高考数学B版真题及模拟：二项式定理

二项式定理高考理数

(北京市专用)A组

自主命题·北京卷题组1.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为

.(用数字作答)答案60解析

Tr+1=

·16-r·(-2x)r=(-2)r

·xr,令r=2,得T3=(-2)2

x2=60x2.故x2的系数为60.方法点拨求二项展开式中的特定项及特定项的系数问题,一般抓住通项,并进行整理,令字母

的指数符合要求,解出项数,代回通项即可.2.(2015北京,9,5分,0.95)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为

.(用数字作答)答案40解析(2+x)5的展开式的通项为Tr+1=

25-r·xr(r=0,1,…,5),则x3的系数为

×22=40.思路分析先写出二项展开式的通项,令整理后的x的指数等于特定项中x的指数,求出项数,代

回通项即可.B组

统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标全国Ⅲ,5,5分)

的展开式中x4的系数为()A.10

B.20

C.40

D.80答案

C本题考查二项式定理.

的展开式的通项Tr+1=

(x2)5-r·(2x-1)r=2r

·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22×

=40.故选C.2.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30

B.20

C.15

D.10答案

C在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=

·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.评析本题考查二项展开式中求指定项的系数,属容易题.但在(1+x)6前面乘x后,易误求T4=

x3.3.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

C因为(x+1)n的展开式中x2的系数为

,所以

=15,即

=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).4.(2017课标全国Ⅲ,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为

()A.-80

B.-40

C.40

D.80答案

C本题考查二项式定理,求特定项的系数.(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=

·(2x)5-r·(-y)r=(-1)r·25-r

·x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)3·22·

=-40,x3y2项的系数为(-1)2·23·

=80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.5.(2013课标全国Ⅱ,5,5分,0.736)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=

()A.-4

B.-3

C.-2

D.-1答案

D由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=

·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为

,当r=1时,x2的系数为

·a,所以

+

·a=5,a=-1,故选D.6.(2017课标全国Ⅰ,6,5分)

(1+x)6展开式中x2的系数为

()A.15

B.20

C.30

D.35答案

C本题考查二项式定理中项的系数问题.对于

(1+x)6,若要得到x2项,可以在

中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项,则系数为

;当在

中选取

时,(1+x)6中要选取含x4的项,即系数为

,所以,展开式中x2项的系数为

+

=30,故选C.7.(2015课标Ⅰ,10,5分,0.634)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10

B.20

C.30

D.60答案

C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有

(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为

=30,故选C.8.(2018天津,10,5分)在

的展开式中,x2的系数为

.答案

解析本题主要考查二项展开式特定项的系数.由题意得Tr+1=

x5-r

=

,令5-

=2,得r=2,所以

=

=

.故x2的系数为

.方法总结求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1=

an-rbr进行求解.9.(2018浙江,14,4分)二项式

的展开式的常数项是

.答案7解析本题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算.

的展开式的通项Tk+1=

·

·x-k=

·

,要使Tk+1为常数,则

=0,∴k=2,此时T3=

×

=7,故展开式的常数项为7.思路分析(1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.10.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)(2x+

)5的展开式中,x3的系数是

.(用数字填写答案)答案10解析

Tr+1=

(2x)5-r·(

)r=25-r

·

,令5-

=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.11.(2014课标Ⅱ,13,5分,0.719)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=

.(用数字填写答

案)答案

解析

Tr+1=

x10-rar,令10-r=7,得r=3,∴

a3=15,即

a3=15,∴a3=

,∴a=

.12.(2014课标Ⅰ,13,5分,0.552)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为

.(用数字填写答案)答案-20解析由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·

xy7-y·

x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为

-

=

-

=8-28=-20.13.(2017浙江,13,5分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=

,a5=

.答案16;4解析本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力.设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,则a4=b2c2+b3c1=

×12×22+13×

×2=16,a5=b3c2=13×22=4.C组

教师专用题组1.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为

()A.-15x4

B.15x4C.-20ix4

D.20ix4

答案

A

T3=

x4i2=-15x4,故选A.易错警示易误认为i2=1而致错.评析正确应用二项展开式的通项是解题的关键.2.(2015湖南,6,5分)已知

的展开式中含

的项的系数为30,则a=

()A.

B.-

C.6

D.-6答案

D

的展开式的通项为Tr+1=

(

)5-r·

=(-a)r

·

.依题意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1·

=30,a=-6,故选D.3.(2014湖北,2,5分)若二项式

的展开式中

的系数是84,则实数a=

()A.2

B.

C.1

D.

答案

C

Tr+1=

·(2x)7-r·

=27-r

ar·

.令2r-7=3,则r=5.由22·

a5=84得a=1,故选C.4.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45

B.60C.120

D.210答案

C在(1+x)6的展开式中,xm的系数为

,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为

,故f(m,n)=

·

.从而f(3,0)=

=20,f(2,1)=

·

=60,f(1,2)=

·

=36,f(0,3)=

=4,故选C.5.(2013江西,5,5分)

展开式中的常数项为

()A.80

B.-80C.40

D.-40答案

C二项展开式的通项为Tr+1=

(x2)5-r·(-1)r2rx-3r=

·(-1)r·2r·x10-5r.令10-5r=0,解得r=2,所以常数项为T3=

·22=40,选C.6.(2016天津,10,5分)

的展开式中x7的系数为

.(用数字作答)答案-56解析

Tr+1=

x16-2r(-x)-r=(-1)-r

x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3

=-56.易错警示本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.评析本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.7.(2015天津,12,5分)在

的展开式中,x2的系数为

.答案

解析

的展开式的通项为Tr+1=

x6-r

=

x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数为

×

=

.8.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于

.(用数字作答)答案80解析

Tr+1=

x5-r·2r(r=0,1,…,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系数为

×23=80.9.(2015重庆,12,5分)

的展开式中x8的系数是

(用数字作答).答案

解析二项展开式的通项为Tr+1=

(x3)5-r·

=

·

,令15-3r-

=8,得r=2,于是展开式中x8的系数为

×

=

×10=

.10.(2015广东,9,5分)在(

-1)4的展开式中,x的系数为

.答案6解析

(

-1)4的展开式的通项为Tr+1=

(

)4-r(-1)r=(-1)r·

·

,令

=1,得r=2,从而x的系数为

(-1)2=6.11.(2015安徽,11,5分)

的展开式中x5的系数是

.(用数字填写答案)答案35解析展开式的通项为Tk+1=

(x3)7-k·x-k=

x21-4k,令21-4k=5,得k=4,则展开式中x5的系数为

=35.12.(2014大纲全国,13,5分)

的展开式中x2y2的系数为

.(用数字作答)答案70解析

Tr+1=

·

·

=(-1)r·

·

·

,令

得r=4.所以展开式中x2y2的系数为(-1)4·

=70.13.(2014山东,14,5分)若

的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为

.答案2解析

Tr+1=

(ax2)6-r

=

a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,则r=3.∴

a3b3=20,即ab=1.∴a2+b2≥2ab=2,即a2+b2的最小值为2.评析本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理论证及运算求解能力.14.(2014安徽,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,

的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=

.

答案3解析根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得

即

解得a=3.A组

2016—2018年高考模拟·基础题组(时间:25分钟分值:55分)一、选择题(共5分)1.(2017北京海淀二模,2)二项式

的展开式的第二项是

()A.6x4

B.-6x4

C.12x4

D.-12x4

答案

D展开式的第二项为T2=

x5

=-12x4,故选D.2.(2018北京海淀二模,10)在

的展开式中,x3的系数为

.二、填空题(每题5分,共50分)答案10解析

的展开式的通项公式为Tr+1=

x5-r(2·x-1)r=

2rx5-2r,当5-2r=3,即r=1时,

·2r=5×2=10.故x3的系数为10.3.(2018北京一六一中学期中,10)在(2x-

)5的展开式中,

的系数是

.(用数字作答)答案-40解析展开式的通项公式为Tr+1=

(2x)5-r

=25-r

(-1)r·

,令5-

=

,得r=3,∴

的系数为4

(-1)3=-40.思路分析利用二项展开式的通项公式表示第r+1项,令x的指数等于

,求出r,即可求出

的系数.4.(2018北京十四中期中,9)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为

.(用数字作答)答案40解析二项展开式中含x3的项为

22x3=40x3,∴x3的系数为40.5.(2018北京东城期末,10)(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于

.答案40解析(1+2x)5的展开式的通项公式为Tr+1=

15-r(2x)r,当r=2时,x2的系数为

×22=40.6.(2018北京西城二模,10)在

的展开式中,x2的系数是

.答案6解析∵Tr+1=

(x2)4-r

=

x8-3r,∴当8-3r=2时,r=2,∴x2的系数为

=6.7.(2018北京一七一中学期中,9)在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x3的项的系数是

.答案10解析在(1-x)5,-(1-x)6的展开式中,含x3的项的系数分别为

(-1)3,-

(-1)3,故系数的和为

(-1)3-

(-1)3=-10-(-20)=10,故填10.解后反思关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开

式的通项公式Tr+1=

an-rbr(可以考查某一项,也可考查某一项的系数);(2)考查各项系数和与各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.8.(2017北京西城一模,9)在(1+2x)5的展开式中,含x2项的系数为

.(用数字作答)答案40解析在(1+2x)5的展开式中,含x2的项为T3=

·13·(2x)2=40x2,∴含x2项的系数为40.9.(2016北京朝阳一模,9)在二项式

的展开式中,含x4的项的系数是

(用数字作答).答案10解析

的展开式的通项为Tr+1=

(x2)5-r

=

x10-2r·x-r=

x10-3r,令10-3r=4,得r=2,∴含x4的项的系数为

=10.10.(2016北京东城一模,9)在

的展开式中,含x3的项的系数为

.(用数字作答)答案20解析

Tr+1=

(2x)5-r

=

25-3rx5-2r,令5-2r=3,得r=1,所以含x3的项的系数为

22=20.11.(2016北京西城二模,9)在

的展开式中,常数项为

.答案160解析

Tr+1=

x6-r·

=

2rx6-2r,当6-2r=0,即r=3时,T4=23

=160,即常数项为160.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:20分钟分值:50分)一、选择题(每题5分,共10分)1.(2018北京东城二模,3)在

的展开式中,x3的系数为10,则实数a等于

()A.-1

B.

C.1

D.2答案

D∵Tr+1=

x5-r

=

arx5-2r,∴当5-2r=3时,r=1,∴a

=10,所以a=2.故选D.思路分析准确地掌握二项式定理的内容及有关概念,正确运用二项式定理中的通项公式是

解题的关键.2.(2016北京海淀二模,5)在(x+a)5(其中a≠0)的展开式中,x2的系数与x3的系数相同,则a的值为

()A.-2

B.-1

C.1

D.2答案

C(x+a)5的展开式的通项为Tr+1=

x5-rar=

arx5-r,∵x2的系数与x3的系数相同,∴

a3=

a2,解得a=1或a=0(舍去),故选C.3.(2018北京通州摸底,10)二项式

的展开式中的常数项是

.二、填空题(每题5分,共40分)答案-160解析

的展开式中的常数项为

(2x)3

=-160.4.(2018北京门头沟一模,9)在

的展开式中,x6的系数是

.答案15解析根据通项公式Tr+1=

(-1)rx12-3r,令12-3r=6,得r=2,所以x6的系数为

(-1)2=15.5.(2018北京海淀期末,12)已知(5x-1)n的展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为

64∶1,则n=

.答案6解析当x=1时,各项系数的和为(5×1-1)n=4n,二项式系数的和为2n,易得

=64,所以n=6.