2023学年完整公开课版幂函数

我国著名数学家华罗庚教授在其《数学的用场与发展》中指出:

“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”问题1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y（元）和购买的蔬菜量x

（千克）之间有何关系？问题2:如果正方形的边长为x，那么正方形面积y＝？问题3:如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y＝？问题4:如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长

y＝？问题5:如果某人x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y=？（千米/秒）问题情境

你能发现这几个函数解析式有什么共同点吗?探索发现2.4幂函数定义几点说明:1、对于幂函数，我们只讨论

=1，2，3，，-1时的情形。2、幂函数不象指数函数和对数函数，其定义域随的不同而不同。幂函数与指数函数的对比式子名称

a

x

y指数函数:y=a

x

幂函数:y=x

a

底数指数指数底数幂值幂值判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数√√√××1.判断下列函数哪些是幂函数？（1）(2)

(3)(4)

(5)2.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3,27)则f(2)＝＿＿＿＿8思考题例１．写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：定义域为R，奇函数定义域为，非奇非偶定义域为，偶函数

研究函数的定义域和奇偶性,对作函数图象有什么作用?二、幂函数的图象试作出下列函数的图象

几个幂函数的性质:定义域值域奇偶性单调性公共点RR奇函数增函数(0,0),(1,1)R偶函数(0,0),(1,1)RR奇函数增函数(0,0),(1,1)非奇非偶增函数(0,0),(1,1)奇函数(1,1)幂函数的性质:１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中k的不同而各异.３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;K<0２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;k>10<k<1练习:如图所示，曲线是幂函数y=xk

在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________

一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x=1之间正好相反。

C4C2C3C11练习找出下列函数：相对应的图象．1、求下列幂函数的定义域,并判断奇偶性。（1）y=x

（2）y=x

（3）y=x

（4）y=x-2练习练习:如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。1）函数f(x)的图象与x、y轴不相交（或与坐标轴无公共点）。2）函数f(x)的图象不经过原点）。方法技巧:分子有理化例3.比较下列各组数的大小：<>>>知识应用：解后反思两个数比较大小时，何时用幂函数模型，何时用指数函数模型？

练习1）2）3）4）＜＜＞≤变式2.指出函数f(x)＝的单调区间，并比较f(－π)与f的大小．解答：

其图象可由幂函数y＝x－2图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且其图象关于直线x＝－2对称(如图)．幂函数的图象在解方程和不等式时有着重要作用．【例4】

点(

，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的 图象上，问当x为何值时，有f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)＜g(x)．

思维点拨：由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式， 再利用图象判断即可．解：设f(x)＝xα，则由题意得2＝(

)α，∴α＝2，即f(x)＝x2，再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，∴β=-2，即g(x)=，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．由图象可知：①当x＞1或x＜-1时，f(x)＞g(x)；②当x=±1时，f(x)=g(x)；③当-1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．已知幂函数

(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足的a的取值范围.【考卷实录】

解答：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.【答题模板】

而y＝

在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，等价于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或.故a的取值范围为

解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式组．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认识误区．从而误用性质产生错误，事实上由幂函数y＝

的图象可知函数在整个定义域内图象整体不呈下降趋势，故函数只能说在定义域的两个子集上分别为减函数，另外在分类讨论时，要做到不重不漏，尤其是a＋1＜0＜3－2a这种情况容易被忽略，应引起注意.

【分析点评】小结：

⒈幂函数概念，常见幂函数的图像，幂函数图像变化情况和性质；⒉应用常见幂函数的单调性比较两个同指数的指数幂的大小。一、基本内容小结：二、思想方法1.通过研究函数的性质来指导作图，反过来又借助于函数图象来进一步研究函数性质；2.根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该类事物一般性结论的推理，其结论是否正确，还需要理论的证明和实践的检验。y=x3y=x2xOy=x2yy=x311y=x（1）图象都过（0，0）点和（1，1）点；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在[0，+∞)上是增函数。α>