初中数学八年级上册《12.3角的平分线的性质》教学课件

12.3角的平分线的性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12什么是角平分线？如图OC即为∠AOB的平分线。角平分线具有哪些性质呢？导入新课角的平分线的性质想一想

如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.ECADB你能说明它的道理吗?新课讲解E证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）CADB新课讲解

AＢＭＮＣ⑶作射线OC。射线OC即为所求.0尺规作已知角的平分线作法:⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.新课讲解探究任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？DPEAOBCPD=PE你能结合三角形全等的知识证明这个结论吗？新课讲解

已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.DPEAOBC证明：∵OC是∠AOB的平分线∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO∵OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE12新课讲解探究再在OC上任取一点Q、R，过点Q、R画出OA和OB的垂线，分别记垂足为F、H和J、K，QE与QH、RJ与RK分别有什么关系？DPEAOBCQF=QH你能总结出角的平分线的性质吗？RJ=RKQRJFHK新课讲解角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。AOBPEDPD⊥OA，PE⊥OB∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符号表示为：新课讲解BADOPEC定理应用所具备的条件：

（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；

（3）垂直距离。定理的作用：

证明线段相等。新课讲解证明几何命题的一般步骤：1、明确命题的已知和求证；2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。新课讲解如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是多少？∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．ACBDE证明：过D作DE⊥AB于E，利用角平分线性质的必备条件，缺一不可牛刀小试要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路思考角平分线的性质应建在角平分线上。新课讲解DCS解：作夹角的角平分线OC，500米=50000厘米，根据比例尺，图上距离应为2.5厘米，所有截取点D=2.5cm,点D即为所求。所有在角平分线上的点到角两边的距离都相等吗？Ｏ新课讲解P已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上。证明:经过点P作射线OC∵

PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO＝∠PEO＝90°在Rt△PDO和Rt△PEO中

PO＝PO

PD=PE

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）

∴

∠POD＝∠POE∴点P在∠AOB的平分线上C新课讲解PC

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵PD⊥OA，PE⊥OB，

PD＝PE．∴OP平分∠AOB．用数学语言表示为：角的平分线性质的逆定理（角平分线的判定）新课讲解∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。DPMNABCFE结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.新课讲解证明线段相等的方法：全等三角形的对应边相等．角平分线的性质定理等角对等边等腰三角形的三线合一垂直平分线的性质定理课堂小结1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC=6cm，则BD+DE的和为（）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cmB解：∵由角平分线的性质可得DE=CD，求BD+DE的和，只要求BD+DC就可，由已知AC=BC=BD+CD答案可得．解答解：CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=6cm．故选B．巩固提升2、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）

A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确??B巩固提升??解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP∴△ARP≌△ASP（HL）∴AS=AR，∠RAP=∠SAP∵AQ=PQ∴∠QPA=∠SAP∴∠RAP=∠QPA∴QP∥AR而在△BPR和△QSP中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出△BPR≌△QSP故本题仅①和②正确．故选B．巩固提升223.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB.BC.CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=

.125°巩固提升23

巩固提升4.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上点．PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．巩固提升证明：∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△PDO和Rt△PEO中，

PO=POPD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴OD=OE，∠POD=∠POE．在△DOF和△EOF中，

OD=OE