数学选择性必修一册版

3.1抛物线及其标准方程成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习[教材要点]要点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作__________．点F叫作抛物线的________，直线l叫作抛物线的______．抛物线焦点准线状元随笔(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．例如，到点F(0，1)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y＋1＝0，轨迹是一条直线．要点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程________________________________________________y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)

________________________________________________x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)

状元随笔1.只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．2．标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．3．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式．

[基础自测]1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(

)(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(

)(3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．(

)(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(

)√×√√2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(

)A．1B．2C．4D．8解析：由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.故选C.答案：C

答案：C4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．

答案：±4题型探究·课堂解透题型一求抛物线的标准方程角度1直接法求抛物线方程例1

(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(

)A．x2＝±3yB．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y

答案：C

方法归纳在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程．角度2待定系数法求抛物线方程例2

(1)顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(

)A．y2＝－4xB．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4yD．y2＝4x或x2＝－4y解析：(1)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.答案：C

(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为________．答案：

x2＝10y或x2＝－10y解析：已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.方法归纳根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类：(1)焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以设为y2＝mx(m≠0)，m>0时焦点在x轴的正半轴上，m<0时焦点在x轴的负半轴上；(2)焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以设为x2＝my(m≠0)，m>0时焦点在y轴的正半轴上，m<0时焦点在y轴的负半轴上．跟踪训练1

(1)已知抛物线的焦点坐标是(－1，0)，则抛物线的标准方程是(

)A．x2＝4yB．x2＝－4yC．y2＝4xD．y2＝－4x

答案：D

(2)准线与直线x＝1的距离为3的抛物线的标准方程是________．答案：y2＝8x或y2＝－16x

题型二抛物线的定义及其应用例3

已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．

解析：设点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为R，∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，∴|PC|＝R＋5，∴|PC|＝|x|＋5，当点P在y轴右侧时，x>0，则|PC|＝x＋5，∴点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；当点P在y轴左侧时，x<0，则|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程为y＝0(x<0)．∴点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．方法归纳若动圆P与定圆C外切且与定直线l相切，则：(1)当定圆与定直线相切时，轨迹为抛物线和一条射线(除去切点)；(2)当定圆与定直线相离时，轨迹是一条抛物线．跟踪训练2

已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点M(1，m)到其焦点F的距离为2，求C的方程并求其准线方程．

题型三与抛物线有关的最值问题例4

(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．

(2)已知定点M(a，0)，试在抛物线y2＝2px(p>0)上求一点N，使得|MN|最小．

方法归纳解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：①定义法；②函数法．跟踪训练3

(1)已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于(

)A．2B．3C．4D．6解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，解得x1＋x2＝6，∴线段AB的中点横坐标为3，∴线段AB的中点到y轴的距离为3，故选B.答案：B

(2)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，F(1，0)，A(4，3)，则|PA|－|PF|的最大值为________；最小值为________．

易错辨析忽略抛物线标准方程的特征致误例5

若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________.

【易错警示】易错原因纠错心得根据抛物线方程求准线方程时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程．

答案：A2．焦点在x轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为(

)A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝±2xD．y2＝±4x解析：根据焦点到准线的距离为2，可得p＝2，2p＝4，结合抛物线焦点所在轴以及开口方向，即可求得抛物线的方程为y2＝±4x，选D.答案：D

答案：AD4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，则抛物线的标准方程和m的值分别为________和________．

5．已知点P在抛物线y2＝4x上，求点P