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文档简介

第八章第六节一、空间曲线的切线与法平面多元函数微分学的几何应用二、曲面的切平面与法线

复习:平面曲线的切线与法线

已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为切线方程法线方程

一、空间曲线的切线与法平面过点

M

与切线垂直的平面称为曲线在该极限位置.

空间光滑曲线在点

M

处的切线为此点处割线的点的法平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.

曲线方程为参数方程的情况切线方程也是法平面的法向量，切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0，则理解为分子为

0.因此得法平面方程

说明:

若引进向量函数

则

为

r(t)

的矢端曲线，就是该点的切向量.解切线方程法平面方程切线方程法平面方程即即解

对应的切向量为故空间曲线方程为法平面方程为特殊地：解切线方程法平面方程2.

曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点且有

可表示为处的切向量为

切线方程法平面方程或法平面方程也可表为切线方程解法1

则即切向量法平面方程即解法2.

方程组两边对

x求导，得曲线在点

M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即切向量

二、曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点切线方程为不全为0.则

在点

M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为

在该点的切平面.

上过点

M

的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.

证得令

由于曲线

的任意性，表明这些切线都在以为法向量的平面上，从而切平面存在.曲面

在点

M的法向量法线方程切平面方程法线方程令特别，当光滑曲面

的方程为显式切平面方程法向量法向量的方向余弦：

用

，

，

表示法向量的方向角,并假定法向量方向向上，解所以球面在点

(1,2,3)处有:切平面方程

即法线方程法向量解二曲面在点

M

相切，故又点

M在球面上，于是有因此有二曲面在

M

点的法向量分别为1.

空间曲线的切线与法平面

切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量

内容小结切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)

一般式情况.空间光滑曲面曲面

在点法线方程1)

隐式情况

.的法向量切平面方程2.

曲面的切平面与法线空间光滑曲面切平面方程法线方程2)

显式情况.法线的方向余弦法向量思考与练习提示:

设切点为则(二法向量平行)

(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:

在曲面上任意取一点则通过此

作业

P452，4，6，8，10.2.

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