2022年中考数学复习　几何压轴题题型分类

专题训练一平移问题

基本模型

经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共

线）且相等，因此可以通过平移构造平行四边形，转移线段和角.

（基本模型图2）

如图1,将线段CD进行平移可得到线段EA,连接EC,AD.

根据平移的性质，得CD幺EA.

四边形CDAE是平行四边形.；.EC〃AD.

同理，四边形CDFA、四边形CDBG和四边形CDHB均为平行四边形.

如图2,平移线段AB,即可得到。ABCP、cABDM、BBND和oABQC.

典型题

在Rt^BAC中，ZA=90°,D,E分别为AB,AC上的点.

（1）如图1,CE=AB,BD=AE,过点C作CF〃EB,且CF=EB,连接DF交EB于点G,连接BF,

求器的值；

（2）如图2,若CE=kAB,BD=kAE,求k的值.

（典型题图1）（典型题图2）

拓展题

1.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,NBAC=90°—：/CAD,AC与BD相交于点E,且NBEC=60°,

若AD=5,BD=15,求AC的长.

（1题图）

2.如图，在aABC中，点D在AB的延长线上，点E在BC上，AC=BC=AD=DE,BE=BD,求NBAC

的度数.

（2题图）

3.阅读下面材料：

数学课上，老师出示了下列问题：

（1）如图1,过点B作AB的垂线BD,延长AB到点C,使AC=BD,延长BD到点E,使ED=CB,

连接AE,CD,且CD的延长线交AE于点F,求/AFC的度数；

（2）如图2,在AABC中，AB=AC=5m,D是边BC上一点，连接AD,延长CB到点E,使BE=kAD,

过点E作EF1AD,交AD的延长线于点F.若AF=kCD,tanC=求EF的长.（用含m,k的式

4

子表示）

（3题图1）

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现/AFC的度数等于45°”

小伟：“通过平移线段AC,BD,ED,BC中的一条线段，可以构造两个全等三角形，进而可以

获得等腰直角三角形，那么/AFC的度数等于45°这一结论也就显而易见了.”

老师：”只要类比小伟平移线段构造全等三角形的思路与方法，那么（2）的问题就能迎刃而

解.”

请你根据上面的材料，完成上面的两个问题的解答过程.

4.如图，在四边形ABCD中，AD||BC,AD+BC=BD,AC与BD相交于点F。

(1)求证：4BCF为等腰三角形；

(2)如图2,若NBAC=45°,且AF：FC=1：艮求证：ZDBC=2ZABD；

(3)如图3,若NBAC=60°，点E在AD上，ZACE=ZABD,AD=2,CE=5,求线段

BD的长；

专题训练二作平行线构造全等或相似

基本模型

（多本根型图1）

如图1：在AABC中，D为AB边上一点。

过点D作DE||BC交AC于点E。

•••ZADE=ZB,ZAED=ZC,.--AADEfABC.

如图2：在aABC中，D为BA的延长线上一点。

过点D作DE||BC交CA的延长线于点E。

ZD=ZB,ZE=ZC..--AADEABC.

典型题

⑴如图1,在AABC中，D是BC的中点，E是AC上的一点，拶=；,连接AD与BE相交

EC3

于点F,求爆的值。

FD

小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法，从而解决了问题。

下面是小明的解法：

解：过点C作CH||BE交AD的延长线于点H（如图1T）

VCH||BE,D是BC的中点，

•.•-F-H=-B-C=2

FDBD1

VCH||FE,-=

EC3y

.AF_AE_1

•・而~~EC~3"

.AFAFFH122

•a----=----*-----=-*—=-.

FDFHFD313

小英添加的辅助性是：过点D作DG||BE交AC于点G（如图1-2）

小聪添加的辅助性是：过点A作AM||BE交CB的延长线于点M（如图1-3）.

请你在小英和小聪添加的辅助线中选择一种完成解答;

（兵羽题图I）

1-1）

（典型题图1.2）

（典型题图卜3）

拓展题

1.（1）如图1,在aABC中，D为边BA的延长线上的点，过点D作DE||BC交CA的延长线

于点E,若与=玄DE=5,求线段BC的长；

（2）如图2,在AABC中，D是边AB上的一点，E为边AC的中点，连接BE、CD交于点F,

碍的值；

（3）如图3,在AABC中，D是边AB上的一点，E为CA的延长线上的点，连接BE、CD交于

点F。若各="*=±AACD的面积为2,求4CEF的面积。

BD2AC3

B

（1题图2）（1Q图3）

（1MfflI）

2.如图1,在△ABC中，AB=AC,D是AC边的中点，过点A作AELBD于点E,AE的延长线交

BC于点F.

⑴若AF=CF,求证：AC=CF-BC：

CF4#EF

(2)若一=一,求一的值;

BF5AE

(3)如图2,若＞BAC=90°,求证：BF=2CF.

4R

3.如图，0是AABC的边BC上一点，过点0的直线分别交射线AB,线段AC于点M,N,且——

AM

AC

=m,---=n.

AN

(1)B2M丝=(用含m的式子表示)；"CN=(用含n的式

AMAN

子表示)；

(2)若0是线段BC的中点，求证：m+n=2；

(3)若空=k(kWO),求m,n之间的数量关系.(用含k的式子表示)

OB

4.在aABC中，ZACB=90°,E为AC上一点，连接BE.

(1)如图1,当AC=BC时，将ABCE绕点C逆时针旋转90°得到aACF,点E的对应点F落

在BC的延长线上.求证：BEXAF；

(2)过点C作CPJ_BE,垂足为P,连接AP并延长交BC于点Q.

APCE

①如图2,若AC=BC,求证:

~PQ~~CQ

②如图3,若AC=3a,AE=2EC,BC=kAC,求线段AP的长.(用含a,k的式子表示)

专题训练三角平分线问题

模型一.如图，遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时，一般过该店作另一边的垂线，构

造双垂直，运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等求解。

模型二.如图，当题目中有垂直于角平分线的线段PA时，通过延长AP交ON于点B,构造

△OPB三AOPA,进而将一些线段和角进行等量代换来求解。

模型三.如图，若P是/MON的平分线上一点，A是边0M上任意一点，可考虑在边ON上截取

OB=OA,连接PB,构造AOPB三AOPA,进而将一些线段和角进行等量代换。

模型四.如图，当题目中同时出现角平分线和平行线时,注意找等腰三角形，即0P平分NM0N,

PQ〃ON,则AOPQ为等腰三角形，一般地，角平分线、平行线、等腰三角形中任意两个条件

存在，即可得到第三个条件。

模型五.如图，0P是NM0N的平分线，点A,B分别在OM,ON上，若NM0N+NAPB=180°,则

PA=PB,ZPAB=ZPBA.

典型题

如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°.

图1图2图3

如图1,k=l,BD平分NABC交AC于点D,CE1BD,垂足E在BD的延长线上，探究线段CE

和BD之间的数量关系，并证明；

如图2,k=l,F为BC上一点，ZEFC=|ZB,CE±EF,垂足为E,EF与AC交于点D,探究线

段CE和E1）之间的数量关系，并证明；

如图3,F为BC上一点，ZEFC=|ZB,CE±EF,垂足为E,EF与AC交于点D.请直接写出

线段CE和FD的数量关系。

拓展题

46.如图1,在△46C中，/〃为角平分线，点£在边47上，NABE=NC,AD、庞交于尸，FG

〃然交BC于G.

(1)求证：BD=BF-,

(2)在图中找到一条与切相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；

(3)如图2,当"1=/反且cos4EF=k时，求”的值.(用含有々的式子表示).

1题图I1题图2

47.阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题：

如图1,在中，N/1位=90°，点〃在四上，A4BAC=24DCB,求证：AC=AD.

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2,作4?平分NO8,与⑦相交于点£

方法2：如图3,作4DCF=4DCB,与/16相交于点正

(1)根据阅读材料，任选一种方法，证明

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

(2)如图4,在△[a'中，点2E、F分另怅AB、BC、BD上,ABDE=2AABC,NAFE=

ABAC,延长〃仁所相交于点G,且4DGF=4BDE.

①在图中找出与NZte尸相等的角，并证明；

②若AB=kDF,猜想线段应与血的数量关系，并证明你的猜想.

48.如图1,在四边形4?（力中，AD//BC,BC=CD,点£在修上，且NABE=NC.

（1）求证：ZBED=AABC-,

（2）在图1中找出与四相等的线段，并证明；

（3）将△赦沿班■翻折，得到ABFE,跖与必相交于点0.若点尸恰好落在的延长

线上（如图2）,AD=m,EC=n（其中加＜n）,求勿的长（用含必、〃的代数式表示）.

49.(1)如图1,在中，AC=BC,过点A作/。勿完；点公尸分别在及7、然上，DE与

跖相交于点C,且/DEB+ZBFA=180°.

①求证：/C=NEGB

②在图1中找出与场相等的线段并证明.

(2)如图2在ZU笫中，AC=BC,〃为6c边上一点，将/腼沿直线加翻折，点C的对

应点为点E,AE/7BC,旦/EBA=22.5°,求黑的值.

图2

图1

50.如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,0B=0D,0C=0A+AB,AD=m,BC=n,

ZABD+ZADB=ZACB.

(1)填空：/BAD与NACB之间的数量关系为；

(2)求4的值；

(3)如图2,将4ACD沿CD翻折，得到AAPD,连接BA',与CD相交于点P.若CD=1,求

PC的长.

51.如图，z^ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,ZD=45°,E是BD上一点，

且NBAE=NCBD,AE交BC于点M,将4CBD沿BC翻折得到ABCF,BF交AE于点G,交AC于

点H.

(1)/AGF的度数为；

(2)探究BG与CD之间的数量关系，并证明；

(3)若AG=kGM,求段的值.

(6HS)

52.如图1,在RtaABC中，NA=90°,AB=AC,点D在线段BC上，NEDB=：NC,DE交

AB于点F,BEJ_DE于点E,探究线段BE与DF之间的数量关系，并证明。

小白的想法是，将4BDE以直线DE为对称轴翻折(如图2),再通过证明△GBH也△FDH得到

结论。

请按照小白的想法解答此题:

(2)如图3,在AABC中，ZACB=2ZABC,E是线段BC的延长线上一点，CE=kBC,AD平

分NBAC交BC于点D,EFLAD于点F,交AC于点G,求建的值.

53.小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，ZBAC=120°,ADJ_BC于点D,且AB+BD

=DC,求NC的度数.小明通过探究发现，如图2,在CD上取一点E,使ED=BD,再证明△

ADB^AADE,可使问题得到解决.

(8Kffl1>(82)

(1)根据阅读材料回答，Z^ADB丝AADE的条件是：(填“SSS”“SAS”“ASA”

“AAS”或“HL”)参考小明思考问题的方法,解答下列问题：

(2)如图3,在aABC中，过点B任意作一条射线1,在1上取一点D,使/ABD=NACD,

AMJ_BD于点M,且BM=MD+CD,探究AB与AC之间的数量关系，并证明；

(3)如图4,在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=4,D,E分别是BC,AC上的点，AC=CD,

NBAC=45°+1ZDEC,连接BE,若CE=1,求SZXABE.

(8题图3)

专题训练四二倍角问题

基本方法

1.二倍角——等腰法：①小角等腰法：以二倍角为外角构造等腰三角形：

②大角等腰法：以二倍角为底角构造等腰三角形.

2.二倍角——角分线法：作二倍角的角分线，平分二倍角.

3.二倍角——对称角法：小角或大角的对称角.

4.二倍角一一加倍法：以小角的一边为对称轴作二倍角

5.二倍角——顶角法：2a与90°-a,以2a为顶角构造等腰三角形.

典型题

【问题原型】

有这样一个问题：如图1,在aABC中，NBCA=2NA,BD为边AC上的中线，且8C=1AC.

2

求证：4BCD为等边三角形.

小聪同学的解决办法是：延长AC至点E,使CE=BC,如图2,利用二倍角的条件构造等腰三

角形进而解决问题

(典型题图1)

【解决问题】

(D请你利用小聪的办法解决此问题；

【应用拓展】

(2)如图3在AABC中,NABO2NACB,AB=3,BC=5,求线段AC的长.

拓展题

1.如图，在aABC中，NC=2/B,点F在AB上，点G在AC上，CD=CG,FDJ_BC于点D,且

FD平分/BFG,FD=kDG,探究AB与AC之间的数量关系，并证明.（用含k的式子表示）

2.如图，在AABC中，ZA=90°,AB=AC,D为BC的中点，点E,F分别在AB,AC±,且满

足NAEF=2NFDC,若EF=5,AC=6,求线段DF的长.

DE

3.如图，在△ABC中，AD1BC于点D,E是AD上一点，ZB=2ZDCE,AD=kDC,BD=mDE,求——

AB

的值.（用含m,k的式子表示）

4.如图，在&BC中，ADBC于点D,点E在AD上，ZABE=45°,ZC=2ZDBE,AE=10,AC=15,

求线段DE的长。

（4题图）

5.如图1,在曲BC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,BE=CE,点G在线段CD上，CG=CA,

GF=DE,ZAFG=ZCDE,连接AG。

（1）填空：与/CAG相等的角是；

（2）探究线段AD与BD之间的数量关系，并证明；

AC

（3）如图2,若/BAC=90",ZABC=2ZACD,求——的值。

（5题图2）

（5翘图1）

6.如图1,在RtAVBC中，ZACB=90°,CDAB于点D,延长CD至点E,使得CE=AB,连接

AE,且/BAE+2NBAC=90°,连接EB并延长交AC的延长线于点F。

(1)填空：NAEC与/BAC之间的数量关系为：

(3)如图2,连接FD,求一的值:

BE

(6题图1)(6题图2)

7.如图，在4ABD中，BA=BD,ZABC=60°,E是BA边上一点，连接DE,

/DBC=2/BDE,过点C作CGLDE交EI）的延长线于点F,交BI）的延长线于点G,

BG=kCF.

（1）求的度数；

（2）若AB+3E=m,求线段CF的长.（用含k,m的式子表示）

（7题图）

专题训练五旋转问题

基本模型

模型1.遇到60°旋转60°构造等边三角形（如图1）

（基*帙理831）

模型2.遇到90°旋转90°,构造等腰直角三角形（如图2,3）或全等三角形（如图4,5）

形旋转顶点，构造全等三角形（如图6,7,8

模型4.遇到中点旋转180°,构造中心对称（如图9）

（苗本模型图9>

数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图1,AC,BD是四边形ABCD的对角线，若NACB=

ZACD=ZABD=ZADB=60°,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2,延长CB到点E,使BE=CD,连接AE,证得

△ABE^AADC,从而容易证明aACE是等边三角形，故AC=CE,所以AC=BC+CD

小亮展示了另一种正确的思路：如图3,将AABC绕着点A逆时针旋转60°,使AB与AD重

合，从而容易证明AACF是等边三角形，故AC=CF,所以AC=BC+CD

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1)小颖提出:如图4,如果把“NACB=NACD=/ABD=NADB=60°”改为“NACB=NACD=

NABD=/ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？针对小

颖提出的问题，请你写出结论，并证明.

(2)小华提出：如图5,如果把KZACB=ZACD=ZABD=ZADB=60°”改为"/ACB=/ACD=

ZABD=ZADB=a"，其它条件不变，那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？针对小华

提出的问题，请你写出结论，并证明.

拓展题

1.如图1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是线段BC上一点，过点B作BE〃AC,过点

D作DELAD,垂足为D,BE,DE两线相交于点E,连接AE,交BD于点M

(1)求证：ZDAE=45°

(2)如图2,延长AI),BE交于点F,若BD=kCD,求工的值(用含k的式子表示)

(1tare1)(IHfflZ)

2.如图1,在AABC中，/BAC=60°,点D在BC边上，连接AD,AD=DC,点E,F分别在AC,

AD上，且^DEF为等边三角形

(1)填空：与/B相等的角是

(2)求证：BD=AF

(3)若BC=kBD(k>2),求爷的值(用含k的式子表示)

(2题图)

3.阅读下列材料：

数学课上，，老师出示了这样一个问题：

如图1.在aABC中,AC=BC,NACB=90",点D,E在AB上，且AD=BE,DG±CE,垂足为G,DG的

延长线与BC相交于点F,探究线段AD,BD,DF之间的数量关系，并证明。

某学习小组的同学经过思考,交流了自己的想法：

小明：”通过观察和度量，发现/BCE与NBDF存在某种数量关系。”

小强：“通过观察和度量,发现图1中有一条线段与CE相等

小伟：”通过构造三角形，证明三角形全等,可以得到线段AD,BD,DF之间的数量关系。”

老师:“保留原题条件,再过点D作DI11BC,垂足为H,DI1与CE相交于点M（如图2）.如果给

出器的值,那么可以求出名的值。”

CGCM

（1）在图1中找出与线段CE相等的线段,并证明；

（2）探究线段AD,BD,DF之间的数量关系，并证明；

（3）若登=n,求名的值.（用含n的式子表示）

GFCM

（3期图2）

（3册图1）

4.在Rt^ACB中，NACB=90°,/B=30°,M为AB的中点,P为BC的延长线上一点，CP〈BC,

连接PM,AC=n,CP=m.

(1)如图1,将射线MP绕点M逆时针旋转60,,交CA的延长线于点D,且BC=AD+CP.

①在图中找出与NMDC相等的角，并证明；

②求2的值.

n

(2)如图2,若将射线MP绕点M顺时针旋转60°,交AC的延长线于点H,求CH的长.(用

含m,n的式子表示)

5.阅读下列材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点D在BC上，点E

在AC上，ZADC-2ZEBC,若CD=mCE,求与的值.（用含m的式子表示）

（5题图D（5题图2）

小明通过探究发现：将4ACD绕点C逆时针旋转90°得到4BCF（如图2）,再证出EF=BF,

问题就可以解决。

（D请你根据小明的思路，解决这个问题；

（2）如图3,在等边△ABC中，点D在AB上，点E在CD上，NEBC=2NACD,点F在BE上NFDC=60°,

若EF=kBF,求理的值.（用含k的式子表示）

BG

（5题图3）

6.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在AABC中，AB=AC,CBAC=90°,D是线段BC上一点，连

接AD,点D作DELDA,过点B作BE〃AC,BE与DE相交于点E,.求证：DA=DE.

小明通过探究发现，要证明AD=DE,可以考虑将ABDE通过旋转，使DE与DA重合，由此得

到辅助线：过点D作BC的垂线，交BA的延长线于点F(如图2),从而可证4FDA丝ZXBDE,

使问题得到解决。

(1)根据阅读材料回答：

△FDA与4BDE全等的条件是；(填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”)

(2)证明小明发现的结论；

参考小明思考问题的方法,解决下面的问题：

(3)如图3,在ZXABC和△ADE,ZBAC=ZDAE=90°,AB=mAC,AE=kAD,连接BE,CD,作

AG1BE,直线AG交CD于点F,求空的值.(用含k,m的式子表示)

7.阅读理解：

小明遇到这样一个问题：

如图1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,4CB=60°-/4DB,若BC=2,BD=3,

求线段AB的长。

小明通过探究发现，如图2,以点A为旋转中心构造AACEwAABD,通过计算可求得

线段BE的长，进而使问题得到解决。

（1）参考小明思考问题的方法，继续添加必要的辅助线完成上面的问题；

（2）如图3,在四边形ABCD中，ZBAC=90°,E为BD的中点，J1ZDBC=

ZBAE,AC=kAB

①BC：AB=；（用含k的式子表示）

②参考小明思考问题的方法或用其他方法，求偿的值。

（7题图1）（7题图2）

8.在RtAABC中，ZACB=90°,BC=kAC,CD1AB于点D,E是AD上的一点，连接CE,

将射线EC绕着点E顺时针旋转/ACD的度数，交BC于点G,过点C作CF1EG于点F。

⑴如图1,找到与NFCG相等的角，并证明；

⑵如图2,连接BF并延长，交AC于点H,探究HC与DE之间的数量关系，并证明（用含k

的式子表示）

（8题图2）

（8题图1）

9.阅读下面材料.

小明遇到这样一个问题，如图1,是AABC等边三角形，D是AABC内一点，AD=夜，BD=

1,CD=73,求NADB的度数

小明通过探究，为同学们提供了解题的想法：

想法1：将ABDC绕着点B逆时针旋转60°,得到ABEA,连接DE（如图2）,分别计算

ZADE与NBDE的度数即可；

想法2：将ABAD绕着点B顺时针旋转60°,得到ABCF,连接DF（如图3）,分别计算

ZBFD与/DFC的度数即可；

请回答：

（1）选择其中的一种想法，求/ADB的度数；

参考小明的思考问题的方法，解决下列问题：

（2）如图4,正方形ABCD的边长为1,点E,F在正方形内，/EAF=ZECF=45°，若AAEF的

面积为求SABEC+SA”C的值；

（3）如图5,在AABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,D是AABC内一点，则AD、BD、CD

三条线段的和的最小值为

B

（9题图5）

（9题图4）

专题训练六一边一角问题

基本模型

满足“一边一角”的条件：AB=DE,NA=ND（如图1,图2）,或AB=DE,/A十NEDG=180°

（如图1,图3）.

“一边一角”构造分为以下两种模型：

模型1：一边一等角

（1）如图1,将相等的边（已知相等的边或所求相等的边）和相等的角（即AB=DE,ZA=ZD）

放在一个三角形（即△ABC）中；

（2）如图2,以相等的一条线段①E）的另一个端点（点E）为顶点，作NE=NB,则△ABC^A

DEF.

模型2：一边一互补角

（1）如图1,将相等的边和互补的角（即AB=DE,NA+NEDG=180）放在一个三角形（即△ABC）

中；

（2）如图3,延长GD,得到NA=NFDE,即将“一边一互补角”转化为“一边一等角”，以相

等的一条线段（DE）的另一个端点（点E）为顶点，作/E=/B,则AABC丝ZXDEF.

（基本模5?图1）（基本模型图2）《基本模型图3）

典型题

阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题：如图1,在AABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD,CE相交于

点F,CE=BE,且/BEC+/BDC=180°.求证：BF=CA.小明经探究发现，在AB上取一点G(不与

点E重合)，使CE=CG,连接CG(如图2),从而可证ABEF丝Z\CGA,使问题得到解决,

(1)请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程;

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题:

(2)如图3,在等腰4ABC中，AB=AC,点D,F在直线BC上，DE=BF,连接AD,过点E作EG

〃AC交FG于点G,ZDFG+ZD=ZBAC,请在图中找出一条和线段AD相等的线段，并证明.

A

拓展题

1.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题:如图1,在△♦比中，AB=AC,〃是ZT上一点，点〃在4〃上,

NBDE=BAC=2ZCDE,连接BD,CD.求证：劭=2AD.

小明通过探究发现，由己知条件，能够证明ACAD,然后考虑将通过旋转,

使力与力。重合，//劭和〃重合，因此得到辅助线:在班上截取防=力〃，连接力?

从而可证△砌庵（如图2）,使问题得到解决.

（1）根据阅读材料回答:△物尸与全等的依据是;（^t,SSS,^>iSAS^^uASA^^

UAAS"或"HLT中的一个）

（2）证明小明发现的结论；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图3,在△?!a'和/应中，NBAC二NDAE=90°,掰=AC,AB=AD,连接弧

作龙交缈的延长线于点G,交或于点尸，BE二kAF,求人的值.

2.如图，在中，AB=AC,/的C=90°,点。在力，上，点后在54的延长线上，且

CD=AE,过点］作力心四，垂足为尸，过点〃作加的平行线，交加于点G,交用的

延长线于点H.

(1)求证Z.BAH-,

(2)在图中找出与龙相等的线段，并证明；

(3)若切=kDH,求粤的值.(用含〃的式子表示)

3.如图1,在△4%；中，4?=4G点〃在的的延长线上，点£在比'上，DE=DC,F是DE

与力。的交点，旦DF=FE.

（1）图1中是否存在与/咳相等的角？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，请说

明理由；

（2）求证:应'=EC；

（3）若将“点〃在劭的延长线上，点£在比上"和“尸是〃6与M的交点，豆DF=FE"

分别改为“点。在四上，点E在⑦的延长线上”和“尸是劭的延长线与然的交点，其

他条件不变（如图2）”

①当加=kFE,AB=1,ZABC=a时，求线段庞的长；（用含A,a的式子表示）

②若DE=4DF,请直接写出SMBC:SWEC的值.

（3题图1）（3题四2）

4.如图1,在aABC中，点D,E分别在BC,AC上，BD=BA,点F在BE上，

FA=FE,ZAFE=ZABD.

(1)在图1中找出与NE8C相等的角，并证明：

(2)求证：NBEA=ZBED；

(3)如图2,连接FD,点M在EF上，ZEDM+ZEDF=180°,AE=kDE,求

二一的值.(用含k的式子表示)

EM

(4即图1)

5.如图，在四边形ABCD中，A8=BC,8E_LA。，垂足为E,ZBCD-ZABE^90°.过

点C作CF〃AD,交对角线BD于点F.

（1）求证：CF=CD；

BF

⑵若NCDB=2NABE,DE=kAE,求工的值.（用含k的式子表示）

DF

（5题图）

专题训练七中点问题

模型1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质。

《基本模型图1）

等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边上的中线、

高线、顶角的角平分线“三线合一”的性质得到：NBAD=NCAD,AD1BC,BD=CD,进而解决

线段相等及平行问题、角度之间的相等问题。

模型2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常考虑构造斜边上的中线。

（基本模型图2）

直角三角形中有斜边中点时•，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的

一半”，可得CD=4。=80=^48,有时有直角无中点，要找中点，可简记“直角+中点,

等腰必呈现”。

作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换。

模型3.遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考虑倍长中线法构造全等

三角形。

（基本模型图3）

当遇到中线或者中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量关系,

该类型经常会与中位线定理一起综合应用。

模型4.遇见三角形一边的中点，常考虑构造中位线。

在三角形中，如果有中点，可构造三角形中位线，利用三角形中位线的性质定理：

DE//BC,且DE=：BC,AADE^AABC,解决线段之间的相等或比例关系及平行问题。

典型类题

(1)如图1,若〃为等腰直角三角形的斜边6c的中点，点反夕分别在47、AC1.,且

/ED0O：连接A9,EF,当BC=5后，尸g时，求线段EF的长度。

(2)如图2,若〃为等边三角形/6C的边比1的中点，点反厂分别在Aft"'边上，且/

劭片90°，也为〃的中点，连接◎/,当冰〃48时,探究劭与之间的数量关系并证明。

(3)如图3,若。为等边三角形45C的边比1的中点，点反尸分别在18,然边上，且“

EDF冯丁,当BQ6,6=0.8时，请直接写出线段"的长度。

(典型题图1)(典型题图2)(典型题图3)

1.在△/回中，47=阳点〃平面内一点，."是被中点，连接4%作物社4城

(1)如图1,若点£在切的垂直平分线上，//a4,则求N&笫的度数(用含卬的

式子表示)；

(2)如图2,当点〃在。延长线上，且施上8C,若tan/腑则求要的值(用含A

的式子表示).

2.小明遇到这样一个问题;

如图1,点£是8c中点，/BAE=/CDE,求证：AB=DC.小明通过探究发现，如图2,

过点6作班'〃切，交比’的延长线于点五.再证明△以恒△废尸，使问题得到解决.

(1)根据阅读材料回答△CDg△BEF的条件是(填“SSS”“A4S”“/9”或"2")；

(2)写出小明的证明过程，参考小明思考问题的方法，解答下列问题；

(3)已知，△4%?中，"是比1边上一点，CM=BM,E,尸分别在是被4C上.连接出;

点N是线段砰'上一点FN=EN,连接腑并延长交AB于一点、P,ZBAC=2NBPM=2a,如图

3,当a=60°时，探究黑的值，并说明理由.

3.已知△/比1是等腰直角三角形，N胡C=90°,CD=LBC,DELCE,DE=CE,连接点

2

M是山?的中点.

(1)如图1,若点〃在8c边上，连接C从当4Q4时，求，的长；

(2)如图2,若点〃在△心右的内部，连接劭，点4是加中点，连接版V,NE,求证：

MNLAE-,

(3)如图3,将图2中的△吸绕点。逆时针旋转，使/3仪=30°,连接班，点"是

劭中点，连接版V,探索空的值并直接写出结果.

4.阅读下面材料:

小明遇到这样两个问题:

（1）如图1,是。。的直径，C是O0上一点，ODVAC,垂足为〃，BC=6,求出的长；

（2）如图2△/应1中，AB=6,然=4,点〃为比1的中点，求4〃的取值范围.

对于问题（1）,小明发现根据垂径定理，可以得出点〃是4c的中点，利用三角形中位线

定理可以解决；对于问题（2）,小明发现延长力〃到其使应=AD,连接跖可以得到全

等三角形，通过计算可以解决.

请回答：

问题（1）中勿长为；问题（2）中4〃的取值范围是；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图3,△?!比中，/刈C=90°,点以£分别在四、然上，龙与切相交于点尸，

AC=mEC,AB=2VinEC,AD=nDB.

①当〃=1时，如图4,在图中找出与四相等的线段，并加以证明；

②直接写出段的值（用含原〃的代数式表示）.

5.阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题：如图1,△/弦中，AB=AC,点、D在.BC边上,NDAB=NABD,

BELAD,垂足为£,求证：BC=2AE.

小明经探究发现，过点/作4d比；垂足为凡得到/"»=/应4从而可证△4琼^^

BAE（如图2）,使问题得到解决.

（1）根据阅读材料回答：△/跖与△胡£全等的条件是（填“SS6'、“SIS”、“AS4”、

UAAS"或“HL”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3,中，AB=AC,/力勺90°,〃为比1的中点，£为小的中点，点厂

在4C的延长线上，且NCDF=NEAC,若CF=2,求4?的长；

（3）如图4,△械中,AB=AC,/曲£120°，点以6分别在4?、〃1边上，且4H

（其中0<X<近），/AED=/BCD,求各的值（用含衣的式子表示）.

3EC

图4

6.如图1,在△4%；中，点〃为a'中点，点£■在〃'上，AD、庞交于点凡ZADC=ZBEC.

图2

(1)写出与N豌'相等的角：;

(2)若AD=BF,求端的值；

DF

(3)如图2,若AABF,N6G4=90°,BC=m,求碗(用含加的式子表示).

专题八一线三等角问题

【问题背景】

(1)如图1,AABC是等腰直角三角形，AC=BC,直线1过点C,AM±1,BN±1,垂足分别

为M,No求证：Z\AMC丝aCNB；

【尝试应用】

(2)如图2,AC=BC,ZACB=90°,N,B,E三点共线，CN±NE,ZE=45°,CN=1,BN

=2。求AE的长；

【拓展创新】

(3)如图3,在ADCE中，ZCDE=45°，点A,B分别在DE,CE上，AC=BC,/ACB=90°,

Ap

若tan/DCA=12,直接写出2上的值为。

AD------------

图1图2图3

1.小明遇到这样一个问题：

如图1,ZkABC中，ZA=90°,ZB=30°,点D,E分别在AB,BC±,且/CDE=90°。当

BE=2AD时，图1中是否存在与CD相等的线段？若存在，请找出并加以证明，若不存在，

说明理由。

小明通过探究发现，过点E作AB的垂线EF,垂足为F,能得到一对全等三角形(如图2),

从而将解决问题。

请回答：

(1)小明发现的与CD相等的线段是；

(2)证明小明发现的结论；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

(3)如图3,AABC中，AB=AC,/BAC=90°，点D在BC上，BD=2DC,点E在AD上，且

RF

ZBEC-1350,求——的值。

EC

2.（1）如图，在aABC中，AC=nBC,且NACB=NADC=NBEC=100°,猜想线段DE,AD,BE

之间的数量关系,并证明你的猜想；

（2）在RtaABC中，/ACB=90°,AC=nBC,将直线1绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，

分别过点A,B作直线1的垂线，垂足分别为D,E,请在备用图上画出图形，并直接写出线

段DE,AD,BE之间满足的一种数量关系.（不要求写出证明过程）

（2题图）<2题备用图）

3.如图1,四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，ZAEF=90°,且EF交正方形的外角N

DCG的平分线C