的誤差而求總的誤差,叫做誤差的合成;反之,總的誤差確定後,要確定各環節具有多大誤差才能保證總的誤差值不超過規定值,這一過程叫做誤差的分配。

由於隨機誤差和系統誤差的規律和特點不同,誤差的合成與分配的處理方法也不同,下麵分別介紹。（1）系統誤差的合成由前面可知,系統總輸出與各環節之間的函數關係為

y=f(x1,x2,…,xn)

各部分定值系統誤差分別為Δx1,Δx2,…,Δxn,因為系統誤差一般均很小,其誤差可用微分來表示,故其合成運算式為（1-24）

實際計算誤差時,是以各環節的定值系統誤差Δx1,Δx2,…,Δxn代替上式中的dx1,dx2,…,dxn,即（1-25）式中Δy即合成後的總的定值系統誤差。（2）隨機誤差的合成設測量系統或感測器有n個環節組成,各部分的均方根偏差為σx1,σx2，…，σxn,則隨機誤差的合成運算式為（1-26）若y=f(x1,x2,…,xn)為線性函數,即

y=a1x1+a2x2+…+anxn

如果a1=a2=…=an=1，則(3)總合成誤差設測量系統和感測器的系統誤差和隨機誤差均為相互獨立的,則總的合成誤差ε表示為

ε=Δy±σy(1-29）

2.最小二乘法的應用最小二乘法原理是一數學原理,它在誤差的數據處理中作為一種數據處理手段。最小二乘法原理就是要獲得最可信賴的測量結果,使各測量值的殘餘誤差平方和為最小。在等精度測量和不等精度測量中,用算術平均值或加權算術平均值作為多次測量的結果,因為它們符合最小二乘法原理。最小二乘法在組合測量的數據處理#,實驗曲線的擬合及其它多種學科等方面,均獲得了廣泛的應用。下麵舉個組合測量的例子。鉑電阻電阻值R與溫度t之間函數關係式為Rt=R0(1+αt+βt2)

式中:R0,Rt——分別為鉑電阻在溫度0℃和t℃時的電阻值;α,β——電阻溫度係數。若在不同溫度t條件下測得一系列電阻值R,求電阻溫度係數α和β。由於在測量中不可避免地引入誤差,如何求得一組最佳的或最恰當的解,使Rt=R0(1+αt+βt2)具有最小的誤差呢通常的做法是使測量次數n大於所求未知量個數m（n>m）,採用最小二乘法原理進行計算。為了討論方便起見,我們用線性函數通式表示。設X1,X2,…,Xm為待求量,Y1,Y2，…，Yn為直接測量值,它們相應的函數關係為

Y1=a11X1+a12X2+…+a1mXm

Y2=a21X1+a22X2+…+a2mXm

Yn=an1X1+an2X2+…+anmXm

…

若x1,x2，…，xm是待求量X1,X2,…，Xm最可信賴的值,又稱最佳估計值,則相應的估計值亦有下列函數關係：y1=a11x1+a12x2+…+a1mxm

y2=a21x2+a22x2+…+a2mxm

yn=an1x1+an2x2+…+anmxm

…

相應的誤差方程為

l1-y1=l1-(a11x1+a12x2+…+a1mxm)l2-y2=l2-(a21x1+a22x2+…+a2mxm)ln-yn=ln-(an1x1+an2x2+…+anmxm)

（1-32）式中:l1,l2,…,ln——帶有誤差的實際直接測量值。按最小二乘法原理,要獲取最可信賴的結果x1,x2,…，xm,應按上述方程組的殘餘誤差平方和為最小,即

根據求極值條件,應使…將上述偏微分方程式整理,最後可寫成:

［a1a1］x1+［a1a2］x2+…+［a1am］=［a1l］［a2a1］x1+［a2a2］x2+…+［a2am］=［a2l］［ama1］x1+［ama2］x2+…+［amam］=［aml］(1-34)…

式（1-34）即為等精度測量的線性函數最小二乘估計的正規方程。式中:

［a1a1］=a11a11+a21a21+…+an1an1

［a1a2］=a11a12+a21a22+…+an1an2

［a1am］=a11a1m+a21a2m+…+an1anm

［a1l］=a11l1+a21l2+…+an1ln

…

正規方程是一個m元線性方程組,當其係數行列式不為零時,有唯一確定的解,由此可解得欲求的估計值x1,x2,…，xm即為符合最小二乘原理的最佳解。

線性函數的最小二乘法處理應用矩陣這一工具進行討論有許多便利之處。將誤差方程式（1-32）用矩陣表示:L-AX=V(1-35）式中:a11a12

…a1m

a21a22

…a2m

an1an2…anm

…………係數矩陣A=估計值矩陣x1x2xn…實際測量值矩陣L1L2

Ln…L=V1V2Vn…V=殘餘誤差矩陣殘餘誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為V1V2Vn…(v1,v2,…,vn)=最小

v′n=最小即V′V=最小或(L-AX）′（L-AX）=最小將上述線性函數的正規方程式(1-34）用殘餘誤差表示,可改寫成:a11v1+a21v2+…+an1vn=0a12v1+a22v2+…+an2vn=0

a1mv1+a2mv2+…+anmvn=0(1-36)…

寫成矩陣形式為

a11a21

…an1

a12a22

…an2

a1ma2m…anm

…………V1V2Vn=0即由式（1-35）有A′V=0A′（L-AX）=0（A′A）

X=A′LX=(A′A）-1A′L（1-38）式(1-38）即為最小二乘估計的矩陣解。例1–2銅的電阻值R與溫度t之間關係為Rt=R0(1+αt),在不同溫度下,測定銅電阻的電阻值如下表所示。試估計0℃時的銅電阻電阻值R0和銅電阻的電阻溫度係數α。ti(℃)19.125.030.136.040.045.150.0Ri(Ω)76.377.879.7580.8082.3583.985.10

解:列出誤差方程:Rti-R0（1+αt）=vi(i=1,2,3,…,7)式中:ti是在溫度ti下測得銅電阻電阻值。

令x=R0,y=αR0,則誤差方程可寫為

76.3-(x+19.1y)=v1

77.8-(x+25.0y)=v2

79.75-(x+30.1y)=v3

80.80-(x+36.0y)=v4

82.35-(x+40.0y)=v583.9-(x+45.1y)=v6

85.10-(x+50.0y)=v7

其正規方程按式(1-34）為［a1a1］x+［a1a2］y=［a1l］［a2a1］x+［a2a2］y=［a2l］於是有將各值代入上式,得到

7x+245.3y=566245.3x+9325.38y=20044.5解得

x=70.8Ωy=0.288Ω/℃即

R0=70.8Ωα=用矩陣求解,則有A′A=11111119.125.030.136.040.045.150.0119.1125.0130.1136.0140.0145.1150.0=7245.3245.39325.38245.3245.39325.38=5108.7≠0（有解）(A′A)-1=A11A12A21A22=9325.85-245.3-245.37A′L=11111119.125.030.136.040.045.150.076.377.879.7580.8082.3583.985.10=56620044.5

3．用經驗公式擬合實驗數據——回歸分析

在工程實踐和科學實驗中,經常遇到對於一批實驗數據,需要把它們進一步整理成曲線圖或經驗公式。用經驗公式擬合實驗數據,工程上把這種方法稱為回歸分析。回歸分析就是應用數理統計的方法,對實驗數據進行分析和處理,從而得出反映變數間相互關係的經驗公式,也稱回歸方程。

當經驗公式為線性函數時,例如,y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn(1-39)

稱這種回歸分析為線性回歸分析,它在工程中的應用價值較高。線上性回歸中,當獨立變數只有一個時,即函數關係為

y=b0+bx(1-40)

這種回歸稱為一元線性回歸,這就是工程上和科研中常遇到的直線擬合問題。設有n對測量數據（xi,yi）,用一元線性回歸方程y∧=b0+bx擬合,根據測量數據值,求方程中係數b0、b的最佳估計值。可應用最小二乘法原理,使各測量數據點與回歸直線的偏差平方和為最小,見圖1-8。

圖1–8用最小二乘法求回歸直線

式中:,,…,——在x1，x2，…，xn點上y的估計值。用最小二乘法求係數b0,b同上,這裏不再敘述。

在求經驗公式時,有時用圖解法分析顯得更方便、直觀,將測量數據值（xi,yi）繪製在座標紙上,把這些測量點直接聯接起來,根據曲線（包括直線）的形狀、特徵以及變化趨勢,可以設法給出它們的數學模型（即經驗公式）。這不僅可把一條形象化的曲線與各種分析方法聯繫起來,而且還在相當程度上擴展了原有曲線的應用範圍。第2章感測器概述2.1感測器的組成部分2.2感測器的基本特性返回主目錄

第2章傳感器概述

2.1感測器的組成和分類

感測器是能感受規定的被測量並按照一定的規律將其轉換成可用輸出信號的器件或裝置。在有些學科領域,感測器又稱為敏感元件、檢測器、轉換器等。這些不同提法,反映了在不同的技術領域中,只是根據器件用途對同一類型的器件使用著不同的技術術語而已。如在電子技術領域,常把能感受信號的電子元件稱為敏感元件,如熱敏元件、磁敏元件、光敏元件及氣敏元件等,在超聲波技術中則強調的是能量的轉換,如壓電式換能器。這些提法在含義上有些狹窄,而感測器一詞是使用最為廣泛而概括的用語。

感測器的輸出信號通常是電量,它便於傳輸、轉換、處理、顯示等。電量有很多形式,如電壓、電流、電容、電阻等,輸出信號的形式由感測器的原理確定。通常感測器由敏感元件和轉換元件組成。其中,敏感元件是指感測器中能直接感受或回應被測量的部分;轉換元件是指感測器中將敏感元件感受或回應的被測量轉換成適於傳輸或測量的電信號部分。由於感測器的輸出信號一般都很微弱,因此需要有信號調理與轉換電路對其進行放大、運算調製等。隨著半導體器件與集成技術在感測器中的應用,感測器的信號調理與轉換電路可能安裝在感測器的殼體裏或與敏感元件一起集成在同一晶片上。此外,信號調理轉換電路以及感測器工作必須有輔助的電源,因此,信號調理轉換電路以及所需的電源都應作為感測器組成的一部分。感測器組成框圖如圖2-1所示。圖2-1#感測器組成框圖

感測器技術是一門知識密集型技術,它與許多學科有關。感測器的原理各種各樣，其種類十分繁多,分類方法也很多,但目前一般採用兩種分類方法:一是按被測參數分類,如溫度壓力、位移、速度等;二是按感測器的工作原理分類,如應變式、電容式、壓電式、磁電式等。本書是按後一種分類方法來介紹各種感測器的,而感測器的工程應用則是根據工程參數進行敘述的。對於初學者和應用感測器的工程技術人來說,應先從工作原理出發,瞭解各種各樣感測器,而對工程上的被測參數應著重於如何合理選擇和使用感測器。

2.2感測器的基本特性

在生產過程和科學實驗中,要對各種各樣的參數進行檢測和控制,就要求感測器能感受被測非電量的變化並將其不失真地變換成相應的電量,這取決於感測器的基本特性,即輸出—輸入特性。如果把感測器看作二端口網路,即有兩個輸入端和兩個輸出端,那麼感測器的輸出-輸入特性是與其內部結構參數有關的外部特性。感測器的基本特性可用靜態特性和動態特性來描述。

一、感測器的靜態特性感測器的靜態特性是指被測量的值處於穩定狀態時的輸出輸入關係。只考慮感測器的靜態特性時,輸入量與輸出量之間的關係式中不含有時間變數。衡量靜態特性的重要指標是線性度、靈敏度#,遲滯和重複性等。1.線性度感測器的線性度是指感測器的輸出與輸入之間數量關係的線性程度。輸出與輸入關係可分為線性特性和非線性特性。從感測器的性能看,希望具有線性關係,即具有理想的輸出輸入關係。但實際遇到的感測器大多為非線性,如果不考慮遲滯和蠕變等因素,感測器的輸出與輸入關係可用一個多項式表示：

y=a0+a1x+a2x2+…+anxn(2-1)式中:a0——輸入量x為零時的輸出量;a1,a2,…,an——非線性項係數。

各項係數不同,決定了特性曲線的具體形式各不相同。靜特性曲線可通過實際測試獲得。在實際使用中,為了標定和數據處理的方便,希望得到線性關係,因此引入各種非線性補償環節。如採用非線性補償電路或電腦軟體進行線性化處理,從而使感測器的輸出與輸入關係為線性或接近線性。但如果感測器非線性的方次不高,輸入量變化範圍較小時,可用一條直線（切線或割線）近似地代表實際曲線的一段,如圖2-2所示,使感測器輸出—輸入特性線性化。所採用的直線稱為擬合直線。實際特性曲線與擬合直線之間的偏差稱為感測器的非線性誤差（或線性度）,通常用相對誤差γL表示,即（2-2）式中:ΔLmax——最大非線性絕對誤差;YFS——滿量程輸出。從圖2-2中可見,即使是同類感測器,擬合直線不同,其線性度也是不同的。選取擬合直線的方法很多,用最小二乘法求取的擬合直線的擬合精度最高。

2．靈敏度

靈敏度S是指感測器的輸出量增量Δy與引起輸出量增量Δy的輸入量增量Δx的比值,即

S=Δy/Δx（2-3）圖2-2#幾種直線擬合方法

(a)理論擬合；(b)過零旋轉擬合；(c)端點連線擬合；(d)端點平移擬合

對於線性感測器,它的靈敏度就是它的靜態特性的斜率,即S=Δy/Δx為常數,而非線性感測器的靈敏度為一變數,用S=dy/dx表示。感測器的靈敏度如圖2-3所示。

3.遲滯感測器在正（輸入量增大）反（輸入量減小）行程期間其輸出-輸入特性曲線不重合的現象稱為遲滯,如圖2-4所示。也就是說,對於同一大小的輸入信號,感測器的正反行程輸出信號大小不相等。產生這種現象的主要原因是由於感測器敏感元件材料的物理性質和機械零部件的缺陷所造成的,例如彈性敏感元件的彈性滯後、運動部件摩擦、傳動機構的間隙、緊固件鬆動等。遲滯大小通常由實驗確定。遲滯誤差γH可由下式計算:（2-4）式中:ΔHmax——正反行程輸出值間的最大差值。

4.重複性重複性是指感測器在輸入量按同一方向作全量程連續多次變化時,所得特性曲線不一致的程度,如圖2-5所示。重複性誤差屬於隨機誤差,常用標準偏差表示,也可用正反行程中的最大偏差表示,即（2-5）（2-6）

二、感測器的動態特性

感測器的動態特性是指其輸出對隨時間變化的輸入量的回應特性。當被測量隨時間變化,是時間的函數時,則感測器的輸出量也是時間的函數,其間的關係要用動特性來表示。一個動態特性好的感測器,其輸出將再現輸入量的變化規律,即具有相同的時間函數。實際上除了具有理想的比例特性外,輸出信號將不會與輸入信號具有相同的時間函數,這種輸出與輸入間的差異就是所謂的動態誤差。

為了說明感測器的動態特性,下麵簡要介紹動態測溫的問題。在被測溫度隨時間變化或感測器突然插入被測介質中以及感測器以掃描方式測量某溫度場的溫度分佈等情況下,都存在動態測溫問題。如把一支熱電偶從溫度為t0℃環境中迅速插入一個溫度為t℃的恒溫水槽中（插入時間忽略不計）,這時熱電偶測量的介質溫度從t0突然上升到t,而熱電偶反映出來的溫度從t0℃變化到t℃需要經歷一段時間,即有一段過渡過程,如圖2-6所示。熱電偶反映出來的溫度與介質溫度的差值就稱為動態誤差。

造成熱電偶輸出波形失真和產生動態誤差的原因,是因為溫度感測器有熱慣性（由感測器的比熱容和品質大小決定）和傳熱熱阻,使得在動態測溫時感測器輸出總是滯後於被測介質的溫度變化。如帶有套管的熱電偶的熱慣性要比裸熱電偶大得多。這種熱慣性是熱電偶固有的,這種熱慣性決定了熱電偶測量快速溫度變化時會產生動態誤差。影響動態特性的“固有因素”任何感測器都有,只不過它們的表現形式和作用程度不同而已。動態特性除了與感測器的固有因素有關之外,還與感測器輸入量的變化形式有關。也就是說,我們在研究感測器動特性時,通常是根據不同輸入變化規律來考察感測器的回應的。

雖然感測器的種類和形式很多,但它們一般可以簡化為一階或二階系統（高階可以分解成若干個低階環節）,因此一階和二階感測器是最基本的。感測器的輸入量隨時間變化的規律是各種各樣的,下麵在對感測器動態特性進行分析時，採用最典型、最簡單、易實現的正弦信號和階躍信號作為標準輸入信號。對於正弦輸入信號,感測器的回應稱為頻率回應或穩態回應；對於階躍輸入信號,則稱為感測器的階躍回應或瞬態回應。

1.瞬態回應特性

感測器的瞬態回應是時間回應。在研究感測器的動態特性時,有時需要從時域中對感測器的回應和過渡過程進行分析。這種分析方法是時域分析法,感測器對所加激勵信號回應稱瞬態回應。常用激勵信號有階躍函數、斜坡函數、脈衝函數等。下麵以感測器的單位階躍回應來評價感測器的動態性能指標。

1)一階感測器的單位階躍回應在工程上,一般將下式:（2-7）

視為一階感測器單位階躍回應的通式。式中x(t)、y(t)分別為感測器的輸入量和輸出量,均是時間的函數,表徵感測器的時間常數,具有時間“秒”的量綱。一階感測器的傳遞函數：（2-8）

對初始狀態為零的感測器,當輸入一個單位階躍信號

0t≤01t>0時,由於x(t)=1(t),x(s)=,感測器輸出的拉氏變換為

Y(s)=H(s)X(s)=（2-9）x(t)=一階感測器的單位階躍回應信號為

y(t)=1-e-(2-10)

相應的回應曲線如圖2-7所示。由圖可見,感測器存在慣性,它的輸出不能立即複現輸入信號,而是從零開始,按指數規律上升,最終達到穩態值。理論上感測器的回應只在t趨於無窮大時才達到穩態值,但實際上當t=4τ時其輸出達到穩態值的98.2%,可以認為已達到穩態。τ越小,回應曲線越接近於輸入階躍曲線,因此,τ值是一階感測器重要的性能參數。2)二階感測器的單位階躍回應二階感測器的單位階躍回應的通式為(2-11)式中:ωn——感測器的固有頻率;ξ——感測器的阻尼比。二階感測器的傳遞函數:

H(s)=

(2-12)感測器輸出的拉氏變換:H(s)=H(s)X(s)=

(2-13)

二階感測器對階躍信號的回應在很大程度上取決於阻尼比ξ和固有頻率ωn。固有頻率ωn由感測器主要結構參數所決定,ωn越高,感測器的回應越快。當ωn為常數時,感測器的回應取決於阻尼比ξ。圖2-8為二階感測器的單位階躍回應曲線。阻尼比ξ直接影響超調量和振盪次數。ξ=0,為臨界阻尼,超調量為100%,產生等幅振盪,達不到穩態。>1,為過阻尼,無超調也無振盪,但達到穩態所需時間較長。ξ<1,為欠阻尼,衰減振盪,達到穩態值所需時間隨ξ的減小而加長。ξ=1時回應時間最短。但實際使用中常按稍欠阻尼調整,ξ取0.7～0.8為最好。3)瞬態回應特性指標（1）時間常數τ一階感測器時間常數τ越小,回應速度越快。（2）延時時間感測器輸出達到穩態值的50%所需時間。（3）上升時間感測器輸出達到穩態值的90%所需時間。（4）超調量感測器輸出超過穩態值的最大值。

2.頻率回應特性感測器對正弦輸入信號的回應特性,稱為頻率回應特性。頻率回應法是從感測器的頻率特性出發研究感測器的動態特性。1)一階感測器的頻率回應

將一階感測器的傳遞函數中的s用jω代替後,即可得頻率特性運算式,即相頻特性

Φ(ω)=-arctan(ωτ)幅頻特性(2-14)(2-15)(2-16)

圖2-9為一階感測器的頻率回應特性曲線。

從式（2-15）、（2-16）和圖2-9看出,時間常數τ越小,頻率回應特性越好。當ωτ1時,A（ω）≈1,Φ（ω）≈0,表明感測器輸出與輸入為線性關係,且相位差也很小,輸出y(t)比較真實地反映輸入x(t)的變化規律。因此,減小τ可改善感測器的頻率特性。2)二階感測器的頻率回應二階感測器的頻率特性運算式、幅頻特性、相頻特性分別為(2-17)(2-18)(2-19)

圖2-10為二階感測器的頻率回應特性曲線。從式（2-18）、（2-19）和圖2-10可見,感測器的頻率回應特性的好壞主要取決於感測器的固有頻率ωn和阻尼比ξ。當ξ<1,ωnω時,A（ω）≈1,Φ（ω）很小,此時,感測器的輸出y(t)再現了輸入x(t)的波形。通常固有頻率ωn至少應大於被測信號頻率ω的3～5倍,即ωn≥（3～5）ω。為了減小動態誤差和擴大頻率回應範圍,一般是提高感測器固有頻率ωn。而固有頻率ωn與感測器運動部件品質m和彈性敏感元件的剛度k有關,即ωn=（k/m）1/2。增大剛度k和減小品質m可提高固有頻率,但剛度k增加,會使感測器靈敏度降低。所以在實際中,應綜合各種因素來確定感測器的各個特徵參數。3)頻率回應特性指標

(1)頻帶感測器增益保持在一定值內的頻率範圍為感測器頻帶或通頻帶,對應有上、下截止頻率。

(2)時間常數τ用時間常數τ來表徵一階感測器的動態特性。τ越小,頻帶越寬。

(3)固有頻率ωn二階感測器的固有頻率ωn表