专题1.2 三角形的周长与面积（压轴题专项讲练）（浙教版）（原卷版）

专题1.2三角形的周长与面积【典例1】课题学习：三角形的中线在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己作的图形“△ABC边BC边上的中线AD…”时，发现：线段AD不仅平分△ABC的边BC，还平分△ABC的面积．（一）探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作BC边上的高AE，则：S△ADB所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积．请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整．（二）运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题：（1）如图2，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，△ABC的面积为40，BD＝5，求△ABE的面积和点E到BC的距离．（2）如图3，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案．【思路点拨】（一）如图1中，过点A作AE⊥BC于E．利用三角形面积公式证明即可．（二）（1）如图2中，过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用（一）中结论解决问题即可．（2）利用三角形中线的性质画出图形即可（答案不唯一）．【解题过程】解：（一）探究与发现：如图1中，过点A作AE⊥BC于E．∵AD是△ABC边BC边上的中线∴DB=12∴S△ABD=12•BD•AE=12•12•BC•AE=（二）运用与实践：（1）如图2中，过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD=12S△同理，S△BDE＝S△ABE=12S△∴S△BDE＝S△ABE=14S△ABC=14∵S△BDE=12BD•EF，所以12BD•EF=1又△ABC的面积为40，BD＝5，∴EF＝4，即E到BC的距离是4．（2）如图所示（取各边中点或中线的中点）．1．（2020秋•蠡县期中）在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．2．（2020春•五华区校级期末）已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB=3（1）如图，当AC＝10cm时，求BD的长．（2）若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？3．（2020秋•重庆期末）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．（1）求线段AE的长．（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+124．（2021春•麦积区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，点E是BC上一个动点（点E与B，C不重合），连AE，（1）若AE平分△ABC的周长，求BE的长；（2）是否存在线段AE将三角形ABC的周长和面积同时平分，若存在，求出BE的长；若不存在，请说明理由．5．（2021秋•嘉祥县月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，（1）求CD的长；（2）若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积．6．（2021春•天心区期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．（1）∠ABC＝35°，∠EBD＝18°，∠BAD＝30°，求∠BED的度数；（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD的长度．7．（2021春•重庆期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．8．（2020秋•魏县期中）如图（1），AD，AE分别是△ABC中BC边上的高和中线，已知AD＝5cm，EC＝2cm．（1）求△ABE和△AEC的面积；（2）通过做题，你能发现什么结论？请说明理由．（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：如图（2），CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF是△ADE的中线，若△AEF的面积为1cm2，求△ABC的面积．9．（2021秋•赵县月考）在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点．（1）如图1，若S△ABC＝1cm2，求△BEF的面积．（2）如图2，若S△BFC＝1cm2，则S△ABC＝．10．（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．（1）当t＝时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？11．（2020•渝中区校级开学）如图，△ABC的面积为21平方厘米，DC＝3DB，AE＝ED，求阴影部分面积．12．如图，两个相同的直角三角形部分重叠在一起，求阴影部分的面积．（单位：厘米）13．（2020春•张家港市期末）如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：ED∥BC；（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．①求△ABC的面积；②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．14．（2020春•丽水期末）如图，线段AB的长为5，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝2，DB＝1，点P为线段AB上的一个动点，连接CP，DP．（1）若AP＝a，请用含a的代数式表示BP；（2）当AP＝1时，求△ACP与△BPD的面积之比；（3）若C，D是同一平面内的两点，连接CD，若点P以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PCD的面积等于3．15．（2020春•汝阳县期末）如图，长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x为何值时，△APE的面积等于32cm2？（提醒：同学们，要分类讨论哦！）16．（2021•西城区校级开学）如图所示，设四边形ABCD的面积为S1，四边形EFGH的面积为S2，其中E、F分别为AB边上的两个三等分点，G、H分别为CD边上的两个三等分点，请直接写出S1与S2的等量关系，并说明理由．17．（2020•浙江自主招生）如图，已知P是△ABC内任意一点，连接AP，BP，CP并延长交BC，CA，AB于D，E，F三点，令T=PDAD+18．（2020春•姑苏区期中）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝（用含a的代数式表示）．【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，CDAC=14，CE【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM=13AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为19．（2020秋•婺城区校级期末）操作与探究探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a．（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA、若△ACD的面积为S1，则S1＝（用含a的代数式表示）；（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE、若△DEC的面积为S2，则S2＝（用含a的代数式表示）；（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）、若阴影部分的面积为S3，则S3＝（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的倍．20．（2021•安徽模拟）S△OAB、S△OAD、S△OBC、S△OCD分别表示△OAB、△OAD、△OBC、△OCD的面