新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 函数的周期性（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．C【解析】【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合时，，可得答案．【详解】解：∵是定义在R上的周期为2的偶函数，时，，∴时，，，此时，时，，，此时，综上可得：时，故选：C．【点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．2．B【解析】首先设，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.【详解】设，，，，，，在区间单调递减，函数的最大值是.故选：B【点睛】思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数的解析式.3．C【解析】令，则，根据时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式．【详解】令，则，∵当时，有，∴f（x+2）＝2x+2，∵f（x+2）＝f（x），∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，．故选：C．【点睛】本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题．4．D【解析】【分析】根据奇偶性的性质化简可得是以4为周期的函数，即可求出.【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，又为偶函数，故可得，则，故以4为周期，故.故选：D.5．D【解析】【分析】由抽象函数关系式可求得周期为，从而得到，结合函数奇偶性和解析式可求得结果.【详解】由，可得函数的周期为，，又为偶函数，，当时，，.故选：D.6．A【解析】【分析】除三角函数外，也有很多周期函数.可以利用周期函数的定义求值或求解析式.【详解】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即所以.故选：A.7．A【解析】【分析】作出函数与的图象，由图象观察即可求解【详解】由，得，知周期，令，得.作出函数与的图象如图所示.由函数的图象知，有两个零点.故选：A8．B【解析】【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】因为，且为偶函数，所以，故的周期为4，故A正确．由的周期为4，则，，所以，故B错误；令，可得，作函数和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确；当时，，则，故D正确．故选：B．9．A【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义可推导得到，进而得到，可知B错误；由推导得到，知A正确；由已知关系式无法推导得到，知CD错误.【详解】是奇函数，；是偶函数，，，，，，是周期为的周期函数，B错误；，，是偶函数，A正确；，，无法得到，C错误；，无法得到，D错误.故选：A.10．B【解析】【分析】由函数的图象关于直线对称，得到；由函数关于点对称，得到，证明出的最小正周期为4.判断C、D错误；利用周期性和得到，可以判断B正确；不能确定是否正确.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，即.用x代换上式中的2x，即可得到，所以关于直线对称.函数关于点对称，所以，即所以关于点对称.对于，令x取x+1，可得：.对于，令x取x+2，可得：.所以，令x取-x，可得：，所以，令x取x+2，可得：，即的最小正周期为4.所以C、D错误；对于B：对于，令x取x-3，可得：.因为的最小正周期为4，所以，所以，即.故B正确.对于A：由，可得为对称轴，所以不能确定是否成立.故A错误.故选：B11．C【解析】【分析】根据可得，，则，将代入解析式，即可求解.【详解】因为，则，即，所以，即，所以，因为，所以，所以，故选：C12．C【解析】【分析】分别令，令得到，进而推得函数是周期函数求解．【详解】令，则，故，故，（舍）令，则，故．∴，即，故的周期为4，即是周期函数．∴．故选：C．13．D【解析】【分析】根据函数的周期性，奇偶性及分段函数分段处理的原则即可求解.【详解】由，得，则，所以的周期为，因为函数是定义在实数集上的偶函数，所以，为无理数，所以，，所以.故选：D.14．B【解析】【分析】根据题意得到函数周期为12，函数为奇函数，据此得到，计算得到答案.【详解】函数周期为，，的图形关于对称，故关于对称，.故.故选：B.15．C【解析】【分析】将表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断出正确选项.【详解】由于，所以，由此画出函数图像如下图所示，由图可知，是非奇非偶函数，是周期为的周期函数，且值域为，当时，.故选项②④正确故选：C【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查新定义函数概念的理解和运用，属于中档题.16．A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．17．B【解析】【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.18．B【解析】【分析】偶函数关于点对称，则是周期为4的函数，计算出、，再利用周期可得．【详解】偶函数关于点对称，则，，令，则，故，是周期为4的函数，，，又，，，．故选：B.19．B【解析】【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，故，代入解析式即得解【详解】为奇函数,，偶函数，，，即，．令，则，，．故函数周期为4故选：B20．A【解析】【分析】令，由已知可得函数与的图象在区间上关于直线对称，利用对称性即可求解.【详解】解：因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以，所以函数是周期为2的函数，又的图象也关于直线对称，作出函数与在区间上的图象，如图所示：由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为，故选：A.21．C【解析】【分析】根据函数的关系式，判断函数的周期性、对称性、奇偶性，利用函数的性质求解函数值.【详解】解：函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，对有，函数的图象关于中心对称，，即，又，即，，，即，，的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；当时，，，当时，，，即，当时，，又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，，在上的最大值为4，选项B正确；，选项C错误.故选：C.22．C【解析】【分析】由题可得，结合条件可得函数周期为4，进而可得，即得.【详解】∵，∴，又为偶函数，∴，即，∴，又是定义域为R偶函数，∴，∴周期为4，又，∴，∴.故选：C.23．D【解析】【分析】由可得，结合可得出，再由即可求出的周期，再由，即可求出为奇函数.【详解】即①，在①中将变换为，则，则，又因为，所以，所以②，在②将变换为，所以，所以，所以的周期为.因为，所以，所以为奇函数.故选：D.24．D【解析】【分析】根据题意计算可知，数列是一个周期为的周期数列，即可解出．【详解】根据题意，，则，，，则，故，故选：．25．D【解析】【分析】根据f(x)是偶函数以及求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和即可将自变量的范围转化到[1，2]之间.【详解】∵函数是偶函数，∴，又∵，，，，∴函数的周期为4，∴.故选：D.26．D【解析】【分析】由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出的值.【详解】由可得，函数关于对称，函数为奇函数，所以，所以函数关于对称，则有，即，又，，的周期为4..故选：D.27．B【解析】【分析】根据奇偶函数的定义，结合函数的周期性、对称性，整理化简，即可得答案.【详解】因为是奇函数，∴，∵是偶函数，∴，即，，则，即周期为8；另一方面，∴，即是偶函数.故选：B.28．B【解析】先利用奇偶性和周期性求出和，即得结果.【详解】解：是定义在上的奇函数，，满足，，又，.故选：B.【点睛】本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题.29．C【解析】【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．30．A【解析】【分析】先分析出时的周期性，然后根据周期性以及已知条件将问题转化为计算的值，由此求解出结果.【详解】当时，因为，所以，所以是周期为的函数，所以，又因为，所以，故选：A.【点睛】结论点睛：周期性常用的几个结论如下：（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.31．B【解析】【分析】根据是定义在上的偶函数，得到，同时结合条件为偶函数，可得到函数的周期，从而，代入即可求值.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即，又为定义在上的为偶函数，所以，所以，所以函数的周期，所以.故选：B.32．A【解析】【分析】利用三角函数求导法则求出观察所求的结果，归纳其中的规律，发现其周期性，即可得出答案.【详解】依次类推可得出.【点睛】本题考查了三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性解决本题.33．B【解析】【分析】根据题意得出函数的周期和奇偶性，然后只需求函数在时的最小值即可.【详解】因为，所以是周期为2的周期函数，因为，所以，所以为奇函数，所以只需考虑区间内的最小值即可.当时，，所以，且，而由于为奇函数，所以在时，，又因为为奇函数，所以，，因为的周期为2，所以，所以，所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值.故选：B．34．A【解析】【分析】由题知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为，进而根据周期性求解即可得答案.【详解】解：由图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为.从同学甲出生到今日的天数为5850，故对于体力，有，处于高潮期，体力充沛；对于情绪，有，处于低潮期，心情烦躁；对于智力，有，处于高潮期，思维敏捷；故今日同学甲体力充沛，心情烦躁，思维敏捷.故选：A35．ACD【解析】【分析】由奇函数的性质和对称性首先得出，然后可得，函数为周期为4的周期函数，判断A，由图象变换可判断C，由周期性判断D，由奇偶性、对称性、周期性求得值域，判断B．【详解】是奇函数，，又的图象关于直线对称，所以，所以，从而，所以是周期函数，4是它的一个周期，的图象是由的图象向左平移1个单位得到的，因此的图象关于轴对称，它是偶函数，，时，，，，时，，再由对称性，周期性可得的值域是，综上ACD正确，B错误．故选：ACD．36．ABC【解析】【分析】利用与都为奇函数，可知是以2为周期的函数.从而得到结果.【详解】由与都为奇函数知函数的图象关于点，对称，所以，，所以，即所以是以2为周期的函数.又与都为奇函数，所以，均为奇函数.故选ABC.【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理能力，属于中档题.37．ACD【解析】【分析】由题意可得是以4为周期的周期函数，再由，可判断选项A;当时,求出可判断选项B；根据题意可得出从而可判断性选项C；作出的示意图，由图象的对称性数形结合可判断选项D.【详解】由在定义在上的奇函数，则由，所以，即则，即是以4为周期的周期函数.由题意，所以又，则，所以所以，故选项A正确.选项B.当时，故选项B不正确.选项C.所以当时，均为增函数，则为增函数.所以在上为增函数，又为奇函数，且所以在单调递增，所以，由所以，所以必存在，使得，故选项C正确.选项D.因为为偶函数，根据题意先作出在上的示意图，然后由对称性作出在上的图象，如图所示.根据对称性可知方程在的各根之和为，故选项D正确.故选：ACD38．ABD【解析】【分析】，所以的图象关于对称．故选项B正确；周期为4，所以的图象关于对称，故选项A正确；，故选项D正确，选项C不正确.【详解】因为为奇函数，所以即，所以的图象关于对称．故选项B正确，由可得，由可得，所以，可得，所以，所以周期为4，所以的图象关于对称，故选项A正确，.故选项D正确，选项C不正确.故选:ABD．39．0【解析】【分析】根据函数的奇偶性，可推导出函数的周期，利用周期可求解，再由奇函数即可得解.【详解】由题意，得，∵是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，∴，，∴，∴，∴，∴的周期为4，∴又∵，∴故答案为：040．，.【解析】【分析】设，则，则有，由函数的解析式可得的表达式，结合函数的奇偶性与周期性可得，即可求出结果.【详解】解：根据题意，设，则，则有，当时，，则，又为周期为4的偶函数，所以，，则有，；故答案为：，.41．【解析】【分析】利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.【详解】．故答案为：.42．①②④【解析】【分析】令替换即可得出的周期为4；计算，再令得出为奇函数，用替换可得的对称轴；根据奇函数的对称性和对称轴得出在的单调性；根据和，即可得出.【详解】由，可得，所以函数的周期为4，所以①正确；由，可得，解得，在令，可得，所以，即，所以函数为奇函数，所以，即，所以的图象关于对称，所以②正确；因为在上是增函数，又由，所以函数关于直线对称，所以函数在为减函数，所以③错误；由，可知，因为，所以，所以④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性的综合应用及判定，属于中档试题.43．【解析】直接利用函数的周期性可得，从而可得答案．【详解】因为10是函数的周期，所以．故答案为：．44．【解析】【分析】推导出当时，，利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.【详解】当时，，又因为函数是定义在上的偶函数，则，，因此，.故答案为：.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.45．（1）；（2）最大值为，此时.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助