新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 求平面向量的夹角（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．D【解析】【分析】由数量积运算求解即可.【详解】，，，．，因此，．故选：D．2．D【解析】【分析】先利用数量积的坐标运算求解，再利用夹角公式求解夹角.【详解】因为，所以，解得；所以，；；而，所以与的夹角为.故选：D.3．D【解析】【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.【详解】对于A，，则，A错误；对于B，，则不平行，B错误；对于C，，又，则，C错误；对于D，在上的投影向量的模为，D正确.故选：D.4．C【解析】【分析】根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.【详解】解：，故①正确；，故②错误；向量在向量上的投影向量为，故③正确；，故④正确；故选:C.5．D【解析】【分析】根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.【详解】A选项，若，则，A选项说法正确.B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.C选项，，当时，有最小值为，C选项说法正确.D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.故选：D6．A【解析】【分析】由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出结果.【详解】因为，，又，所以.故正确；，若，则，解得，即当时，，故错误；设与的夹角为，则，当时，，夹角为，故C错误；因为，所以不存在，使得，故D错误.故选：.7．B【解析】直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可【详解】因为向量，，所以,又因为,所以,故选B.【点睛】本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，.8．D【解析】【分析】A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．【详解】A．，时，，，时，，成立，时，，，综上，A不恒成立；B．是一个实数，无意义，B不成立；C．若，，则，，，，，，C错误；D．若，，则，，，，所以，成立．故选：D．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．9．A【解析】根据向量垂直的坐标运算解得，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.【详解】因为向量，若，则，解得，所以，所以，，，设向量+2与之间的夹角，则，，所以向量+2与之间的夹角为.故选：A.10．B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．11．A【解析】【分析】先计算向量的模，再根据向量数量积的定义，将展开，即可求得答案.【详解】因为，所以，又因为，设与的夹角为，，所以，即，解得，故，故选：A.12．D【解析】【分析】计算可得，利用数量积公式计算即可得出结果.【详解】向量，向量，，，且，的夹角为.故选：D.13．A【解析】【分析】利用数量积的定义，即可求解.【详解】解：,所以,即，解得,又因为向量夹角的范围为，则与的夹角为30°，故选：A.14．D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.15．A【解析】【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、、，然后根据、、三点共线以及、、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果.【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，因为，，所以，，，设，因为、、三点共线，所以，，，因为，、、三点共线，所以，联立，解得，，，因为，，所以，，因为，所以，故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.16．D【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量的数量积可求得结果.【详解】由已知可得，，因此，.故选：D.17．D【解析】【分析】计算得出，设，，，，利用三角恒等变换思想结合正弦型函数的有界性可求得结果.【详解】，则，，可得，不妨设，，，，，同理可得，所以，，其中为锐角，且.故的最大值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查与圆有关的最值问题，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示，并结合三角恒等变换求解是解本题的关键.18．C【解析】【分析】根据已知条件，求得，再利用向量夹角的计算公式即可求得结果.【详解】因为，故可得，又，故，代值得，则，则，故可得与的夹角为.故选：C.19．D【解析】分别求出，应用向量夹角公式，即可求解.【详解】单位向量的夹角为，，，设与夹角为，.故选:D.【点睛】本题考查向量的模长、向量的数量积、向量夹角，考查计算求解能力，属于基础题.20．A【解析】【分析】利用向量的夹角余弦公式求向量夹角的余弦值.【详解】∵

∴又，，，∴

，故选：A.21．D【解析】【分析】根据，利用向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，结合向量夹角范围可得结果.【详解】，，，解得：，又，，即与的夹角为.故选：D.22．B【解析】【分析】直接利用为基底，把转化为的计算，利用夹角公式求出.【详解】．∴，∵∴．故选：B【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.23．A【解析】【分析】利用向量的数量积求得，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.【详解】，，，，以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设又，知，解得，又E为的外心，，，为等边三角形，，∴，∴．故选：A24．C【解析】【分析】根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.【详解】因为为单位向量，不妨设，且，所以，又因为，所以，化简得，所以，，，当时，，故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.25．B【解析】【分析】根据解得，再结合平面向量的夹角公式计算即可【详解】由可得，即，解得，所以，，则又所以与的夹角为故选：B.26．D【解析】【分析】根据平面向量的坐标进行运算可得答案.【详解】∵向量＝(1,2,0)，＝(－2,0,1)，∴，，1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2.∴.易知A，B不正确，D正确，C显然也不正确.故选：D27．B【解析】【分析】将变为，将该式两边平方，利用向量的乘法运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得答案.【详解】由，可得，所以，即，所以，设的夹角为，则,故选：B.28．C【解析】利用向量公式求出向量与的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值.【详解】，,，其中，故，，故当时，即时，取最大值为.故选：C.29．BCD【解析】【分析】利用向量的模长公式及二次函数的性质可判断A的正误；利用向量的夹角公式可判断B的正误；利用向量共线的坐标表示可判断C的正误；利用模长公式可求出的值，进而判断D的正误.【详解】A：，当且仅当时，有最小值为2，故A正确；B：若与的夹角为钝角，则有，且与不共线，即且，所以，故B错误；C：与共线的单位向量有和两个，故C错误；D：若，则，解得，故D错误；故选：BCD.30．CD【解析】【分析】对于A选项，得k<2且k≠－2，所以A选项正确；对于B选项，||≥2，所以B选项正确；对于C选项，与共线的单位向量为或，所以C选项错误；对于D选项，得k＝±2，所以D选项错误．【详解】对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则k－2<0且k≠－2，解得k<2且k≠－2，所以A选项正确；对于B选项，||＝≥＝2，当且仅当k＝0时等号成立，所以B选项正确；对于C选项，||＝，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，所以C选项错误；对于D选项，∵||＝2||＝2，∴＝2，解得k＝±2，所以D选项错误．故选：CD31．AC【解析】【分析】根据平面向量数量积定义可判断A；由向量垂直时乘积为0，可判断B；利用向量数量积的运算律，化简可判断C；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.【详解】对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，对于C，两个非零向量，，若，可得，即，，则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；对于D，已知，且与的夹角为锐角，可得即可得，解得，当与的夹角为0时，，所以所以与的夹角为锐角时且，故D错误；故选:AC.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.32．ABD【解析】【分析】根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可【详解】据题意因为所以,所以对因为,所以,所以对.因为所以,所以错因为与不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以正确故选：ABD33．AC【解析】【分析】对于A选项，即可求解；对于B选项，利用向量夹角公式计算；对于C、D选项，由投影向量的定义得，在上的投影向量为【详解】由，，可知，，对于A选项，，故，故A正确；对于B选项，设为，的夹角，则，故B错误；对于C选项，在上的投影向量为，故C正确；对于D选项，在上的投影向量为，故D错误.故选：AC.34．【解析】【详解】因为所以，即，根据向量的数量积运算，则代入化简得，由，所以.故答案为：.35．【解析】【分析】根据向量的夹角公式计算即可．【详解】由知，，又，即则，所以，故夹角为，故答案为：．36．##0.5【解析】【分析】根据向量的数量积公式即可求出.【详解】由题可得，故.故答案为：.37．【解析】【分析】求出及，然后由数量积定义可得夹角．【详解】由已知，所以，，设与的夹角为，则，，所以．故答案为：．38．##120°【解析】【分析】利用夹角公式求出向量与的夹角.【详解】因为，所以，即，所以，所以.而，所以，因为，所以.故答案为：39．【解析】【分析】根据向量夹角坐标公式求解.【详解】故答案为：【点睛】本题考查向量夹角坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.40．【解析】【分析】根据向量夹角的坐标公式运算即可.【详解】,,故答案为：41．(1)，(2)【解析】【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；（2）以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．(1)∵D为斜边BC的靠近点B的三等分点，∴∴，∵E为AD的中点，∴，∴(2)，如图，以所在的方向分别为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，则，∴，，∴，

42．（1）或；（2）.【解析】（1）设，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.（2）设向量与的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：（1）设，因为，则，①又因为，且，，所以，即，②由①②解得，或，所以或．（2）设向量与的夹角为，所以或，因为，所以向量与的夹角．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.43．(1)；(2)，.【解析】【分析】（1）利用向量共线坐标表示即求；（2）利用数量积的坐标表示可得，进而可得，再利用夹角公式即求.(1)∵，，，，∴，，∴，当，，三点共线时，有，，解得．(2)∵，，∴，∴当时，取得最小值，此时，∴，，，，∴．44．（1）2；（2）.【解析】（1）根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；（2）可求出的值，进而可求出的值，从而可求出与的夹角．【详解】解：（1），，；（2），，且，与的夹角为．【点睛