第1讲 有理数与数轴深入探究（知识讲练）（学生版）

有理数与数轴深入探究（2023春•鼓楼区校级期末）已知药品A的保存温度要求为﹣1℃～4℃，则下列温度符合要求的是（）A．﹣1.1℃ B．0℃ C．4.1℃ D．5℃【思路点拨】根据题干中的范围判断各选项是否在这个范围内即可．解：﹣1.1＜﹣1＜0＜4＜4.1＜5，那么符合要求的温度是0℃，故选：B．【考点提示】本题考查正数和负数，熟练掌握相关概念是解题的关键．（2022秋•余庆县期末）定义：对于任意两个有理数a，b，可以组成一个有理数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，﹣1）＝0；（2）当满足等式（﹣5，3x+2m）＝5的x是正整数时，则m的正整数值为1或4．【思路点拨】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，根据x与m都为整数，确定出m的值即可．解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2+（﹣1）﹣1＝1﹣1＝0．故答案为：0；（2）已知等式化简得：﹣5+3x+2m﹣1＝5，解得：x＝，由x、m都是正整数，得到11﹣2m＝9或11﹣2m＝3，解得：m＝1或4．故答案为：1或4．【考点提示】此题考查了解一元一次方程，以及有理数，弄清题中的新定义是解本题的关键．（2022秋•宜兴市月考）把几个不相等的数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：{﹣2，7，0，2022}，以这种形式的表述的，我们称之为集合，其中大括号中的每一个数我们称之为此集合的元素，如集合{﹣2，7，0，2022}中就有﹣2，7，0，2022这4个元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合中的元素时，有理数6﹣a也必是这个集合中的元素，那么这样的集合我们称为“好集合”，例如集合{6，0}就是一个“好集合”．（1）判断：集合{2，1}“好集合”；集合{8，5，3，1，﹣2}“好集合”（填“是”或“不是”）；．（2）请你写出满足条件的两个“好集合”的例子：；；（3）在所有“好集合”中，请你写出元素个数最少的集合为（2022秋•荣昌区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是．①数轴法：数轴右边的数比左边的数大．②代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小．③作差法：④特值法：对于只有一个字母且知道取值范围的题目，一般采用特值法会很简单.⑤通分子法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．（2022秋•射洪市期末）为方便两个有理数比较大小，现提出了4种新方法：①倒数大的反而小；②绝对值大的反而小；③平方后大的数较大；④把两数求商，若商大于1，则被除数较大；商等于1，则两数相等；商小于1，则除数较大．这四种方法（）A．都正确 B．都不正确 C．只有一个正确 D．有两个正确【思路点拨】根据倒数的意义，可判断①，根据绝对值的意义，可判断②，根据平方的意义，可判断③，根据有理数的除法，可判断④．解：①的倒数是2，﹣2的倒数是﹣，2＞﹣，＞﹣2，故①错误；②，3＞2，故②错误；③（﹣3）2＞（﹣2）2，﹣3＜﹣2，故③错误；④2÷（﹣3）＝﹣＜1，2＞﹣3，故④错误；故选：B．【考点提示】本题考查了有理数比较大小，注意两数相除异号得负，两负数比较大小，绝对值大的反而小．（2022秋•黄石期末）在3，0.1，，四数中，其倒数最小的是（）A．3 B．0.1 C． D．【思路点拨】先写出各数的倒数，再比较倒数的大小得结论．解：3的倒数是，0.1的倒数是10，﹣的倒数是﹣2，﹣的倒数是﹣3．∵10＞＞﹣2＞﹣3，∴最小的是﹣3．故选：D．【考点提示】本题主要考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小的比较方法和倒数的定义是解决本题的关键．（2022秋•南阳期末）若a＝﹣2×32，b＝（﹣2×3）2，c＝﹣（2×3）2，将a、b、c三个数用“＞”连接起来应为．（2022秋•双牌县期末）将下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并用“＞”把这些数连接起来．﹣1，0，2，﹣|﹣3|，﹣（﹣3.5）．（1）点的移动问题①数轴上两点间的距离=右边点表示的数左边点表示的数；②距离表示数a的点b个单位长度的点有两个，a点左侧的点表示的数为，右侧的点表示的数为③一个点表示的数为a，点向左运动b个单位长度后表示的数为a-b；向右运动个单位长度后所表示的b数为a+b.（左减右加）⑵线段的移动问题因为线段上每一个点移动的距离是相同的，故解决线段移动问题就是将其转化为点的移动问题，用处理点的移动问题的方法加以考虑和研究.（2023•西城区校级模拟）如图，数轴上三点A，B，C所表示的有理数分别为a，b，c，则化简|b﹣c|﹣|a+c|﹣|a|的值为（）A．﹣b B．2c﹣b C．b﹣2a D．b【思路点拨】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．解：由题意得，a＜﹣1＜b＜0＜2＜c，∴b﹣c＜0，a+c＞0，a＜0，∴|b﹣c|﹣|a+c|﹣|a|＝﹣（b﹣c）﹣（a+c）﹣（﹣a）＝﹣b+c﹣a﹣c+a＝﹣b．故选：A．【考点提示】此题考查了数轴、绝对值的有关内容，关键是能借助数轴用几何方法求解，体现了数形结合的优点．（2022秋•郑州期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为﹣2．【思路点拨】数轴上A、C两点间的单位长度是9，刻度尺对应的是5.4，所以数轴的单位长度是0.6cm，AB的长度是1.8cm，除以0.6得AB在数轴上的单位长度．解：∵5.4÷[4﹣（﹣5）]＝0.6（cm），∴数轴的单位长度是0.6厘米，∵1.8÷0.6＝3，∴在数轴上A，B的距离是3个单位长度，∴点B所对应的数b为﹣5+3＝﹣2．故答案为：﹣2．【考点提示】本题考查的是数轴的概念和单位长度的换算，解题的关键是数轴上的单位长度等于多少cm．（2022秋•高新区期末）i点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足（a+5）2+|b﹣3|＝0．（1）填空：a＝，b＝，AB＝．（2）如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数；（3）如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段AQ的中点C（点C始终在线段PQ上），若线段PC的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系．（2022秋•章丘区校级期末）操作与探究对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P'．如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．（1）若点A表示的数是﹣3，点A′表示的数是；（2）若点B′表示的数是2，点B表示的数是；（3）已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是．（4）保持前两问的条件不变，点C是线段AB上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的B1处，若B1A＝2，求点C表示的数．一．选择题1．（2023春•保亭县校级期中）如果|x|＝5，那么实数x的值是（）A．﹣5 B．5 C．±5 D．2．（2022秋•江岸区期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣19和3．点C为线段AD的中点，且BC＝6BD，则点C表示的数为（）A．﹣9 B．﹣9.5 C．﹣10 D．﹣10.53．（2022秋•雁塔区校级期末）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|2a﹣b|+|b﹣a|﹣|2a+c|的结果是（）A．﹣a﹣c B．a﹣2b﹣c C．a+c D．﹣a+2b+c4．（2022秋•鼓楼区期末）数轴上某一个点表示的数为a，比a小2的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（2021秋•霍邱县期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2021的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题6．（2023•靖宇县一模）比较大小：﹣﹣（填“＜”或“＞”）7．（2022秋•郑州期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为．8．（2022秋•武冈市期末）若﹣1＜a＜0，则a、a2、从小到大的关系是．9．（2022秋•达川区期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|﹣|a﹣2b|﹣|c﹣2b|的结果是．10．（2022秋•荣昌区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是．11．（2023春•闵行区期末）电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣，处，AP＝2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“站台”．12．（2022秋•阳新县校级期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝3，则C点表示的数是．13．（2022秋•许昌期中）若有理数x、y使得x+y，x﹣y，，xy这四个数中的三个数相等，则|y|﹣|x|＝．14．（2021秋•宽城县期末）数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC＝3，则AC的中点所表示的数是．三．解答题15．（2022秋•铁西区期末）如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．（1）若a与c互为相反数，则d＝；（2）若这四个数中最小数与最大数的和等于10，求a的值．16．（2022秋•宁德期末）如图，在数轴上点A所表示的数是﹣5，点B在点A的右侧，AB＝6；点C在AB之间，AC＝2BC．（1）在数轴上描出点B；（2）求点C所表示的数，并在数轴上描出点C；（3）已知在数轴上存在点P，使PA+PC＝PB，求点P所表示的数．17．（2022秋•天山区校级期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝8，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．（1）a＝，b＝，并在数轴上面标出A、B两点；（2）若PA＝4PB，求x的值；（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．18．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数表示的点重合；（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？19．（2022秋•合川区校级期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；（2）该数轴上有另一点D表示数d．①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求